1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если A |f | dµ = 0, то f = 0 почти всюду в A.•Теорема (Абсолютная непрерывностьинтегралаЛебега). Если f ∈ L(X), то для любого¯R¯¯¯ε > 0 существует такое δ > 0, что A f dµ < ε для любого измеримого множества A ⊂ X,мера Лебега которого меньше δ (т.е., µ(A) < δ).•Теорема (Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла). Пусть последовательность {fk } интегрируемых функций сходится почти всюду на множестве A кфункции f . Если существует интегрируемаяR функцияR ϕ, такая, что |fk | 6 ϕ для всех k,то функция f интегрируема на A и limk→∞ A fk dµ = A f dµ.•Теорема (Б.Леви).
Пусть задана последовательность интегрируемыхR функций {fk }, таких, что f1 6 f2 6 . . . 6 fk 6 . . . на измеримом множестве A ⊂ X и A fk dµ 6 M для всехk, где M — некоторая константа. Тогда последовательность{fk } сходится почти всюду наRRA к некоторой функции f ∈ L(A) и limk→∞ A fk dµ = A f dµ.•Теорема (Фату).
Если последовательность интегрируемых неотрицательныхR функций{fk } сходится почти всюду на измеримом множестве A ⊂ X к функции f Rи A fk dµ 6 Mдля всех k, где M — некоторая константа, то функция f интегрируема и A f dµ 6 M . •Чтобы определить интеграл Лебега по множеству X бесконечной меры, введём последовательность шаров {Bk } в Rn с центрами в начале координат и с радиусами rk → ∞ приk → ∞. Скажем,что f ∈ L(X), если f ∈ L(X ∩ Bk ) для каждого k и существует конечныйRпредел lim X∩Bk f dµ.k→∞68Заметим, что если этот предел существует для какой-то одной последовательности «раздувающихся» шаров, то он существует и для любой другой последовательности и имеетто же самое значение.Если µ(X) = ∞ и f ∈ RL(X), то интегралЛебега от функции f по множеству X определимRследующим образом: X f dµ = lim X∩Bk f dµ.k→∞Нетрудно проверить, что теоремы Лебега, Леви и Фату о предельных переходах остаютсясправедливыми и для интегралов по множествам бесконечной меры.¡¢ RbRТеорема.
Если f ∈ Rim[a, b], то f ∈ L [a, b] и a f (x) dx = [a,b] f dµ. Здесь µ — одномерная мера Лебега.•Рассмотрим пространства X = Rn , Y = Rm и X × Y = Rn+m . Меру Лебега в этих пространствах обозначим через µx , µy и µ соответственно.Если A — множество в X × Y , то обозначимA(x) = {y ∈ Y | (x, y) ∈ A} — сечение множества A, проходящее через точку x ∈ Xпараллельно пространству Y ;A(y) = {x ∈ X | (x, y) ∈ A} — сечение множества A, проходящее через точку y ∈ Yпараллельно пространству X.Теорема (О сечениях измеримого множества). Если A — ограниченное µ-измеримоемножество в X × Y , то¡¢1. для µx -почти всех точек x ∈ X множество A(x) µy -измеримо и функция x 7→ µy A(x)интегрируема на X,¡¢2.
для µy -почти всех точек y ∈ X множество A(y) µx -измеримо и функция y 7→ µx A(y)интегрируема на Y ,¡¢¡¢RR3. µ(A) = X µy A(x) dµx = Y µx A(y) dµy .•Теорема (Фубини). Если f ∈ L(A), где A — ограниченное µ-измеримое множество в X ×Y ,то¡¢¡¢1. f (x, ·) ∈ L A(x) для почти всех x ∈ X и f (·, y) ∈ L A(y) для почти всех y ∈ Y ,2. функцииZZx 7→f (x, y) dµyи y 7→f (x, y) dµxA(x)A(y)интегрируемы на X и Y соответственно,3.ZZ ZZ Zf dµ =f (x, y) dµy dµx =AXA(x)Yf (x, y) dµx dµy .•A(y)Теорема. Пусть A — ограниченное µ-измеримое множество в X ×Y и функция f = f (x, y)измерима на A.
