1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 19
Текст из файла (страница 19)
. . , xn ) = 0,...fk (x1 , . . . , xn ) = 0,где k < n. Обозначим x = (x1 , . . . , xn ), f = (f1 , . . . , fk ).³ ∂f ´= k для любой∂x x=aточки a ∈ M и f является отображением класса C , то M есть (n − k)-мерное многообразие класса C m в Rn .•Теорема (О неявно заданном многообразии). Если M 6= ∅, rankmТеорема (О касательном пространстве к неявно заданному многообразию).
Пусть M —82неявно заданное многообразие и выполнены условия предыдущей теоремы. Тогда Ta M ={x ∈ Rn | f 0 (a)hxi = 0}.•Определение. Пусть M — (n − k)-мерное неявно заданное многообразие класса C 1 вRn и F : Rn → R — функция класса C 1 . Мы скажем, что F достигает в точке a ∈ Mсвоего локального минимума на многообразии M (локального условного минимума), еслисуществует окрестность U точки a, такая, что F (a) 6 F (x) для любого x ∈ U .•Если в этом определении F (a) > F (x) для любого x ∈ U , то говорят о локальном максимуме на многообразии M или о локальном условном максимуме.
Если точка a являетсяточкой локального условного минимума или максимума, то она называется точкой локального условного экстремума.Теорема (Правило множителей Лагранжа). Пусть M — (n − k)-мерное неявно заданноемногообразие класса C 1 в Rn и F : Rn → R — функция класса C 1 . Если функция F достигает в точке a ∈ M своего локального экстремума на многообразии M , то существуютчисла λ1 , .
. . , λk , среди которых есть отличные от нуля, такие, что0F (a) =kXλi fi0 (a).i=1Введем обозначение: L(λ, x) = F (x) −•Pki=1λi fi (x) — функция Лагранжа.Теорема (Достаточное условие локального условного минимума). Пусть F, fi ∈ C 2 (Rn ),i = 1, . . . , k, x0 ∈ M и для некоторого λ = (λ1 , . . . , λk ) функция L удовлетворяет следующим условиям:∂L1.(λ, x0 ) = 0;∂x∂2L2.(λ, x0 ) является положительно определенным оператором на Tx0 M , т.е.,∂x2∂2L(λ, x0 )hh, hi > α|h|2 для некоторого α > 0 и для всех h ∈ Tx0 M .2∂xТогда x0 — точка локального минимума функции F на многообразии M .•Глава 14.
Дифференциальные формы.§ 14.1. Полилинейные формы.Пусть X есть линейное пространство над полем вещественных чисел R. То есть, по определению, если x ∈ X и y ∈ X, то (λx+µy) ∈ X для всех λ, µ ∈ R. Линейные пространствачасто называют векторными, а их элементы — векторами.PВыражение nk=1 αk xk , где αk ∈ R и xk ∈ X, называется линейной комбинацией векторовx1 ,P. .
. , xn . Векторы x1 , . . . , xn пространства X называются линейно независимыми, еслииз nk=1 αk xk = 0 следует, что все αk = 0. Здесь 0 есть нулевой вектор в X.Семейство {e1 , . . . , en } векторов линейного пространства X называется базисом,Pесли каждый вектор x ∈ X однозначно представим в виде линейной комбинации: x = nk=1 αk ek ,αk ∈ R. Коэффициенты αk называются координатами x относительно базиса {ek }. Векторы базиса являются линейно независимыми.83Множество Y называется линейным подпространством пространства X, если Y есть линейное пространство и Y ⊂ X. Линейной оболочкой семейства векторов пространстваX называется множество их всевозможных линейных комбинаций.
Легко проверить, чтолинейная оболочка является линейным подпространством в X. Линейную оболочку элементов x1 , . . . , xk называют подпространством, порождённым векторами x1 , . . . ,xk (илинатянутым на эти векторы).Линейное пространство называется конечномерным, если оно является линейной оболочкой конечного числа векторов.Теорема. Каждое конечномерное линейное пространство X имеет базис.•Теорема.
