1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Скалярное произведение в нём определяетсяследующим образом: (u, v) = X u v dλ, где λ — мера Лебега.Пусть H — гильбертово пространство со скалярным произведением (·, ·) и нормой k · k.Лемма. (Неравенство Коши — Буняковского) Для любых u, v ∈ H справедливо неравенство: |(u, v)| 6 kuk kvk.•Линейной оболочкой множестваM называется совокупность всех конечных линейных комPcбинаций элементов из M : mi=1 i ui , ci ∈ R, ui ∈ M .Определение. Набор элементов {uα } гильбертова пространства H называется полным вH, если замыкание линейной оболочки {uα } совпадает с H.•Определение. Полная линейно независимая система {uα } элементов пространства Hназывается базисом.

Базис {uα } в гильбертовом пространстве H называется ортонормированным, если (uα , uβ ) = 0 при α 6= β и kuα k = 1 для всех α.•Утверждение. В сепарабельном гильбертовом пространстве любая ортонормированнаясистема элементов может быть не более чем счетной.•Утверждение. В каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует счетныйортонормированный базис.•Далее мы будем полагать, что H — сепарабельное гильбертово пространство.Определение. Пусть {ϕk } — счетная ортонормированная система в гильбертовом пространстве H, которая не обязательноявляется базисом.

Для произвольного u ∈ H обоP∞значим: αk = (u, ϕk ). Ряд k=1 αk ϕk называется рядом Фурье элемента u относительносистемы {ϕk }. Числа αk называются коэффициентами Фурье.•PmОбозначим через Sm (u) (или просто Sm ) частичные суммы k=1 αk ϕk ряда Фурье.P0Лемма.

Для каждого m ∈ N среди всех сумм Sm= mk=1 γk ϕk , γk ∈ R, минимум величины0ku − Smk в H достигается на частичной сумме Sm ряда Фурье, то есть при γk = αk .•Лемма. (Неравенство Бесселя) Для каждого u ∈ H имеет место неравенство∞Xαk2 6 kuk2 ,k=1где αk — коэффициенты Фурье элемента u.•Теорема. Пусть {ϕk } — ортонормированная система в H. Для того, чтобы эта система была полной в H, необходимо и достаточно, чтобы для любого u ∈ H выполнялосьравенство Парсеваля:∞X2kuk =αk2 ,k=1где αk — коэффициенты Фурье элемента u.•Теорема. (Теорема Рисса — Фишера) Пусть {ϕk } — ортонормированная, не обязательносистема в H и {γk } — произвольная последовательностьчисел, такая, чтоP∞P∞полная2k=1 γk ϕk с γk = (u, ϕk ) иk=1 γkP< ∞.

Тогда существует u ∈ H, такой, что u =2γ.•kuk2 = ∞k=1 k74Определение. Система {ϕk } элементов гильбертова пространства H называется тотальной, если для любого u ∈ H из того, что (u, ϕk ) = 0 для всех k следует, что u = 0 в H.•Теорема. Для того, чтобы система {ϕk } была полной в сепарабельном гильбертовом пространстве H, необходимо и достаточно, чтобы она была тотальной.•§ 12.2. Тригонометрические ряды Фурье.Рассмотрим в гильбертовом пространстве L2 (−π, π) тригонометрическую систему функций:1, cos x, sin x, . . . , cos kx, sin kx, .

. .Эта система является ортогональной, но не нормированной. Нетрудно убедиться в том,что система1cos x sin xcos kx sin kx√ , √ , √ , ..., √ , √ , ...ππππ2πортонормирована в L2 (−π, π).Каждой функции f ∈ L2 (−π, π) поставим в соответствие ряд Фурье∞f (x) ∼¢a0 X ¡+ak cos kx + bk sin kx ,2k=1где коэффициенты Фурье определены следующим образом:ZZ1 π1 πak =f (x) cos kx dx,bk =f (x) sin kx dx.π −ππ −πОпределение.