Если существует хотя бы один из интеграловZ ZZ Z|f (x, y)| dµy dµx ,|f (x, y)| dµx dµy ,XA(x)YA(y)то f ∈ L(A) и для этой функции справедлива теорема Фубини.69•Пусть A — измеримое множество в Rn и f : A → R — неотрицательная функция. Множество QA (f ) = {(x, y) ∈ Rn+1 | x ∈ A, 0 6 y 6 f (x)} называется подграфиком функции fна множестве A.Обозначим через µn меру Лебега в Rn .Теорема. Пусть A — µn -измеримое множество конечной меры в Rn , f ∈ L(A) и f > 0.ТогдаZ¡¢µn+1 QA (f ) =f dµn .•AСледствие.
Пусть A — µn -измеримое множество конечной меры в Rn , f ∈ L(A) и f > 0.ТогдаZZh dµ1 ,f dµn =AR+¡¢где h = h(λ) = µn {x ∈ A | f (x) > λ} , R+ = [0, ∞).•Пусть U и V — области в Rn . Отображение ϕ : U → V называется диффеоморфизмом, еслионо биективно, непрерывно дифференцируемо и обратное отображение ϕ−1 тоже непрерывно дифференцируемо.
Мы будем называть диффеоморфизм ϕ ограниченным, еслиϕ0 (x) и ϕ0 (x)−1 являются равномерно по x ∈ U ограниченными операторами.Теорема. Пусть B — шар в Rn (замкнутый или открытый — не важно) радиуса r сцентромa и ϕ : B → Rn — дифференцируемое в точке a отображение, такое,¡ 0 в¢точке−1что ϕ (a)— ограниченный оператор. Тогда существует такое r0 > 0, что для любогоr ∈ (0, r0 ) справедлива оценка:¡¢µ ϕ(B)1 − α(r) 66 1 + α(r),| det ϕ0 (a)| µ(B)где α(r) → 0 при r → 0.•Теорема.
Если ϕ : X → Y —ограниченный диффеоморфизм между открытыми множествами X и Y в Rn , то для любого измеримого множества A ⊂ X конечной мерысправедлива формула:Z¡¢µ ϕ(A) =| det ϕ0 | dµ.•AТеорема. Пусть ϕ : X → Y — ограниченный диффеоморфизм между открытыми¡ мно¢жествами X и Y в Rn , A ⊂ X — измеримое множество конечной меры и f ∈ L ϕ(A) .ТогдаZZ¡¢f (y) dµy =f ϕ(x) | det ϕ0 (x)| dµx .ϕ(A)AЗдесь x и y — переменные в X и Y соответственно.•§ 11.5. Пространства интегрируемых функций.Пусть X — линейное нормированное пространство с нормой k · k.
Последовательность{xk } элементов пространства X называется фундаментальной (или последовательностьюКоши), если для любого ε > 0 существует такое kε ∈ N, что kxm − xn k < ε для всехm, n > kε .70Говорят, что последовательность {xk } сходится к x в нормированном пространстве X,если kxk − xk → 0 при k → ∞.Нормированное пространство называется полным, если в нём каждая фундаментальнаяпоследовательность имеет предел, принадлежащий этому пространству.Полное линейное нормированное пространство называется банаховым.Пример. Рассмотрим пространство C[0, 1] непрерывных на отрезкеR [0, 1] функций. Введёмв этом пространстве две нормы: kf kC = max |f (x)|, kf k1 = [0,1] |f | dµ.
Пространствоx∈[0,1](C[0, 1], k·kC ) является полным и потому банаховым, а пространство (C[0, 1], k·k1 ) полным,а значит и банаховым не является. Ко второй части этого утверждение мы ещё вернёмсяв дальнейшем.•Пусть G — измеримое множество в Rn . Обозначим через L1 (G) линейное пространствоинтегрируемых по Лебегу функций (раньше мы обозначали его через L(G)).
