1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Если fk → f в L1 (R), то F (fk ) → F (f ) равномерно на R.•Утверждение. Если f ∈ L1 (R), то F (f ) определено всюду в R и ограничено: |f (f )| 6(2π)−1/2 kf kL1 (R) .•Утверждение. Если f ∈ L1 (R), то F (f ) ∈ C(R) и F (f )(x) → 0 при x → ±∞.•Утверждение. Если f ∈ L1 (R), f 0 ∈ L1 (R) и f ∈ C 1 (R), то F (f 0 )(x) = ixF (f )(x).•78Утверждение. Если f ∈ L1 (R) и xf (x) ∈ L1 (R), то F (f ) дифференцируема всюду на Rdи dλF (f ) = −iλF (f ).•Сверткой функций f, g ∈ L1 (R) называется функцияZ +∞1(f ∗ g)(x) = √f (t)g(x − t) dt.2π −∞Теорема. Если f, g ∈ L1 (R), то F (f ∗ g) = F (f ) F (g).•Если f ∈ L2 (R), то, вообще говоря, f 6∈ L1 (R) и поэтому преобразование Фурье F (f )в обычном смысле не определено. Тем не менее, мы можем обобщить понятие преобразования Фурье так, чтобы оно было определено на функциях из L2 (R) и совпадало склассическим на функциях из L1 (R).R +mТеорема (Планшерель).

Пусть f ∈ L2 (R) и gm (λ) = √12π −m f (x) e−iλx dx. Тогдаа) gm ∈ L2 (R) для всех m ∈ N;б) последовательность {gm } сходится в L2 (R) при m → ∞ к некоторой функции g ∈ L2 (R),причем kgkL2 (R) = kf kL2 (R) ;в) если f ∈ L2 ∩ L1 (R), то g = F (f ).•Функция g называется преобразованием Фурье функции f ∈ L2 .Упражнение. Пусть f, g ∈ L1 (R) и F (f ) = F (g) в R. Доказать, что f = g почти всюду вR. В частности, из F (f ) = 0 следует, что f = 0 почти всюду.•Глава 13. Анализ гладких отображений.§ 13.1.

Непрерывные отображения.Определение. Метрическим пространством M называется множество точек, на котором определена метрика ρ. Метрика это функция ρ : M × M → R, обладающая следующими свойствами:1) ρ(x, y) > 0;2) ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;3) ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y);4) ρ(x, y) = ρ(y, x).•Последовательность {xk } точек метрического пространства M называется сходящейся,если существует точка x ∈ M , такая, что ρ(xk , x) → 0 при k → ∞. Последовательность{xk } точек метрического пространства M называется фундаментальной, если∀ε > 0 ∃kε ∈ N : ρ(xm , x` ) < ε для всех m, ` > kε .Определение.

Метрическое пространство называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность является сходящейся.•Пусть M и N — метрические пространства. Отображение f : M → N называется непрерывным в точке x ∈ M , если из ρM (xk , x) → 0 следует, что ρN (f (xk ), f (x)) → 0. Отображение f : M → N называется непрерывным, если оно непрерывно во всех точках пространства M .Определение. Отображение f : M → N называется гомеоморфизмом, если оно непрерывно и взаимнооднозначно, и f −1 непрерывно.•79Определение.

Отображение f : M → M называется сжимающим, если существуетq ∈ (0, 1), такое что ρ(f (x1 ), f (x2 )) 6 qρ(x1 , x2 ) для всех x1 , x2 ∈ M . Мы будем ещеговорить, что f является q-сжимающим.•Теорема (Принцип сжимающих отображений). Пусть M — полное метрическое пространство и f : M → M — сжимающее отображение. Тогда существует единственнаяточка x∗ ∈ M , такая, что x∗ = f (x∗ ).•Точка x∗ называется неподвижной точкой отображения f .Теорема (О непрерывной зависимости неподвижной точки от параметра). Пусть M —полное метрическое пространство и ft : M → M — семейство отображений, зависящих отпараметра t из метрического пространства T .

