1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Критерий Сильвестра даёт другое условие: симметричная матрицаявляется положительно определённой тогда и только тогда, когда все её главные минорыположительны.Глава 9. Функциональные последовательности и ряды.§ 9.1. Функциональные последовательности.Пусть X — множество в Rn . Последовательность функций fk : X → R сходится в точкеx ∈ X, если сходится числовая последовательность {fk (x)}.Функциональная последовательность {fk } сходится поточечно на множестве E ⊂ X, еслипоследовательность {fk (x)} сходится для всех x ∈ E.Функциональная последовательность {fk } сходится равномерно на множестве E ⊂ X кфункции f (обозначение: fk ⇒ f или fk ⇒ f на E), еслиE∀ε > 0 ∃kε ∈ N : |fk (x) − f (x)| < ε ∀k > kε и ∀x ∈ E.Если ввести метрику %E (f, g) = sup |f (x) − g(x)|, то это определение можно сформулироx∈Eвать следующим образом: функциональная последовательность {fk } сходится равномернона множестве E ⊂ X к функции f , если∀ε > 0 ∃kε ∈ N : %E (fk , f ) < ε ∀k > kε .Предельная функция не всегда известна, поэтому скажем, что последовательность {fk }сходится равномерно на множестве E ⊂ X, если существует функция f : X → R, такая,что fk ⇒ f .E55Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости).
Для того, чтобы последовательность функций {fk } сходилась равномерно на E ⊂ X, необходимо и достаточно, чтобы∀ε > 0 ∃kε ∈ N : %E (fm , fn ) < ε ∀m, n > kε .•Теорема (Дини). Пусть X — компактное множество в Rn и fk : X → R — монотоннаяпоследовательность непрерывных функций (т.е., fk (x) > fk+1 (x) для каждого x ∈ X илиfk (x) 6 fk+1 (x) для каждого x ∈ X). Если {fk } сходится поточечно на X к непрерывнойфункции f , то эта сходимость равномерна.•Теорема (Непрерывность равномерного предела последовательности непрерывных функций). Пусть функциональная последовательность {fk } сходится к функции f равномернона X. Если все fk непрерывны в некоторой точке x0 ∈ X, то f тоже непрерывна в этойточке.•Следствие. Если fk непрерывны на X и fk ⇒ f , то f непрерывна на X.•XСледствие. Если последовательность {fk (x)} непрерывных в точке x0 ∈ X функцийсходится равномерно на X, тоlim lim fk (x) = lim lim fk (x).x→x0 k→∞•k→∞ x→x0Теорема (Теорема о перестановке пределов двойной числовой последовательности).Пусть двойная числовая последовательность {ak,m } для любого k ∈ N сходится при m →∞ равномерно по k и для любого m ∈ N сходится при k → ∞.
Тогдаlim lim ak,m = lim lim ak,m .m→∞ k→∞•k→∞ m→∞Теорема. Пусть задана последовательность функций fk : [a, b] → R, такая, что fk ∈Rim[a, b] и fk ⇒ f . Тогда f ∈ Rim[a, b] и[a,b]Zfk (x) dx =limk→∞ZbaZbblim fk (x) dx =a k→∞f (x) dx.•aТеорема. Пусть задана последовательность дифференцируемых функций fk : (a, b) → R.Если {fk } сходится в некоторой точке x0 ∈ (a, b), а последовательность производных {fk0 }сходится равномерно на (a, b), то {fk } сходится равномерно на (a, b), предельная функцияf дифференцируема и f 0 (x) = lim fk0 (x) для любого x ∈ (a, b).•k→∞Упражнение.
Обобщить последнюю теорему на многомерный случай.•§ 9.2. Функциональные ряды.Ряд, членами которого являются функции с одной и той же областью определения, называется функциональным рядом.Пусть {uk } есть функциональная последовательность (uk : X → R, X ⊂ Rn ).P∞P∞uсходитсявточкеx∈X,еслисходитсярядОпределение.Рядk0k=1 uk (x0 ).k=1P∞Pu(x)сходитсядляuсходитсяпоточечнонамножествеE⊂X,еслирядРяд ∞k=1 kk=1 k56каждого x ∈ E.
Ряд сходится равномерно, если сходится равномерно его последовательность частичных сумм.•Теорема (КритерийКоши равномерной сходимости ряда). Для того, чтобы функциоPнальный ряд ∞uсходилсяравномерно на E ⊂ X, необходимо и достаточно, чтобыk=1 k∀ε > 0 ∃kε ∈ N : |un (x) + · · · + um (x)| < ε ∀m > n > kε и ∀x ∈ E.•Теорема(Необходимый признак сходимости ряда). Для равномерной сходимости рядаP∞uнеобходимо,чтобы последовательность {uk } равномерно сходилась к нулю.•k=1 kТеорема.P∞ Пусть {uk } есть последовательность непрерывных функций uk : X → R.
