Главная » Просмотр файлов » 1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa

1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 20

Файл №824398 1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (Курс лекций Старовойтов) 20 страница1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398) страница 202021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

. ∧ f m ,где f k — произвольные внешние формы.Лемма. Пусть dimX = n и {e1 , . . . , en } — базис в X. Для любого набора индексов{k1 , . . . , kp } ⊂ {1, . . . , n} имеет место равенствоπ k1 ... kp = π k1 ∧ . . . ∧ π kp .•Таким образом, совокупность p-форм {π k1 ∧ . . . ∧ π kp , : 1 6 k1 6 . . . 6 kp 6 n} образуетбазис в Λp (X), то есть, каждая p-форма f может единственным образом быть представленав следующем виде:Xf=ak1 ... kp π k1 ∧ . . . ∧ π kp ,16k1 <...<kp 6nгде ak1 ... kp ∈ R.

Это выражение называется каноническим представлением p-формы f .Теорема (Об антикоммутативности внешнего произведения). Если f ∈ Λp (X) и g ∈Λq (X), то f ∧ g = (−1)pq g ∧ f.•Пусть X и Y — линейные пространства и Φ — линейное отображение X в Y . Линейноеотображение Φ : X → Y естественным образом порождает отображение Φ∗ : Λp (Y ) →Λp (X). Если f ∈ Λp (Y ), то(Φ∗ f )(x1 , . . . , xp ) = f (Φx1 , . . . , Φxp ).Отображение Φ∗ линейно, то есть,Φ∗ (f + g) = Φ∗ f + Φ∗ gи Φ∗ (λf ) = λΦ∗ fдля всех f, g ∈ Λp (Y ) и λ ∈ R. Кроме того,Φ∗ (f ⊗ g) = (Φ∗ f ) ⊗ (Φ∗ g),Φ∗ (Ap f ) = Ap (Φ∗ f ),Φ∗ (f ∧ g) = (Φ∗ f ) ∧ (Φ∗ g)для всех f ∈ Λp (Y ) и g ∈ Λq (Y ).§ 14.2.

Дифференциальные формы в Rn .Пусть U есть открытое множество в Rn , которое может совпадать со всем пространствомRn .Определение. Всякое отображение ω : U → Λp (Rn ) называется внешней дифференциальной формой степени p.•Таким образом, в каждой точке x ∈ U определена p-форма ωx ∈ Λp (Rn ).Если функция f : Rn → R дифференцируема в области U ⊂ Rn , то по определению dx fесть линейная форма на Rn для каждого x ∈ U . Таким образом, df является внешней87дифференциальной 1-формой. Рассмотрим функцию fi : Rn → R, которая каждой точке x ставит в соответствие её i-ю координату.

То есть, fi (x) = xi . Её дифференциал впроизвольной точке x ∈ Rn есть dx xi (ξ) = ξ i . Видим, что дифференциал не зависит отвыбора точки x, поэтому индекс x у знака дифференциала можно не писать, то есть,dxi (ξ) = ξ i = π i (ξ).Таким образом, каждая дифференциальная форма ω степени p может быть представленав таком виде:Xω=ak1 ... kp dxk1 ∧ . . . ∧ dxkp ,16k1 <...<kp 6nгде коэффициенты ak1 ... kp зависят от точки x, то есть, являются функциями, действующими из Rn в R. Это выражение называется каноническим представлением дифференциальной формы ω.

В произвольной фиксированной точке x ∈ U ⊂ Rn мы имеем:Xωx =ak1 ... kp (x) dxk1 ∧ . . . ∧ dxkp .16k1 <...<kp 6nОпределение. Дифференциальная форма ω называется p-формой класса C m (U ), есливсе коэффициенты ak1 ... kp в её каноническом представлении являются функциями классаC m (U ). Множество внешних дифференциальных p-форм класса C m (U ) будем обозначатьчерез C m (U ; Λp (Rn )).•Сопоставим каждой дифференциальной p-форме ω класса C m (U ), m > 1, некоторую(p + 1)-форму класса C m−1 (U ), обозначаемую через dω и называемую внешним дифференциалом формы ω.Если ω ∈ C m (U ; Λ0 (Rn )), то есть, ω = ω(x) является просто m раз непрерывно дифференцируемой в U функцией, то dω суть обычный дифференциал этой функции:nX∂ωdω =dxi .i∂xi=1Видим, что dω ∈ C m−1 (U ; Λ1 (Rn )) и коэффициенты ai в каноническом представленииформы dω есть функции ai (x) = ∂ω(x)/∂xi .Пусть теперь ω ∈ C m (U ; Λp (Rn )) с произвольным p ∈ {1, 2, .