Предположим, что1) существует q ∈ (0, 1), такое, что ft является q-сжимающим для каждого t ∈ T ;2) ft (x) непрерывно по t в точке t0 ∈ T для каждого x ∈ M .Если at ∈ M — неподвижная точка отображения ft , т.е. at = ft (at ), то at непрерывнапо t в точке t0 ∈ T .•Определение. Взаимно-однозначное отображение ϕ : U → Y называется диффеоморфизмом, если как ϕ, так и ϕ−1 : ϕ(U ) → U непрерывно-дифференцируемы.•§ 13.2. Неявные функции.Пусть X = Rn , Y = Rm и F : X × Y → Y , F = (F1 , . . .

, Fm ).Определение. Отображение ϕ : X → Y , такое, что F (x, ϕ(x)) = 0, называется неявнозаданным отображением.•Теорема (О неявной функции). Пусть Ux и Uy — области в X и Y соответственно, иотображение F : Ux × Uy → Y удовлетворяет следующим условиям:1) существует точка (x0 , y 0 ) ∈ Ux × Uy , такая, что F (x0 , y 0 ) = 0;2) отображение F непрерывно в точке (x0 , y 0 );3) производная Fy0 отображения F по y существует в Ux ×Uy и непрерывна в точке (x0 , y 0 );4) det Fy0 (x0 , y 0 ) 6= 0.Тогда существуют окрестность Vx точки x0 в X, окрестность Vy точки y 0 в Y и отображение ϕ : Vx → Vy , такие, что1) {(x, y) ∈ Vx × Vy | F (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ Vx × Vy | y = ϕ(x)};2) y 0 = ϕ(x0 );3) отображение ϕ непрерывно в точке x0 .•Теорема (О непрерывности неявного отображения).

Пусть выполнены условия теоремыо неявной функции и отображение F непрерывно в некоторой окрестности точки (x0 , y 0 )в X × Y . Тогда неявная функция ϕ непрерывна в некоторой окрестности точки x0 в X. •Теорема (О дифференцируемости неявного отображения). Пусть выполнены условиятеоремы о неявной функции и отображение F непрерывно дифференцируемо (по x и поy) в некоторой окрестности точки (x0 , y 0 ) в X × Y . Тогда неявная функция ϕ непрерывнодифференцируемо в некоторой окрестности точки x0 в X и¢−1¡•◦ Fx0 (x, ϕ(x)).ϕ0 (x) = − Fy0 (x, ϕ(x))Теорема (О гладкости неявного отображения). Пусть выполнены условия теоремы онеявной функции и отображение F k раз непрерывно дифференцируемо (по x и по y) в80некоторой окрестности точки (x0 , y 0 ) в X ×Y . Тогда неявная функция ϕ k раз непрерывнодифференцируемо в некоторой окрестности точки x0 в X.•Теорема (О неявном отображении в общей формулировке). Пусть отображение F : Rn →Rk , n > k, непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности точки x0 ∈ Rn иrang Fx0 (x0 ) = k, т.е.

можно выделить k переменных (xi1 , . . . , xik ), которые мы обозначим через y, такие, что det Fy0 (x0 ) 6= 0. Обозначим совокупность переменных, отличныхот y, через z. Таким образом, пространство X = Rn можно представить как X = Y × Z,где Y = Rk и Z = Rn−k , при этом x0 = (y 0 , z 0 ).Если F (x0 ) = 0, то существует отображение ϕ : Z → Y , такое, что в некоторой окрестности точки x0 множество решений уравнения F (x) = 0 есть {x = (y, z) | y = ϕ(z)}.•Теорема (Об обратной функции). Пусть в некоторой окрестности Uy ⊂ Rn точки y 0задано непрерывно-дифференцируемое отображение g : Uy → Rn , такое, что det g 0 (y 0 ) 6= 0.Тогда в некоторой окрестности Ux ⊂ Rn точки x0 = g(y 0 ) определено обратное отображение g −1 , которое является непрерывно-дифференцируемым, и¡ −1 ¢0¡ ¢−1 ¯g x (x) = g 0y (y)¯y=g−1 (x) .•Теорема (О гладкости обратного отображения). Пусть g : Rn → Rn есть отображениекласса C k в некоторой окрестности Uy точки y 0 ∈ Rn и det g 0 (y 0 ) 6= 0.

Тогда существуетокрестность Ux точки x0 = g(y 0 ), такая, что g есть диффеоморфизм класса C k областиUy на область Ux .•§ 13.3. Многообразия в Rn .Определение. Пусть задано множество M ⊂ Rn и точка a ∈ M . Мы скажем, что Mявляется p-мерным многообразием класса C k в окрестности U точки a, если существуетдиффеоморфизм ϕ класса C k окрестности U на окрестность нуля V ⊂ Rn , такой, чтоϕ(a) = 0 и ϕ(M ∩ U ) = {x ∈ V ∩ Rn | xp+1 = . . .

