1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Кроме того, очевидно, что можно взятьпоследовательность полиномов с рациональными коэффициентами.§ 10.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.Пусть задана функция f = f (x, y), где x ∈ [a, ω) и y ∈ Y ⊂ Rn . Здесь либо ω = +∞, либоRbf (x, y) → ∞ при x → ω. Обозначим Fb (y) = a f (x, y) dx, где b ∈ (a, ω). Если FbR(y) сходитсяωпри b → ω, то говорят, что существует (сходится) несобственный интеграл a f (x, y) dx,значение которого мы обозначим через F (y).RωОпределение. Несобственный интеграл a f (x, y) dx называется сходящимся равномернопо y ∈ Y , если Fb сходится при b → ω равномерно по y ∈ Y .•59Теорема (Критерий Коши).
Для того, чтобы несобственный интегралдился равномерно по y ∈ Y , необходимо и достаточно, чтобы¯Z¯∀ε > 0 ∃B ∈ (a, ω) : ¯b2Rωaf (x, y) dx схо-¯¯f (x, y) dx¯ < ε ∀b1 , b2 ∈ (B, ω) и ∀y ∈ Y.•b1Теорема (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов).Пусть функции f = f (x, y) и g = g(x, y) интегрируемы по x на [a, b] для любого b ∈ (a, ω)и для любого y R∈ Y ⊂ Rn . Пусть, кроме того, |f (x, y)| 6 g(x, y) для всех xR ω∈ [a, ω) и y ∈ Y .ωЕсли интеграл a g(x, y) dx сходится равномерно по y ∈ Y , то интеграл a f (x, y) dx тожесходится равномерно по y ∈ Y .•Теорема (Признак Абеля равномерной сходимости несобственных интегралов).
ПустьRωа) a f (x, y) dx сходится равномерно по y ∈ Y ;б) функция g = g(x, y) монотонна по x на [a, ω) при каждом y ∈ Y и равномерно ограничена, т.е. существует K, такое, что |g(x, y)| 6 K для всех x ∈ [a, ω) и y ∈ Y .RωТогда a f (x, y)g(x, y) dx сходится равномерно по y ∈ Y•Теорема (Признак Дирихле равномерной сходимости несобственных интегралов). Пусть¯R¯¯ b¯а) существует константа K, такая, что ¯ a f (x, y) dx¯ 6 K для всех b ∈ [a, ω) и y ∈ Y ;б) функция g = g(x, y) монотонна по x на [a, ω) при каждом y ∈ Y и g(x, y) → 0 при x → ωравномерно по y ∈ Y .RωТогда a f (x, y)g(x, y) dx сходится равномерно по y ∈ Y•Теорема (О предельном переходе под знаком несобственного интеграла). Пустьа) f (x, y) → ϕ(x) при y → y0 равномерно по x ∈ [a, b] для всех b ∈ (a, ω);Rωб) интеграл a f (x, y) dx сходится равномерно по y ∈ Y .RωТогда сходится интеграл a ϕ(x) dx иZZωωϕ(x) dx = limf (x, y) dx.y→y0aТеорема.
Пусть функции f (x, y) и•a∂f(x, y) непрерывны наR∂yωf (x, y0 ) dx сходится;a[a, ω) × [c, d] иа) существует y0 ∈ [c, d], такой, чтоRωб) a ∂f(x, y) dx сходится равномерно по y ∈ [c, d].∂yRωТогда интеграл a f (x, y) dx сходится равномерно по y ∈ [c, d] иddyZZωωf (x, y) dx =aa∂f(x, y) dx.∂yТеорема. Пусть функция f (x, y) непрерывна на [a, ω) × [c, d] и интегралсходится равномерно по y ∈ [c, d]. ТогдаZdZZωωZaf (x, y) dydx.a60Rωaf (x, y) dxdf (x, y) dxdy =c•c•Теорема. Пусть функция f (x, y) непрерывна на [a, ω1 ) × [c, ω2 ) иRωRωа) интегралы a 1 f (x, y) dx и c 2 f (x, y) dy сходятся равномерно на [a, b] и [c, d] соответственно для всех b ∈ (a, ω1 ) и d ∈ (c, ω2 );б) существует хотя бы один из интеграловZ ω1 Z ω2Z ω2 Z ω1|f (x, y)| dydx,|f (x, y)| dxdy.aТогдаcZω1cZZω2aω2Zω1f (x, y) dydx =af (x, y) dxdy.cc•aΓ и B функции Эйлера.ZZ∞Γ (α) =xα−1 −xedx,1B(α, β) =0xα−1 (1 − x)β−1 dx,α > 0, β > 0.0Свойства:Γ (α + 1) = αΓ (α),B(α, β) = B(β, α),Zπ/20Γ (n + 1) = n!,B(α, β) =Γ (α)Γ (β)Γ (α + β)Γ (1/2) =√π,(упражнение).1 ³p + 1 q + 1´sin x cos x dx = B.,222pqОбъем n-мерного шара радиуса R: Vn =π n/2 Rn.Γ (1 + n/2)Глава 11.