Тригонометрическим полиномом называется выражение видаc0 +mX¡¢ck cos kx + dk sin kx ,ck , dk ∈ R.•k=1Если T (x) — тригонометрический полином, а P (y) — алгебраический полином, то P (T (x))— тригонометрический полином.Теорема. (Вейерштрасс) Пусть f : [−π, π] → R — непрерывная функция и f (−π) =f (π). Тогда для любого ε > 0 существует тригонометрический полином T , такой, чтоmax |f (x) − T (x)| < ε.•x∈[−π,π]Утверждение. (Обращение теоремы Вейерштрасса) Если функция f : [−π, π] → Rаппроксимируется с любой точностью тригонометрическими полиномами по норме пространства C[−π, π], то f непрерывна и f (−π) = f (π).•Теорема. (Следствие из теоремы Вейерштрасса)Тригонометрическая система {1, cos x, sin x, .

. . , cos kx, sin kx, . . . } полна в пространстве L2 (−π, π).•Таким образом, для тригонометрической системы в L2 (−π, π) справедливы все утверждения, доказанные для полных ортонормированных систем в сепарабельных гильбертовых75пространствах. В частности,1)для каждой функции f ∈ L2 (−π, π) справедливо равенство Парсеваля: kf k2 = a20 /2 +P∞22k=1 (ak + bk );2) ряд Фурье, соответствующий функции f ∈ L2 (−π, π), сходится к f в L2 (−π, π).Далее мы исследуем поточечную сходимость рядов Фурье.Обозначим через Sn (x) (или через Sn (f, x)) частичную сумму ряда Фурье функции f :n¢a0 X ¡Sn (x) =+ak cos kx + bk sin kx ,2k=1Продолжим функцию f периодически на всю числовую ось R. Нетрудно посчитать, чтоZ π1 sin y(n + 1/2)Sn (x) =f (x + y) Dn (y) dy, где Dn (y) =.2πsin y/2−πИнтеграл в выраженииR π для Sn (x) называется интегралом Дирихле, а Dn (y) — ядром Дирихле.

Заметим, что −π Dn (y) dy = 1.Лемма. Пусть f ∈ L1 (a, b), где [a, b] — произвольный ограниченный интервал в R. ТогдаZlimp→∞Zbbf (t) sin pt dt = limp→∞af (t) cos pt dt = 0.Лемма. Для любого δ ∈ (0, π) имеет место равенствоZlimDn (t) dt = 0.n→∞•a•[−π,π]\(−δ,δ)Теорема. (Принцип локализации) Пусть f, g ∈ L1 (−π, π) и f = g на некотором интервале(a, b) ⊂ R. Тогда ряды Фурье, соответствующие функциям f и g, сходятся или расходятся одновременно на любом интервале (a0 , b0 ) ⊂ (a, b), и если они сходятся, то их суммысовпадают.•Теорема. Пусть f ∈ L1 (−π, π), x ∈ [−π, π] и выполняется условие Дини:Zδ−δ|f (x + t) − f (x)|dt < ∞|t|для некоторого δ > 0. Тогда Sn (f, x) → f (x) при n → ∞.•Заметим, что в формулировке теоремы допущена неточность (для наглядности).

Функциииз L1 (−π, π) определены с точностью до значений на множестве меры нуль, поэтому f (x)может быть не определена. Было бы более правильно изменить формулировку следующимобразом. ЕслиZ δ|f (x + t) − S0 |dt < ∞|t|−δдля некоторого числа S0 , то Sn (f, x) → S0 при n → ∞.76Теорема. Пусть f ∈ L1 (−π, π), x ∈ [−π, π], существуют пределы limt%x f (t) = f (x − 0),limt&x f (t) = f (x + 0) и выполняется второе условие Дини:Z δZ 0|f (x + t) − f (x + 0)||f (x + t) − f (x − 0)|dt < ∞,dt < ∞|t||t|0−δf (x + 0) + f (x − 0)при n → ∞.•2Обозначим через C 0, α [−π, π], α ∈ (0, 1), пространство непрерывных на [−π, π] функцийf , которые удовлетворяют условию Гёльдера: |f (x) − f (y)| 6 C |x − y|α для некоторойконстанты C.

При α = 1 условие Гёльдера называется условием Липшица. C 0, α [−π, π]является банаховым пространством с нормойдля некоторого δ > 0. Тогда Sn (f, x) →kf kC 0, α [−π,π] = max |f (x)| +x∈[−π,π]Функции из C0, α|f (x) − f (y)|.x,y∈[−π,π]|x − y|αmax[−π, π] удовлетворяют условиям Дини.Теорема. Пусть f ∈ C 0, α [−π, π] с α ∈ (0, 1] и f (−π) = f (π). Тогда ряд Фурье функции fсходится к f равномерно на [−π, π].•Теорема.