= xn = 0}.•Теорема (О локальном явном задании многообразия). Пусть M — некоторое множествов Rn и a ∈ M . Для того, чтобы M было p-мерным многообразием класса C k в некоторойокрестности U точки a, необходимо и достаточно, чтобы существовали (n − p) скалярныхфункций fp+1 , . . . , fn : Rp → R класса C k , такие, что после подходящей перестановкикоординат x1 , . . . , xn пространства Rn выполнялись бы следующие условия:1) fi (a1 , . .

. , ap ) = ai для i = p + 1, . . . , n;2) M ∩ U = {x ∈ U | xi = fi (x1 , . . . , xp ), i = p + 1, . . . , n}.•Теорема (О локальном параметрическом задании многообразия). Пусть M — некотороемножество в Rn и a ∈ M . Для того, чтобы M было p-мерным многообразием классаC k в некоторой окрестности U точки a, необходимо и достаточно, чтобы существовалгомеоморфизм ψ некоторой окрестности V нуля в Rp на M ∩ U , такой, что1) ψ(0) = a;2) ψ как отображение из Rp в Rn принадлежит классу C k ;³ ∂ψ ´= p при ξ ∈ V .•3) rank∂ξОтображение ψ называется локальной параметризацией многообразия M в окрестноститочки a.81Определение.

Множество M ⊂ Rn называется p-мерным многообразием класса C k , еслионо является таковым в некоторой окрестности каждой своей точки.•Множество U ⊂ M называется открытым в M , если существует открытое множествоV ⊂ Rn , такое, что U = V ∩ M . Каждое многообразие M можно представить в видеобъединения открытых в M множеств Uα , каждое из которых является областью действиянекоторой параметризации ψα . Пара (Uα , ψα ) называется картой или локальной картой.Объединение всех локальных карт называется атласом.Лемма (О двух локальных параметризациях ).

Пусть M — p-мерное многообразие классаC k в Rn и U — открытое множество в M , на котором заданы две параметризации ψ иh. То есть, ψ : V → U и h : V → U , где V — окрестность нуля в Rp . Тогда существуетдиффеоморфизм λ : V → V класса C k , такой, что h = ψ ◦ λ.•Теорема (О касательном пространстве к параметрически заданному многообразию).Пусть M есть p-мерное многообразие класса C 1 в Rn , a ∈ M¯ и ψ есть локальная парамет∂ψ ¯ ¡ p ¢ризация в некоторой окрестности точки a. МножествоR не зависит от выбора¯∂ξ ξ=0параметризации ψ и называется касательным пространством к многообразию M в точкеa (обозначается Ta M ).•Определение.

Карты (Uα , ψα ) и (Uβ , ψβ ) имеют согласованные ориентации, если либоUα ∩ Uβ = ∅, либо det (ψα0 )−1 ◦ ψβ0 > 0 в Uα ∩ Uβ . Атлас называется согласованным, если в нем любые две карты имеют согласованные ориентации. Многообразие называетсяориентируемым, если на нем существует согласованный атлас.•Определение. Множество M ⊂ Rn называется p-мерным многообразием с краем, еслидля любой точки a ∈ M реализуется одна из следующих возможностей:1) существует диффеоморфизм ϕ : U → V некоторой окрестности U ⊂ Rn точки a нанекоторую окрестность нуля V ⊂ Rn , такой, что ϕ(a) = 0 и ϕ(M ∩ U ) = {x ∈ V | xp+1 =.

. . = xn = 0};2) существует диффеоморфизм ϕ : U → V некоторой окрестности U ⊂ Rn точки a нанекоторую окрестность нуля V ⊂ Rn , такой, что ϕ(a) = 0 и ϕ(M ∩ U ) = {x ∈ V | xp >0, xp+1 = . . . = xn = 0},причем множество точек, для которых реализуется вторая возможность (это множествоназывается краем многообразия), не пусто.•§ 13.4. Неявно заданные многообразия.Обозначим через M множество решений системы уравнений f1 (x1 , .

Характеристики

Список файлов лекций