Мера и интеграл Лебега.§ 11.1. Общее понятие меры.Пусть X — некоторое множество и P(X) — система всех его подмножеств.Система множеств R ⊂ P(X) называется кольцом множеств, если для любых множествA и B из R множества A ∪ B и A \ B также принадлежат R.Каждое кольцо R обладает следующими свойствами:1. ∅ ∈ R;2. A, B ∈ R ⇒ A ∩ B ∈ R, A 4 B ∈ R;3. A1 , . .
. , Ak ∈ R ⇒ ∪ki=1 Ai ∈ R, ∩ki=1 Ai ∈ R.Скажем, что U ⊂ P(X) является системой множеств с единицей, если существует множество E ∈ U, такое, что E ∩ A = A для любого множества A ∈ U . При этом E называютединицей системы U.Нетрудно видеть, что U является системой множеств с единицей тогда и только тогда,когда E = ∪A∈U A ∈ U . При этом E является единицей.Кольцо множеств с единицей называется алгеброй множеств.61Обычно, если рассматриваются множества из какого-либо кольца R ⊂ P(X), то можносчитать, что X = ∪A∈R A, так как элементы множества X, не входящие в какое-либо множество из R, не рассматриваются. Таким образом, кольцо R ⊂ P(X) является алгеброй,если X ∈ R.Кольцо R называется σ-кольцом множеств, если для любой последовательности {Ai }множеств Ai ∈ R их объединение ∪∞i=1 Ai также является элементом R.σ-кольцо с единицей называется σ-алгеброй.Если R — σ-кольцо или σ-алгебра, то для любой последовательности {Ai } множеств Ai ∈R их пересечение ∩∞i=1 Ai также является элементом R.Любая функция ϕ с областью определения dom(ϕ) ⊂ P(X), принимающая значения в R,называется функцией множества.Определение.
Неотрицательная функция множества ϕ называется конечно-аддитивноймерой, если1. её область определения dom(ϕ) является кольцом (или алгеброй);2. ϕ(A ∪ B) = ϕ(A) + ϕ(B) для любых непересекающихся множеств A и B из dom(ϕ). •Определение. Неотрицательная функция множества ϕ называется мерой, если1.
её область определения dom(ϕ) является σ-кольцом (или σ-алгеброй);P∞2. ϕ(∪∞i=1 Ai ) =i=1 ϕ(Ai ) для любой последовательности непересекающихся множествAi ∈ dom(ϕ).•Второе свойство называют счётной аддитивностью (или σ-аддитивностью) меры. Иногда предполагают, что мера принимает значения из [0, +∞], т.е., допускают значение +∞.В этом случае в определении необходимо дополнительно предположить, что ϕ(∅) = 0,дабы исключить единственный пример, в котором мера любого множества равна +∞.Пространством с мерой называется тройка (X, ϕ, A), где X — некоторое множество, ϕ —мера с dom(ϕ) = A.
Множества из A обычно называют ϕ-измеримыми.Пример (Считающая мера). Пусть X — произвольное множество и dom(ϕ) = P(X). Дляпроизвольного множества A ∈ P(X) определим ϕ(A) как количество элементов множестваA. Эта мера может принимать значение +∞.•Пример (Мера Дирака). Пусть X — произвольное множество и dom(ϕ) = P(X). Зафиксируем какой-либо элемент x0 ∈ X. Для произвольного множества A ∈ P(X) определим(1, x0 ∈ A,ϕ(A) =0, x0 6∈ A.Для этой меры часто используют специальное обозначение: δx0 .•§ 11.2. Мера Лебега в Rn .Пусть Rn — n-мерное евклидово пространство со стандартным базисом.Параллелепипедом (или n-мерным интервалом) будем называть множество вида {x =(x1 , . .
. , xn ) ∈ Rn | ai / xi / bi , i = 1, 2, . . . , n}, где значок «/» означает «<» либо «6». Такимобразом, если I — параллелепипед, то I = I 1 × I 2 × . . . × I n , где I i — непустые одномерныепромежутки.62Назовём число m(I) = Πni=1 (bi − ai ) = (b1 − a1 )(b2 − a2 ) · · · (bn − an ) объёмом (или n-мернымобъёмом) параллелепипеда I. Заметим, что всегда 0 6 m(I) < ∞.n∗Определение. Пусть A — произвольное множествоP∞ в R . Внешней мерой µ (A) множества A называется точная нижняя грань сумм k=1 m(Ik ) по всем возможным последовательностям {Ik } параллелепипедов, таких, что A ⊂ ∪∞k=1 Ik .