В конечномерном пространстве число элементов базиса не зависит от выборабазиса.•Размерностью линейного пространства X (обозначается dim X) называется число векторов в его базисе.Пусть X — конечномерное линейное пространство. Обозначим через X p линейное пространство, элементы которого суть упорядоченные наборы (x1 , . . . , xp ).Определение. Отображение f : X p → R называется полилинейной формой степени p(или p-линейной формой), еслиf (x1 , . . .
, αx0k + βx00k , . . . , xp ) = αf (x1 , . . . , x0k , . . . , xp ) + βf (x1 , . . . , x00k , . . . , xp )для каждого k = 1, . . . , p и для всех α, β ∈ R.•Для двух полилинейных форм f и g произвольных степеней k и m соответственно определим полилинейную форму f ⊗g степени k +m, называемую их тензорным произведением:(f ⊗ g)(x1 , . . . , xk , xk+1 , . . . , xk+m ) = f (x1 , . . . , xk ) g(xk+1 , . .
. , xk+m ).для полилинейных форм f , g и h произвольных степеней справедливы следующие соотношения:(λf ) ⊗ g = λ(f ⊗ g) для всех λ ∈ R,(f + g) ⊗ h = f ⊗ h + g ⊗ h,f ⊗ (g + h) = f ⊗ g + f ⊗ h,(f ⊗ g) ⊗ h = f ⊗ (g ⊗ h).Последнее свойство позволяет нам не заботиться о расстановке скобок в тензорных произведениях: (f ⊗ g) ⊗ h = f ⊗ (g ⊗ h) = f ⊗ g ⊗ h.Предположим, что dim X = n и {e1 , . .
. , en } — какой-либо базис в X. Поставим в соответствие этому базису n линейных форм π k , k = 1, . . . , n, определённых следующим образом:π k (x) = xk ,где xk есть k-я координата вектора x относительно базиса {e1 , . . . , en }, то есть, x =Pnkkkkk=1 x ek . Заметим, что π (em ) = δm , где δm — символ Кронекера.Лемма (О представлении полилинейных форм). Для каждой определённой на X полилинейной формы f степени p справедливо представлениеnnXXf=...ak1 ...
kp π k1 ⊗ . . . ⊗ π kp ,k1 =1kp =184где ak1 ... kp = f (ek1 , . . . , ekp ). Формы вида π k1 ⊗ . . . ⊗ π kp , где каждый индекс ki пробегаетзначения от 1 до n, образуют базис в пространстве полилинейных форм степени p.•Полилинейная форма f степени p > 2 называется кососимметрической, если она меняетзнак при перестановке двух её произвольных аргументов:f (x1 , . . . , xk , . . . , xm , . . . , xp ) = −f (x1 , . .
. , xm , . . . , xk , . . . , xp ).•Множество всех кососимметрических p-линейных форм на X образует линейное пространство, которое мы будем обозначать Λp (X). Если p = 1, то определим Λ1 (X) как линейноепространство всех линейных форм на X. Если p = 0, то мы положим Λ0 (X) = R. Длякраткости мы будем называть кососимметрические полилинейные формы степени p (тоесть, элементы пространства Λp (X)) просто p-формами или внешними p-формами.Лемма. Пусть f ∈ Λp (X) и p > 2. Если xk = xm для пары различных индексов k и m, тоf (x1 , .
. . , xp ) = 0.•Следствие. Пусть f ∈ Λp (X) и p > 2. Если векторы x1 , . . . , xp пространства X линейнозависимы, то f (x1 , . . . , xp ) = 0.•Следствие. Если f ∈ Λp (X) и p > dim X, то f = 0, то есть, f (x1 , . . . , xp ) = 0 для всехнаборов векторов x1 , . . . , xp пространства X.•Пусть Np = {1, 2, . . . , p}. Каждое взаимнооднозначное отображение множества Np в себяназывается перестановкой. Обозначим через Pp множество всех перестановок в Np . Перестановка σ ∈ Pp называется транспозицией, если в Np существует пара различных чиселk и m, таких, что σ(k) = m, σ(m) = k и σ(`) = ` для любого `, отличного от k и m.Всякая перестановка из Pp может быть представлена как суперпозиция конечного числатранспозиций. При этом чётность числа транспозиций в этом представлении не зависит отвыбора представления. Назовём сигнатурой перестановки σ число ε(σ), равное +1, еслиσ разлагается в суперпозицию чётного числа транспозиций, и −1, если — нечётного.Теорема.
