1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Если выполнено еще и условие (1), то говорят, что разбиение единицы{f1 , . . . , fm } подчинено покрытию {U1 , . . . , Um }.Пусть M — компактное k-мерное многообразие, т.е. M является компактом в Rn и многообразием (с краем или без). Пусть {(U1 , ψ1 ), . . . , (Um , ψm )} есть атлас на M . То есть,{U1 , . . . , Um } — открытое покрытие M , и каждое множество Ui есть область действияодной параметризации ψi .
Пусть {ϕ1 , . . . , ϕm } — разбиение единицы на M , подчиненноепокрытию {U1 , . . . , UPm }. Тогда для любой дифференциальной формы ω на M справедливопредставление: ω = mi=1 ϕi ω. Если ω — форма степени k, то положимZω=Mm ZXi=1ϕi ω =Mm ZXi=191ϕi ω.M ∩UiТеорема (Стокс). Пусть M — компактное ориентируемое k-мерное многообразие и ω —дифференциальная (k − 1)-форма на M . ТогдаZZdω =ω.M∂MПри этом ориентации многообразия M и его края ∂M должны быть согласованы.•Определение. Пусть M есть k-мерное многообразие в R3 . При k = 1 интеграл от любойдифференциальной 1-формы по M называется криволинейным интегралом второго рода.При k = 2 интеграл от любой дифференциальной 2-формы по M называется поверхностным интегралом второго рода.•Определение. Формой объема в Rn называется n-форма, которая на векторах стандартного базиса принимает значение 1.•Напомним, что стандартный базис в евклидовом пространстве — это любой ортонормированный базис.
Например, в Rn с обычным скалярным произведение стандартным базисом является набор векторов (1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1). Очевидно, чтоV = dx1 ∧ · · · ∧ dxn — это и есть форма объема в Rn .Пусть M есть (n − 1)-мерное многообразие в Rn и n(x) — поле нормали на M . То есть,n(x) есть единичный вектор, ортогональный к Tx M и непрерывно зависящий от x.Определение. Формой объема на многообразии M называется дифференциальная (n−1)форма Ω, такая, что Ωx (ξ1 , .
. . , ξ n−1 ) = V(n(x), ξ 1 , . . . , ξ n−1 ) для всех ξ 1 , . . . , ξ n−1 ∈ Tx M .•Форму Ω можно определить и другим способом. Пусть {ξ 1 , . . . , ξ n−1 } — произвольный набор векторов из Tx M , а σ — параметр, равный +1, если репер {n(x), ξ 1 , . . . , ξ n−1 } ориентирован одинаково со стандартным базисом в Rn , и −1 — в противном случае. Обозначимчерез A (n − 1) × n матрицу, составленную из координат векторов ξ i в Rn . Очевидно, чтоΩx (ξ1 , .
. . , ξn−1 ) = σpdet (A ◦ AT ).Матрица G = A ◦ AT называется матрицей Грама. Несложно проверить, что ее компоненты имеют вид: Gij = ξ i · ξ j . Заметим, что матрица G симметрична и не зависит от выборабазиса.Пусть на ориентируемом (n − 1)-мерном многообразии M задана система параметризацийψ с локальными координатами (t1 , . . . , tn−1 ). Тогдаψ∗Ω =√det Ψ dt1 ∧ · · · ∧ dtn−1 ,где Ψ — матрица с компонентамиΨij =∂ψ ∂ψ·.∂ti ∂tjЕсли M есть k-мерное многообразие в Rn , то определим на нем дифференциальную kформу dSk , такую, что√ψ ∗ dSk = det Ψ dt1 ∧ · · · ∧ dtk ,92где Ψ — определенная выше матрица. Заметим, что dSk — это не дифференциал от Sk ,а символ, обозначающий дифференциальную форму. Такое обозначение используется всилу традиции.Определение.