(Упражнение) Пусть функция f интегрируема на [−π, π], продолжена периодически на R и f (−π) = f (π). Если f ∈ C 0, α [a, b], где α ∈ (0, 1] и [a, b] ⊂ R, то для любогоδ ∈ (0, (b − a)/2) ряд Фурье функции f сходится к f равномерно на [a + δ, b − δ].•Пусть f — непрерывная на [−π, π] функция, продолженная периодически на R. Обозначим¢1¡σn (f, x) =S0 (f, x) + · · · + Sn−1 (f, x) . Нетрудно вычислить, чтоnZ π1 ³ sin nt/2 ´2σn (f, x) =f (x + t)Φn (t) dt, где Φn (t) =.2πn sin t/2−πВеличина σn (f, x) называется суммой Фейера, а Φn — ядром Фейера. Ядра Фейера обладают следующими свойствами:Rπ1) −π Φn (t) dt = 1 для всех n;RπR −δ2) δ Φn (t) dt → 0 и −π Φn (t) dt → 0 при n → ∞ для любого δ ∈ (0, π).Теорема.

(Фейер) Пусть f ∈ C[−π, π] и f (−π) = f (π). Тогда σn (f ) → f равномерно на[−π, π].•Из этой теоремы следует теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функцийтригонометрическими полиномами.В пространстве L2 (0, π) полными являются следующие две ортогональные системы функций:1, cos x, cos 2x, . . .

, cos kx, . . .sin x, sin 2x, . . . , sin kx, . . .Предположим, что функция f представима своим рядом Фурье. Согласно формуле Эйлера11cos kx = (eikx + e−ikx ) и sin kx = (eikx − e−ikx ). Отсюда получаем, что22i∞Xf (x) =ck eikx ,k=−∞77где c0 = a0 /2, ck = (ak + ibk )/2 при k < 0 и ck = (ak − ibk )/2 при k > 0. Можно вычислитьck и по следующей формуле:Z π1ck =f (x)e−ikx dx.2π −πЭто представление справедливо и для комплексных функций f = f1 + if2 : [−π, π] → C.Скажем, что комплексная функция принадлежит пространству Lp , если её вещественнаяи мнимая части лежат в этом пространстве. С пространством L2 есть небольшой нюанс.Скалярное произведениев комплексном пространстве L2 [−π, π] определяется следующимRπобразом: (u, v) = −π u(x) v(x) dx, где черта означает комплексное сопряжение.

Таким образом, в полном соответствии с нашими определениями для абстрактныхP∞гильбертовых2пространств для комплексного пространства L [−π, π] мы имеем: f = k=−∞ αk ϕk , где√ϕk (x) = eikx / 2π, αk = (f, ϕk ), k ∈ Z. Функции ϕk , k ∈ Z, образуют ортонормированныйбазис в L2 [−π, π].§ 12.3. Преобразование Фурье.Теорема. (Формула Фурье) Пусть функция f ∈ L1 (R) удовлетворяет условию Дини вточке x0 . ТогдаZZ +∞1 ∞f (x0 ) =dλf (t) cos λ(t − x0 ) dt.π 0−∞•Формулу Фурье можно записать в комплексной форме:Z +∞ Z +∞1f (x) =f (t) e−iλ(t−x) dtdλ .2π −∞ −∞Введем обозначение:1fˆ(λ) = √2πZ+∞f (t) e−iλ(t−x) dt.−∞fˆ называется преобразованием Фурье функции f .

Мы будем также использовать для преобразования Фурье обозначение F (f ). Согласно формуле Фурье справедлива формулаобращения преобразования Фурье:Z +∞1f (x) = √fˆ(λ) eiλ(t−x) dλ.2π −∞Выражение в правой части называется обратным преобразованием Фурье и обозначаетсяF −1 . Для того, чтобы формула обращения была справедлива, необходимо наложить нафункцию f некоторые ограничения (например, условие Дини).Утверждение.

Характеристики

Список файлов лекций