То есть,∗µ (A) = inf∞nXm(Ik ) | A ⊂∪∞k=1 Iko•k=1Замечания.P1. Может случиться, что рядm(Ik ) расходится для любой покрывающей A последовательности параллелепипедов {Ik }. В этом случае µ∗ (A) = ∞.2. Так как каждый параллелепипед можно разбить на несколько параллелепипедов меньшего размера, значение µ∗ (A) не изменится, если мы в определении дополнительно потребуем, чтобы диаметры параллелепипедов Ik были меньше некоторого заданного положительного числа.3. Значение µ∗ (A) не изменится, если мы в определении потребуем, чтобы параллелепипеды Ik были открытыми, т.е., имели вид {x = (x1 , . .
. , xn ) ∈ Rn | ai < xi < bi , i = 1, 2, . . . , n}.4. Внешняя мера, вообще говоря, мерой не является.•Теорема (Монотонность внешней меры). Если A ⊂ B, то µ∗ (A) 6 µ∗ (B).•∞∗ТеоремаP∞ ∗ (Счётная полуаддитивность внешней меры). Если A ⊂ ∪k=1 Ak , то µ (A) 6•k=1 µ (Ak ).Теорема. Если I — параллелепипед, то µ∗ (I) = m(I).•Определение. Скажем, что множество A ⊂ Rn является множеством меры нуль, еслиµ∗ (A) = 0.•Если какое-либо утверждение справедливо для всех точек множества A ⊂ Rn , кроме некоторого множества меры нуль, то говорят, что это утверждение справедливо почти всюдув A или для почти всех точек множества A.Теорема.
Если F1 и F2 — непересекающиеся компактные множества в Rn , тоµ∗ (F1 ∪ F2 ) = µ∗ (F1 ) + µ∗ (F2 ).•nСледствие.¢ Если¡ kPk F1∗, . . . , Fk — непересекающиеся компактные множества в R , то∗µ ∪i=1 Fi = i=1 µ (Fi ).•Теорема. Для любого ограниченного открытого множества G и любого ε > 0 существуетзамкнутое множество F ⊂ G, такое, что µ∗ (G) < µ∗ (F ) + ε.•Теорема. Если F — замкнутое подмножество ограниченного открытого множества G, тоµ∗ (G \ F ) = µ∗ (G) − µ∗ (F ).•Определение.
Множество A ⊂ Rn измеримо (по Лебегу), если для любого ε > 0 найдутсязамкнутое множество F и открытое множество G, такие, что F ⊂ A ⊂ G и µ∗ (G \ F ) < ε.Совокупность измеримых множеств будем обозначать через M.•Теорема. Если A ∈ M, то (Rn \ A) ∈ M.•Теорема. Если множества A и B измеримы, то A ∩ B измеримо.•63Теорема. Ограниченное множество A измеримо, если для любого ε > 0 найдётся замкнутое множество F ⊂ A, такое, что µ∗ (A) < µ∗ (F ) + ε.•Следствие. Любое ограниченное открытое множество измеримо.•Теорема. Любой параллелепипед и любое множество меры нуль измеримы.•Лемма. Пусть {Ak } — последовательность непересекающихся измеримых множеств, содержащихсяв некотором параллелепипеде. Если A = ∪∞k=1 Ak , то множество A измеримоP∞∗∗и µ (A) = k=1 µ (Ak ).•Теорема (Счётная аддитивность внешней меры на измеримых множествах ). Для любой последовательности {AkP} непересекающихся измеримых множеств, множество A =∞∗∗∪k=1 Ak измеримо и µ (A) = ∞•k=1 µ (Ak ).Так как Rn — измеримое множество, система M измеримых множеств образует σ-алгебру.Внешняя мера µ∗ является σ-аддитивной (счётно-аддитивной) функцией множества на M,поэтому её сужение с P(Rn ) на M является мерой.
Эта мера называется мерой Лебега.Мы будем обозначать её через µ. Итак, сформулируем определение меры Лебега.Определение. Мерой Лебега называется функция множества µ, такая, что dom(µ) = Mи µ(A) = µ∗ (A) для любого множества A ∈ M.•Таким образом, мы определили пространство с мерой (Rn , µ, M).Теорема (Непрерывность меры Лебега). Если {Ak } — последовательность измеримыхмножеств, таких, что Ak ⊂ Ak+1 , то множество A = ∪∞k=1 Ak измеримо и µ(A) = lim µ(Ak ).k→∞Если {Ak } — последовательность измеримых множеств, таких, что Ak+1 ⊂ Ak и µ(A1 ) < ∞,то множество A = ∩∞•k=1 Ak измеримо и µ(A) = lim µ(Ak ).k→∞nПусть U ⊂ P(R ) — некоторая система множеств. Назовём σ-алгеброй, порождённой системой U, минимальную σ-алгебру, содержащую систему U. То есть, если A — порождённая системой U σ-алгебра и B — другая содержащая систему U σ-алгебра, то A ⊂ B.Борелевской σ-алгеброй называется σ-алгебра, порождённая всеми открытыми множествами в Rn .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