Площадью k-мерного многообразия M называется интеграл от формы dSkпо M .•Определение. Поверхностным интегралом 1-го рода от функции f по ориентируемомуk-мерному многообразию M называется интеграл от формы f dSk по M . При k = 1 говорято криволинейном интеграле 1-го рода.•§ 14.4. Элементы теории векторных полей в R3 .Определение. Векторным полем в Rn называется отображение из Rn в Rn .
То есть,каждой точке ставится в соответствие вектор.•Точки в R3 будем обозначать r = (x, y, z), а в R2 — r = (x, y). Если A — векторное поле вR3 , то его компоненты в декартовой системе координат будем обозначать (Ax , Ay , Az ).Введем в R3 три дифференциальные формы:1) каждой скалярной функции f : R3 → R поставим в соответствие дифференциальную 0форму (ωf0 )r = f (r) и дифференциальную 3-форму ωf3 = f dS3 , где dS3 — форма 3-мерногообъема в R3 ;2) каждому векторному полю A поставим в соответствие 1-форму (ωA1 )r (ξ) = A(r) · ξ и2-форму (ωA2 )r (ξ1 , ξ2 ) = A(r) · (ξ1 × ξ 2 ), где ξ, ξ 1 и ξ 2 — произвольные векторы из R3 .В декартовых координатахωA1 = Ax dx + Ay dy + Az dz,ωA2 = Ax dy ∧ dz + Ay dz ∧ dx + Az dx ∧ dy,ωf3 = f dx ∧ dy ∧ dz.Теорема.2ωA1 ∧ ωB1 = ωA×B,3ωA1 ∧ ωB2 = ωA·B•Определение.
Градиентом скалярной функции f называется векторное поле ∇f , такое,1что dωf0 = ω∇f.•В декартовых координатах ∇f = (∂f /∂x, ∂f /∂y, ∂f /∂z).Определение. Ротором (или вихрем) векторного поля A называется векторное поле2rot A (или curl A), такое, что dωA1 = ωrot•A.В декартовых координатах(rot A)x =∂Az ∂Ay−,∂y∂z(rot A)y =∂Ax ∂Az−,∂z∂x(rot A)z =∂Ay ∂Ax−.∂x∂yОпределение.
Дивергенцией векторного поля A называется скалярное поле div A, такое,3что dωA2 = ωdiv•A.В декартовых координатах div A = ∂Ax /∂x + ∂Ay /∂y + ∂Az /∂z.93Определения дивергенции и градиента имеют смысл и в Rn . Градиент определяется совершенно аналогично R3 и в декартовых координатах имеет вид ∇f = (∂f /∂x1 , . . . , ∂f /∂xn ).Для определения дивергенции введем еще одну форму, которая в декартовых координаPci ∧ .
. . dxn , где A = (A1 , . . . , An ), «крышка»тах имеет вид ωAn−1 = ni=1 Ai dx1 ∧ · · · ∧ dxn−1nозначает пропущенныйТогда ωdivA := (div A) dSn = dωA . В декартовыхPnсомножитель.iiкоординатах div A = i=1 ∂A /∂x .Утверждение.rot (f A) = ∇f × A + f rot A,div (f A) = ∇f · A + f div A,div (A × B) = B · rot A − A · rot B.•Теорема (Формула Ньютона — Лейбница). Пусть M — кривая в R3 , A и B — точки наM , τ — единичный касательный вектор к M , задающий направление от A к B. ТогдаZ∇f · τ dS1 = f (B) − f (A).•MТеорема (Формула Грина). Пусть G — область с гладкой границей в R2 и A — векторноеполе в G. ТогдаZZ ³∂Ay ∂Ax ´Ax dx + Ay dy =−dx ∧ dy.∂x∂y∂GGПри этом ориентации G и ∂G должны быть согласованы.