. . , n}. Если каноническоепредставление формы ω имеет видXω=ak1 ... kp dxk1 ∧ . . . ∧ dxkp ,16k1 <...<kp 6nто положим по определениюdω =Xdak1 ... kp ∧ dxk1 ∧ . . . ∧ dxkp ,16k1 <...<kp 6nгде dak1 ... kp есть дифференциальная 1-форма, являющаяся дифференциалом функцииak1 ...

kp (x).Операция внешнего дифференцирования линейна:d(λ ω) = λ dω,d(ω1 + ω2 ) = dω1 + dω288для любого λ ∈ R и любых форм ω, ω1 , ω2 ∈ C 1 (U, Λp (Rn )), p > 0.Лемма. Для любой функции f : U → R класса C 1 (U ) и любой дифференциальной формыω ∈ C 1 (U ; Λp (Rn )), p > 1, имеет место равенствоd(f ω) = df ∧ ω + f dω.•Теорема.

Для любых дифференциальных форм ω1 ∈ C 1 (U ; Λp (Rn )) и ω2 ∈ C 1 (U ; Λq (Rn ))с p > 1 и q > 1 справедливо равенствоd(ω1 ∧ ω2 ) = (dω1 ) ∧ ω2 + (−1)p ω1 ∧ (dω2 ).•Теорема. Для произвольной дифференциальной формы ω ∈ C 2 (U ; Λp (Rn )), p > 0, справедливо равенство d(dω) = 0.•1n1mОбозначим через Rnx и Rmy пространства переменных x = (x , . . . , x ) и y = (y , . . . , y )1mk+1nmсоответственно. Пусть ϕ = (ϕ , . . .

, ϕ ) есть отображение класса Cиз Rx в Ry , U ⊂ Rnxи V ⊂ Rmy — открытые связные множества (области), такие, что ϕ(U ) = V .∗Для каждой дифференциальной формы ω ∈ C k (V ; Λp (Rmy )) определим форму ϕ ω ∈kpnC (U ; Λ (Rx )) по следующему правилу:(ϕ∗ ω)x (ξ 1 , . . . , ξp ) = ωϕ(x) (ϕ0 ξ 1 , .

. . , ϕ0 ξ p ),где ϕ0 есть производная отображения ϕ в точке x:0ϕ :Rnx→Rmy ,ϕ0ij∂ϕi,=∂xj0i(ϕ ξ) =nX∂ϕij=1∂xjξj .kpnОтображение ϕ∗ : C k (V ; Λp (Rmy )) → C (U ; Λ (Rx )) называется переносом дифференциальной формы при отображении ϕ.Заметим, что если f : V → R есть скалярная функция, то (ϕ∗ f )x = f (ϕ(x)).Лемма. Отображение ϕ∗ линейно. То есть, если ω, ω1 и ω2 — дифференциальные формыи C — скалярная постоянная, тоϕ∗ (ω1 + ω2 ) = ϕ∗ (ω1 ) + ϕ∗ (ω2 ),ϕ∗ (C ω) = C ϕ∗ (ω).nX∂ϕ jЛемма. Если ω = dy , то (ϕ ω)x =dx .j∂xj=1k∗••Лемма.

Если ω1 и ω2 — дифференциальные формы (произвольных степеней), тоϕ∗ (ω1 ∧ ω2 ) = ϕ∗ ω1 ∧ ϕ∗ ω2 .Упражнение. Если f — скалярная функция и ω — дифференциальная форма, то¡ ∗¢ϕ (f ω) x = f (ϕ(x)) (ϕ∗ ω)x .89••Таким образом, если форма ω задана в каноническом виде:Xωy =ak1 ... kp (y) dy k1 ∧ . . . ∧ dy kp ,16k1 <...<kp 6mтоX(ϕ∗ ω)x =ak1 ... kp (ϕ(x)) dϕk1 (x) ∧ . .