Для каждойфункции f ∈ L1 (G) положимZkf k1 =|f | dµ.GНетрудно проверить, что k · k1 удовлетворяет всем аксиомам нормы, кроме одной. Вообщеговоря, из kf k1 = 0 не следует, что f = 0. Можно лишь утверждать, что f = 0 почтивсюду в G. То есть, функция f может быть отличной от нуля на множестве меры нуль(например, функция Дирихле).Определение. Назовём функции f и g : G → R эквивалентными (f ∼ g), если f (x) =g(x) для почти всех x ∈ G.•Мы не будем различать функции, совпадающие почти всюду, а элементами пространстваL1 (G) будем считать классы эквивалентных функций.
Если kf k1 = 0, то f ∼ 0. Согласнонашему соглашению, последнее соотношение означает, что f = 0 в L1 (G). Таким образом,k·k1 является нормой в L1 (G). Чтобы вычислить норму элемента (класса эквивалентности)пространства L1 (G), нужно посчитать её от произвольного представителя (функции) этогокласса.Аналогично определим пространства Lp (G) при произвольных p ∈ [1, ∞), элементамикоторых являются измеримые функции f (классы эквивалентности), такие, что kf kp < ∞,где³Z´1/ppkf kp =|f | dµ.GПусть f — измеримая на G функция. Скажем, что число K является существенной верхней гранью для функции f , если f (x) 6 K для почти всех x ∈ G. Наименьшая из существенных верхних граней обозначается через ess sup f (x) и называется существеннымx∈Gсупремумом функции f на множестве G.Обозначим через L∞ (G) пространство измеримых функций f (классов эквивалентности),таких, что ess sup |f (x)| < ∞. Определим норму в этом пространстве:x∈Gkf k∞ = ess sup |f (x)|.x∈G71Убедимся, что Lp (G) является линейным пространством и k · kp удовлетворяет аксиомамнормы.
Достаточно проверить, что справедливо неравенство треугольника: kf + gkp 6kf kp + kgkp . При p = ∞ это неравенство очевидно.Теорема (Неравенство Юнга). Если f ∈ Lp (G) и g ∈ Lq (G), где p, q ∈ (1, ∞) и p−1 + q −1 =1, то функция f g интегрируема иZZZ1111p|f g| dµ 6|f | dµ +|g|q dµ = kf kpp + kgkqq .•p Gq GpqGПусть µ(G) < ∞. Положив в последнем неравенстве g ≡ 1, мы получимZZ11|f |p dµ + µ(G).|f | dµ 6p GqGКроме того, так как |f | 6 kf k∞ почти всюду в G,Z|f | dµ 6 kf k∞ µ(G).GТаким образом, из того, что f ∈ Lp (G) с p ∈ (1, ∞] следует, что f ∈ L1 (G).
В этомслучае говорят, что пространство Lp (G) вкладывается в пространство L1 (G) и пишутLp (G) ⊂ L1 (G). Если мы положим в последних неравенствах |f | = |u|α с α ∈ (1, ∞), мылегко получим, что Lq (G) ⊂ Lp (G) при 1 6 p 6 q 6 ∞.Теорема (Неравенство Гёльдера). Если f ∈ Lp (G) и g ∈ Lq (G), где p, q ∈ (1, ∞) и p−1 +q −1 = 1, то функция f g интегрируема и¯Z¯ ³Z´1/p ³ Z´1/q¯¯pq|f | dµ|g| dµ= kf kp kgkq .•¯ f g dµ¯ 6GGGИз неравенства Гёльдера также легко следует, что Lq (G) ⊂ Lp (G) при p 6 q в случаеµ(G) < ∞.Теорема (Неравенство Минковского). Если f, g ∈ Lp (G), где p ∈ [1, ∞], то справедливонеравенство: kf + gkp 6 kf kp + kgkp .•Неравенство Минковского есть не что иное, как неравенство треугольника для норм впространстве Lp (X).