Пусть f ∈ Λp (X) и p > 2. Для любой перестановки σ ∈ Pp имеет место равенствоf (xσ(1) , . . . , xσ(p) ) = ε(σ) f (x1 , . . . , xp ).•Введём операцию альтернирования Ap , которая каждой полилинейной форме f степениp > 2 ставит в соответствие кососимметрическую p-форму Ap f :(Ap f )(x1 , . . . , xp ) =1 Xε(σ)f (xσ(1) , .
. . , xσ(p) ).p ! σ∈PpСумма здесь берётся по всем перестановкам из Pp .Если f ∈ Λp (X), то Ap f = f . Операция альтернирования линейна, то есть,Ap (f + g) = Ap f + Ap g,Ap (λf ) = λ Ap fдля любого λ ∈ R и всех полилинейных форм f и g степени p.
Из этих свойств операцииAp следует, чтоnnXXAp f =...ak1 ... kp Ap (π k1 ⊗ . . . ⊗ π kp )k1 =1kp =185для любой полилинейной формы f степени p. Кроме того, для линейных форм f 1 , . . . , f p¯ 1¯¯f (x1 ) . . . f p (x1 )¯¯¯1 ¯¯....................Ap (f 1 ⊗ . . . ⊗ f p )(x1 , . . . , xp ) =¯p ! ¯¯ 1pf (xp ) . .
. f (xp )¯Лемма. Пусть dimX = n и {e1 , . . . , en } — базис в X. Каждая форма f ∈ Λp (X) можетбыть однозначно представлена в таком виде:Xf=ak1 ... kp π k1 ... kp ,16k1 <...<kp 6nгде сумма берётся от 1 до n по всем ki , удовлетворяющим условию под знаком суммы,ak1 ... kp ∈ R, а формы π k1 ...
kp ∈ Λp (X) определены следующим образом:¯¯ k¯π 1 (x1 ) . . . π kp (x1 )¯¯¯•π k1 ... kp (x1 , . . . , xp ) = ¯¯. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .¯¯ .¯π k1 (xp ) . . . π kp (xp )¯Из этой леммы следует, что множество p-форм {π k1 ... kp , 1 6 k1 < . . . < kp 6 n} образуетбазис в Λp (X), а dim Λp (X) = Cnp .Определение.
Внешним произведением форм f ∈ Λp (X) и g ∈ Λq (X) называется следующая форма (f ∧ g) ∈ Λp+q (X):f ∧g =(p + q)!Ap+q (f ⊗ g).p!q!•Внешнее произведение обладает следующими простейшими свойствами:(f + g) ∧ h = f ∧ h + g ∧ h,(λf ) ∧ h = λ(f ∧ h)где λ ∈ R, f ∈ Λp (X), g ∈ Λp (X), h ∈ Λq (X) с произвольными p и q.Теорема. Если f ∈ Λp (X) и g ∈ Λq (X), тоX(f ∧ g)(x1 , . .
. , xp+q ) =ε(σ) f (xσ(1) , . . . , xσ(p) ) g(xσ(p+1) , . . . , xσ(p+q) ),σгде сумма берётся по всем упорядоченным перестановкам σ ∈ Pp+q , то есть таким, чтоσ(1) < . . . < σ(p) и σ(p + 1) < . . . < σ(p + q).•Лемма. Пусть dimX = n и {e1 , .
. . , en } — базис в X. Для любого набора индексов{k1 , . . . , kp+q } ⊂ {1, . . . , n} имеет место равенствоπ k1 ... kp ∧ π kp+1 ... kp+q = π k1 ... kp+q .Теорема. Внешнее произведение ассоциативно, то есть,(f ∧ g) ∧ h = f ∧ (g ∧ h)86•для любых форм f ∈ Λp (X), g ∈ Λq (X) и h ∈ Λs (X) с произвольными p, q и s.•Из этой теоремы следует, что мы можем не заботиться о расстановке скобок во внешнемпроизведении нескольких форм и имеем право писать выражения вида f 1 ∧ f 2 ∧ . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