. ∧ dϕkp (x).16k1 <...<kp 6mmУтверждение. Если ω — форма степени m в Rm и ϕ : Rmx → Ry , то¡¢(ϕ∗ ω)x = ϕ∗ a dy 1 ∧ . . . ∧ dy m x = det ϕ0 (x) a(ϕ(x)) dx1 ∧ . . . ∧ dxm .Теорема.d(ϕ∗ ω) = ϕ∗ dω.••Определение. Дифференциальная форма ω ∈ C 1 (U ; Λp (Rn )) называется замкнутой, если dω = 0 в U .•Определение. Дифференциальная форма ω ∈ C k (U ; Λp (Rn )) называется точной, еслисуществует форма α ∈ C k+1 (U ; Λp−1 (Rn )), такая, что ω = dα в U .•Очевидно, точная форма всегда замкнута.

Справедливость обратного утверждения зависит от области определения формы.Определение. Область U называется звездной относительно точки x0 ∈ U , если длялюбой точки x1 ∈ U отрезок [x0 , x1 ] = {x ∈ Rn | x = tx1 + (1 − t)x0 , t ∈ [0, 1] } лежит в U .Теорема (Пуанкаре). Пусть U — звездная относительно одной из своих точек область вRn и ω ∈ C ∞ (U ; Λp (Rn )). Если dω = 0 в U , то существует α ∈ C ∞ (U ; Λp−1 (Rn )), такая, чтоdα = ω.•Пусть ω ∈ C(U ; Λp (Rn )), U ⊂ Rnx .

Если p = n (в этом случае форма имеет вид ωx =a(x) dx1 ∧ · · · ∧ dxn ), то можно определить интеграл от дифференциальной формы ω пообласти U . ПоложимZZω=a(x) dx.UUВ правой части этой формулы стоит интеграл Лебега (или Римана) от функции a пообласти U . Если ϕ : V → U , V ⊂ Rny , то ϕ∗ ω ∈ C(V ; Λn (Rn )) иZZ∗ϕω=a(ϕ(y)) det ϕ0 (y) dy.VVЕсли det ϕ0 (y) > 0, то согласно формуле замены переменных в интеграле Лебега (илиРимана)ZZ∗ϕω=ω.Vϕ(V )§ 14.3. Дифференциальные формы на многообразиях.Определение. Пусть M есть k-мерное многообразие в Rn . Дифференциальной формойω степени p на многообразии M называется отображение, которое каждой точке x ∈ Mставит в соответствие форму ωx ∈ Λp (Tx M ).•90Сумма и внешнее произведение форм на многообразии определяются обычным образом.Определим операцию внешнего дифференцирования.

Пусть a ∈ M и ψ — параметризациямногообразия M в некоторой окрестности U ⊂ Rn точки a. То есть, существует окрестность нуля V ⊂ Rk , такая, что M ∩ U = ψ(V ), ψ(0) = a и rang ψ 0 = k в V . Переменные вRk обозначим через t = (t1 , . . . , tk ).Определение. Дифференциальная форма α степени p + 1, определенная на M ∩ U , называется внешним дифференциалом формы ω степени p, если ψ ∗ α = d(ψ ∗ ω) в V .•Определение. Скажем, что p-форма ω на M принадлежит классу C m , если ψ ∗ ω — формакласса C m . Для этого необходимо, чтобы многообразие M было класса C m+1 , т.е. ψ былоотображением класса C m+1 .•Определение.

Пусть ψ — определенная выше параметризация (одна карта) k-мерногомногообразия M в U . Если ω — дифференциальная k-форма на M ∩ U , то положимZZω=ψ ∗ ω.•ψ(V )VВведем понятие интеграла по всему многообразию.Определение. Носителем функции f : Rn → R называется замыкание множества {x ∈Rn | f (x) 6= 0} в Rn . Обозначается носитель supp f .•Определение. Функция f : Rn → R называется финитной, если supp f есть компактноемножество в Rn .•Лемма (Урысон). Пусть компакт K содержится в открытом множестве U ⊂ Rn .

Существует функция f : Rn → [0, 1] класса C ∞ , такая, что supp f ⊂ U и f (x) = 1 при x ∈ K.•Теорема (О разбиении единицы). Пусть K — компакт в Rn и {U1 , . . . , Um } есть его открытое покрытие (т.е. все Ui — открытые множества в Rn и K ⊂ ∪mi=1 Ui ).

Существует набор∞бесконечно дифференцируемых (класса C ) функций f1 , . . . , fm : Rn → R, таких, что1) supp fi ⊂ Ui для всех i = 1, . . . , m;P2) mi=1 fi (x) = 1 для всех x ∈ K;Pm3) i=1 fi (x) 6 1 для всех x ∈ Rn .•Если выполняются условия (2) и (3), то набор функций {f1 , . . . , fm } является разбиениемединицы на K.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
870,68 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6549
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее