1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Элементы этой σ-алгебры называются борелевскими множествами. Борелевскую σ-алгебру будем обозначать через B. Нетрудно заметить, что B состоит из техмножеств, которые можно получить из открытых счётным применением операций объединения, пересечения и разности (пересечение можно убрать). Таким образом, все открытыеи замкнутые (как дополнения к открытым) множества будут борелевскими. Существуюти более сложные борелевские множества.Некоторое множество A является множеством типа Fσ , если существует последовательность {Ak } замкнутых множеств, такая, что A = ∪∞k=1 Ak .Некоторое множество A является множеством типа Gδ , если существует последовательность {Ak } открытых множеств, такая, что A = ∩∞k=1 Ak .Очевидно, что множества типов Fσ и Gδ являются борелевскими.Теорема.
Любое борелевское множество является измеримым.•Теорема. Множество является измеримым тогда и только тогда, когда его можно представить в виде объединения множества типа Fσ и множества меры нуль.Множество является измеримым тогда и только тогда, когда его можно представить ввиде разности множества типа Gδ и множества меры нуль.•64Таким образом, измеримые множества отличаются от борелевских на множество нулевоймеры.Пусть A — множество в Rn и a — вектор.
Сдвигом множества A на вектор a называетсямножество A + a = {(x + a) ∈ Rn | x ∈ A}. Так как для любого параллелепипеда Iи любого вектора a, множество I + a является параллелепипедом и m(I + a) = m(I),справедлива следующая теорема.Теорема. Мера Лебега инвариантна относительно сдвигов. То есть, если A ∈ M, то(A + a) ∈ M для любого вектора a и µ(A + a) = µ(A).•b мы обозначим концентрический с B замкнутыйЕсли B — замкнутый шар в Rn , то через Bb = {x ∈шар в пять раз большего радиуса. Т.е., если B = {x ∈ Rn | |x − b| 6 r}, то BRn | |x − b| 6 5r}. Будем обозначать через rad B радиус шара B.Теорема (Теорема Витали о покрытии).
Пусть F — произвольное семейство невырожденных (ненулевого радиуса) замкнутых шаров в Rn и sup{rad B | B ∈ F} < ∞. Тогдасуществует счётное подсемейство G ⊂ F непересекающихся шаров, такое, что[[bB⊂B.•B∈FB∈GСледствие. Пусть A — открытое множество в Rn и δ > 0 — произвольное число. Существует счётное семейство G непересекающихся замкнутых шаров B ⊂ A, такое, чтоrad B 6 δ для всех B ∈ G и³[ ´µ A\B = 0.•B∈GЛинейное отображение U : Rn → Rn называется ортогональным, если U U ∗ = U ∗ U = I,где I — тождественное отображение, U ∗ — сопряжённое (транспонированное) к U отображение. Ортогональные отображения представляют собой композицию поворотов вокругначала координат и отражений.
Заметим, что |det U | = 1. Ещё одно важное для нас свойство ортогональных отображений состоит в том, что они переводят шар в шар того жерадиуса.Теорема. Пусть A — измеримое множество ¡в Rn и¢ U : Rn → Rn — ортогональное отображение. Тогда множество U (A) измеримо и µ U (A) = µ(A).•Линейное отображение D : Rn → Rn называется диагональным, если в стандартном базиседиагональной является матрица этого отображения. Важное для нас свойство диагональных отображений состоит в том, что они переводят параллелепипед в параллелепипед.Теорема.
Для каждого открытого множества A существует счётное семейство непересекающихся параллелепипедов {Ik }, такое, что Ik ⊂ A для всех k и A = ∪∞•k=1 Ik .Теорема. Пусть A — измеримое множество ¡в Rn и¢ D : Rn → Rn — диагональное отображение. Тогда множество D(A) измеримо и µ D(A) = |det D| µ(A).•Из курса алгебры известен следующий результат: если Λ : Rn → Rn — линейное отображение, то существуют ортогональные отображения U и V и диагональное отображениеD, такие, что Λ = U DV .nnnТеорема. Пусть A — измеримое множество¡¢ в R и Λ : R → R — линейное отображение.Тогда множество Λ(A) измеримо и µ Λ(A) = |det Λ| µ(A).•65§ 11.3. Измеримые функции.Пусть X — измеримое множество в Rn .Определение.
Функция f : X → R называется измеримой (по Лебегу), если для любогочисла c ∈ R множество {x ∈ X | f (x) < c} измеримо.•Функция f измерима тогда и только тогда, когда для любого числа c ∈ R измеримымножества {x ∈ X | f (x) 6 c}, {x ∈ X | f (x) > c} и {x ∈ X | f (x) > c}.Как и ранее, если F есть отображение из X в Y , то через F −1 (A) обозначим прообразмножества A ⊂ Y . То есть, F −1 (A) = {x ∈ X | F (x) ∈ A}.Утверждение. Функция f : X → R измерима тогда и только тогда, когда множествоf −1 (A) измеримо для любого борелевского множества A ⊂ R.•Функция f : X → R называется борелевской (или измеримой по Борелю), если для любогочисла c ∈ R множество {x ∈ X | f (x) < c} является борелевским.Очевидно, что каждая борелевская функция измерима.
Кроме того, нетрудно показать,что функция f : X → R является борелевской тогда и только тогда, когда множествоf −1 (A) является борелевским для любого борелевского множества A ⊂ R.Отметим простейшие свойства измеримых функций:1. любая функция, определённая на множестве меры нуль, является измеримой;2.
если функция f : X → R измерима, то для любого измеримого множества X1 ⊂ Xфункция f : X1 → R также измерима;3. если {Xk } — последовательность измеримых множеств и функция f определена и из∞мерима на каждом из них, то она измерима на ∩∞k=1 Xk и ∪k=1 Xk .Теорема. Пусть F : R2 → R — непрерывная функция. Если функции¡ f, g : X¢ → Rизмеримы, то измерима функция h : X → R, определённая как h(x) = F f (x), g(x) .•Следствие. Если функции f и g измеримы, то измеримы функции f + g, f · g, |f |, а также1/f , если f не обращается в нуль.•Утверждение.
Пусть заданы две функции f, g : X → R. Если функция f измерима иf = g почти всюду в X, то функция g тоже измерима.•Теорема. Пусть {fk : X → R} — последовательность измеримых функций. Если g(x) =sup fk (x) и f (x) = lim fk (x) для всех x ∈ X, то функции g и f измеримы.•k∈Nk→∞Следствие. Пусть {fk : X → R} — последовательность измеримых функций. Если f (x) =lim fk (x) для всех x ∈ X, то функция f измерима.•k→∞Скажем, что последовательность функций {fk } сходится почти всюду в X к функции f ,если fk (x) → f (x) при k → ∞ для почти всех x ∈ X.Теорема. Если последовательность fk : X → R измеримых функций сходится почтивсюду в X к функции f : X → R, то функция f измерима.•Теорема (Егоров). Пусть последовательность fk : X → R измеримых функций сходитсяк функции f : X → R почти всюду на множестве E ⊂ X и µ(E) < ∞. Тогда для любогоδ > 0 существует множество Eδ ⊂ E, такое, что µ(E \ Eδ ) < δ и fk → f равномерно на Eδ .•66§ 11.4.
Интеграл Лебега.Предположим, что X есть произвольное измеримое множество конечной меры (µ(X) < ∞)в Rn .Определение. Функция f : X → R называется простой, если она измерима и принимаетне более чем счётное число значений a1 , a2 , . . .. Скажем, чтоP простая функция f суммиру−1ема (или интегрируема), если абсолютно сходится ряд ∞(ak ).k=1 ak µ(Ak ), где Ak = fСуммуR этого ряда назовём интегралом от простой функции по мере Лебега и обозначимчерез X f dµ.•Отметим некоторые свойства интеграла от простых функций.1)R Если f и g —R простыеR интегрируемые функции, то функция (f + g) интегрируема и(f+g)dµ=f dµ + X g dµ.XXR2) Если f — Rпростая интегрируемая функция и k ∈ R, то функция kf интегрируема иkf dµ = k X f dµ.X3) Если¯ Rf — простаяинтегрируемая функция, такая, что |f | 6 M для некоторой константы¯M , то ¯ A f dµ¯ 6 M µ(A), где A — произвольное измеримое множество в X.Теорема.
Для того, чтобы функция f : X → R была измерима, необходимо и достаточно,чтобы существовала последовательность простых измеримых функций {fk }, сходящаясяк f равномерно на X.•Замечание. Если в предыдущей теореме f > 0, то последовательность простых функций{fk } можно выбрать монотонно возрастающей или монотонно убывающей.•Определение. Измеримая функция f : X → R называется интегрируемой (или суммируемой) на множестве A ⊂ X, если существует последовательность простых интегрируRемых функций {fk }, сходящаяся к f равномерно на A. При этом число limk→∞R A fk dµназывается интегралом Лебега от функции f по множеству A и обозначается A f dµ.
•Это определение корректно, так как справедливы следующие утверждения:R1) если fk ⇒ f , то существует limk→∞ A fk dµ;X2) этот предел не зависит от выбора последовательности {fk }.Обозначим через L(A) множество интегрируемых на множестве A функций.Отметим некоторые свойства интеграла Лебега.1) Если f ∈ L(X), то f ∈ L(A) для любого измеримого множества A ⊂ X.R2) Если f ∈ L(X), A ⊂ X и µ(A) = 0, то A f dµ = 0.R3) Для любого измеримого множества A ⊂ X справедливо равенство: X χA dµ = µ(A),где функция χA определяется следующим образом(1, x ∈ A,χA (x) =0, x 6∈ Aи называется характеристической функцией множества A.RR4) Если f ∈ L(X) и k ∈ R, то функция (kf ) ∈ L(X) и X kf dµ = k X f dµ.RRR5) Если f, g ∈ L(X), то (f + g) ∈ L(X) и X (f + g) dµ = X f dµ + X g dµ.67R6) Если f ∈ L(A) и f > 0 почтивсюдуRR в A, то A f dµ > 0.
В частности, если f, g ∈ L(A) иf > g почти всюду в A, то A f dµ > A g dµ. Если f ∈ L(A)и M1 6 f 6 M2 почти всюду вRA для некоторых постоянных M1 и M2 , то M1 µ(A) 6 A f dµ 6 M2 µ(A).RR7) Если f ∈ L(A), множество B ⊂ A измеримо и µ(A \ B) = 0, то A f dµ = B f dµ.RR8) Если f ∈ L(X) и g(x) = f (x) для почти всех x ∈ X, то g ∈ L(X) и X g dµ = X f dµ.9) Если A1 и A2 R— измеримыемножества и f ∈ L(A1 ) ∩ L(A2 ), тоRR непересекающиесяf ∈ L(A1 ∪ A2 ) и A1 ∪A2 f dµ = A1 f dµ + A2 f dµ.R10)Пустьf—измеримаяфункция,ϕ∈L(X)и|f|6ϕ.Тогдаf∈L(X)и|f | dµ 6XRϕdµ.XСвойства 4 и 5 выражают факт линейности интеграла Лебега.Теорема. f ∈ L(X) тогда и только тогда, когда |f | ∈ L(X).•Теорема (Счётная аддитивность интеграла Лебега).
Пусть A, A1 , . . . , Ak , . . . — измеримые множества в X, такие, что Ai ∩ Aj = ∅ при i 6= j и A = ∪∞i=1 Ai . Если f ∈ L(A),тоZ∞ ZXf dµ =f dµ.•Ai=1AiТеорема (Неравенство Чебышева). Пусть f — неотрицательная интегрируемая на Aфункция. ТогдаZ¡¢ 1µ {x ∈ A | f (x) > c} 6f dµc Aдля произвольного положительного числа c.•RСледствие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