Таким образом, пространства Lp (G), p ∈ [1, ∞], являются линейнымии нормированными.Теорема. Пространство Lp (G) с p ∈ [1, ∞] является банаховым.•Пусть M — некоторое множество в банаховом пространстве X. Говорят, что множество Mзамкнуто в X, если любая фундаментальная последовательность, лежащая в M , сходитсяк элементу из M .
Замыканием множества M в пространстве X называется наименьшеезамкнутое множество в X, содержащее M . Говорят, что множество M плотно в множествеN ⊂ X, если его замыкание в X содержит N . Если M плотно во всём пространстве X, точасто говорят, что M всюду плотно.Можно дать и другое определение плотного множества. Скажем, что множество M всюдуплотно в банаховом пространстве X, если для любого ε > 0 и для любого u ∈ X существуеттакое v ∈ M , что ku − vkX < ε.72Лемма. Пусть X, Y, Z — банаховы пространства, такие, что Z ⊂ Y ⊂ X и k·kX 6 c1 k·kY 6c2 k·kZ для некоторых постоянных c1 и c2 .
Если Z плотно в Y , а Y плотно в X, то Z плотнов X.•Теорема. Если µ(G) < ∞, то L∞ (G) плотно в Lp (G) для любого p ∈ [1, ∞).•Следствие. Если µ(G) < ∞, то Lp (G) плотно в Lq (G) для любых p, q ∈ [1, ∞], таких, чтоp > q.•Теорема. Если G — ограниченное открытое множество в Rn , то пространство C(G) плотнов Lp (G) для любого p ∈ [1, ∞). Здесь G — замыкание множества G в Rn .•Заметим, что если f ∈ C(G), то max |f (x)| = kf k∞ .
Поскольку C(G) — полное пространx∈Gство, его замыкание (т.е., пополнение) по норме k · k∞ является самим пространствомC(G) 6= L∞ (G). Таким образом, C(G) не плотно в L∞ (G).Как следует из теоремы, замыканиеC(G)¢по норме k · kp , p ∈ [1, ∞), совпадает с Lp (G) 6=¡C(G). Поэтому пространство C(G), k · kp , p ∈ [1, ∞), не является полным (см. пример вначале параграфа).Определение. Банахово пространство называется сепарабельным, если в нём существуетсчётное всюду плотное множество.•По теореме Вейерштрасса множество полиномов с рациональными коэффициентами плотно в C(G).
Так как это множество является счётным, банахово пространство C(G) сепарабельно. Следовательно сепарабельными являются все пространства Lp (G) при p ∈ [1, ∞).Пространство L∞ (G) не сепарабельно.Пример. Пусть G = [0, 1]. Для каждого α ∈ (0, 1) определим функцию(0, x ∈ [0, α),uα (x) =1, x ∈ [α, 1].Очевидно, что все uα ∈ L∞ (G) и kuα − uβ k∞ = 1 при α 6= β. Кроме того, семейство{uα , α ∈ (0, 1)} является несчётным (оно имеет мощность континуума). Предположим,что существует счётное плотное в L∞ (G) множество V = {v1 , v2 , . . .}. ТогдаL∞ (G) ⊂∞[B(vk , 1/3),k=1где B(vk , 1/3) = {v ∈ L∞ (G) | kv − vk k∞ < 1/3} — шар в L∞ (G) с центром в vk радиуса1/3.
Но в каждом из этих шаров может лежать только одна из функций uα , поэтомумощность множества шаров должна быть больше мощности семейства {uα , α ∈ (0, 1)}.Получили противоречие. Таким образом, в L∞ (G) не существует счётного всюду плотногомножества.•Глава 12. Ряды Фурье.§ 12.1. Гильбертовы пространства.Определение. Банахово пространство называется гильбертовым, если в нём определенасимметричная билинейная форма (·, ·), называемая скалярным произведением, такая, что(u, u) = kuk2 .•73Пространство L2 (X) являетсяRгильбертовым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