Если граница ∂G ориентированатак, что положительным направлением обхода является обход против часовой стрелки, тоZZ ³∂Ay ∂Ax ´Ax dx + Ay dy =−dxdy.•∂x∂y∂GGПусть M — двумерное многообразие в R3 и n = (nx , ny , nz ) — вектор нормали к M . Причем,если (τ 1 , τ 2 ) — ориентирующий репер в касательном пространстве, то репер (n, τ 1 , τ 2 )ориентирован одинаково с базисным репером (ex , ey , ez ) пространства R3 .Лемма. Тогда для любой точки a ∈ M на Ta M справедливы формулы:dS2 = nx dy ∧ dz + ny dz ∧ dx + nz dx ∧ dy,nx dS2 = dy ∧ dz,ny dS2 = dz ∧ dx,nz dS2 = dx ∧ dy.•Теорема (Векторная формула Стокса).
Пусть M — 2-мерное многообразие с краем в R3и A — векторное поле в R3 . ТогдаZZrot A · n dS2 =A · τ dS1 ,M∂Mпричем, ориентации M и ∂M (т.е. n и τ ) согласованы. А именно, при движении вдоль ∂Mв направлении вектора τ мы по правилу буравчика получим направление вектора n. •RИнтеграл M A · n dS2 называется потоком векторного поля A через M .RИнтеграл ∂M A · τ dS1 называется циркуляцией векторного поля A вдоль замкнутогоконтура ∂M .94Теорема (Формула Гаусса — Остроградского).
Пусть G — область в R3 с гладкой границей∂G и A — векторное поле в R3 . ТогдаZZdiv A dxdydz =A · n dS2 ,G∂Gгде n — вектор внешней нормали к ∂G.•Формула Гаусса — Остроградского справедлива не только в R3 , но и в Rn .Определение. Векторное поле u в области D ⊂ Rn называется потенциальным, еслисуществует функция ϕ : D → R, такая, что u = ∇ϕ в D.•Заметим, что если u = ∇ϕ, то ωu1 = dωϕ0 . Поэтому для потенциальности векторного поля uнеобходимо, чтобы dωu1 = 0. В декартовых координатах это условие может быть записаноследующим образом:∂ui∂uj=для всех i, j = 1, .
. . , n,∂xj∂xiили rot u = 0, если n = 3.Непрерывное отображение γ : [0, 1] → Rn называется путём. Путь называется замкнутым, если γ(0) = γ(1). Если отображение γ принадлежит классу C k , то говорят о путикласса C k .Теорема. Для того, чтобы векторное поле u : D → Rn было потенциальным, необходимои достаточно, чтобы его циркуляция по любому замкнутому пути γ : [0, 1] → D, лежащемув D, была равна нулю:Iu · τ dS1 = 0.•γОпределение. Два замкнутых пути γ1 , γ2 : [0, 1] → D называются гомотопными, еслисуществует непрерывное отображение Γ : [0, 1] × [0, 1] → D, называемое гомотопией,такое, что Γ(0, t) = γ1 (t) и Γ(1, t) = γ2 (t) для всех t ∈ [0, 1]. Говорят, что замкнутый путьгомотопен точке, если существует гомотопия, стягивающая его в точку.•Определение. Область D ⊂ Rn называется односвязной, если в ней любой замкнутыйпуть гомотопен точке.•Теорема. Если D есть односвязная область, то необходимое условие потенциальностивекторного поля u : D → Rn (dωu1 = 0) является и достаточным.•Теорема.
Для того, чтобы дифференциальная 1-форма, определенная в односвязной области, была точной, необходимо и достаточно, чтобы она была замкнутой.•Определение. Векторное поле a называется соленоидальным, если div a = 0. Векторноеполе b в R3 называется векторным потенциалом векторного поля a, если a = rot b.•Согласно теореме Пуанкаре, если D — звездная область в R3 , то любое соленоидальноевекторное поле в D имеет векторный потенциал. Можно показать, что если D — областьв R3 , такая, что любая гомеоморфная сфере поверхность гомотопна в D точке, то любоесоленоидальное векторное поле в D имеет векторный потенциал.95.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