Еслиряд k=1 uk сходится равномерно на множестве E ⊂ X, то его сумма есть непрерывнаяна E функция.•Теорема (Дини). Пусть {uk } есть последовательность непрерывных неотрицательныхPфункций uk : X → R и пусть X есть компактное множество в Rn . Если ряд ∞k=1 uk сходится поточечно на множестве X к непрерывной функции, то эта сходимость равномерная.•Теорема (Об интегрировании по Риману равномерно сходящихся рядов).
Пусть {uk } естьPпоследовательность интегрируемых по Риману функций uk : (a, b) → R. Если ряд ∞k=1 ukR b P∞P∞ R bсходится равномерно на (a, b), то a k=1 uk (x) dx = k=1 a uk (x) dx.•Теорема (О дифференцировании рядов). Пусть {uPk } есть последовательность диффе∞ренцируемых функцийu:(a,b)→R.Пустьряднекоторогоk=1 uk (x0 ) сходится дляP∞ 0 kP∞x0 ∈ (a, b), а ряд k=1 uk сходится равномерно на (a, b).
Тогда сумма ряда k=1 uk диф³P´0 P∞0ференцируема на (a, b) и= ∞•k=1 ukk=1 uk .Теорема (Вейерштрасс). Пусть {uk : X → R} — функциональная последовательность.Если существует числовая последовательность {ck }, такая, что1. |uk (x)|P 6 ck для всех k ∈ N и всех x ∈ X,2. ряд P∞k=1 ck сходится,то ряд ∞•k=1 uk сходится равномерно и абсолютно на X.Определение. Функциональная последовательность {uk : X → R} называется равномерно ограниченной на множестве E ⊂ X, если существует константа K, такая, чтоsup |uk (x)| 6 K для всех k ∈ N.•x∈EТеорема (Признак Абеля равномерной сходимости ряда). Пусть {uk } — монотонная равномерно ограниченнаяпоследовательность функций uk : XR, X ⊂ Rn . Если функциоP→P∞нальный ряд k=1 vk сходится равномерно на X, то ряд ∞k=1 uk vk тоже сходится равномерно на X.•Теорема (Признак Дирихле равномерной сходимости ряда).
Пусть {uk } — монотоннаяравномерно сходящаяся к нулю последовательность функцийPuk : X → R, X ⊂ Rn . ЕслипоследовательностьPчастичных сумм функционального ряда ∞k=1 vk равномерно ограниuvсходитсяравномернонаX.•чены на X, то ряд ∞k=1 k k§ 9.3. Равномерная сходимость степенных рядов.PkОпределение.
Радиусом сходимости степенного ряда ∞k=0 ak x называется число R, такое, что этот ряд сходится при |x| < R.•57Теорема. Степенной ряддля каждого r ∈ [0, R).P∞k=0ak xk сходится равномерно и абсолютно на отрезке [−r, r]•Следствие. Сумма степенного ряда есть непрерывная функция на интервале (−R, R). •P∞kТеорема. Степенной рядk=0 ak x можно дифференцировать почленно на интервале(−R, R), причем радиус сходимости продифференцированного ряда равен тому же R и∞∞∞XX dd X(ak xk ) =a k xk =k ak xk−1 .dx k=0dxk=1k=0•Следствие.
Сумма степенного ряда есть бесконечно дифференцируемая функция на интервале (−R, R).•P∞PkСледствие. Если степенные ряды k=0 ak xk и ∞k=0 bk x сходятся на некотором интервале(−A, A) и их суммы совпадают, то ak = bk для всех k.•Определение. Функция f , являющаяся суммой степенного ряда в некоторой окрестноститочки x0 , называется аналитической в точке x0 . Функция называется аналитической намножестве E, если она аналитична в каждой точке этого множества.•Если функция аналитична, то она бесконечно дифференцируема.§ 9.4. Методы суммирования расходящихся рядов.PЕсли последовательность {sk } частичных сумм числового ряда ∞k=1 ak расходится, то последовательности {ak } можно поставить в соответствие другую последовательность {σk },составленную по другому правилу, которая ужеP будет сходящейся.
Предел последовательности {σk } назовем обобщенной суммой ряда ∞k=1 ak . Это правило должно удовлетворятьследующим требованиям:P∞P∞1. Линейность. Если A и B есть обобщенные суммырядовaиkk=1k=1 bk соответPственно, то αA + βB есть обобщенная сумма ряда ∞(αa+βb)длялюбыхα, β ∈ R.kkk=1P∞P∞2. Регулярность. Если ряд k=1 ak суммируем в обычном смысле и k=1 ak = A, то этотряд суммируем в обобщенном смысле и его обобщенная сумма равна A.Метод Чезаро.(C, 1)(C, 2)∞Xk=1∞Xk=1s1 + · · · + skσk =,kak = lim σk ,k→∞ak = lim γk ,γk =k→∞sk =kXai .i=1σ1 + · · · + σk.k...Метод Чезаро является линейным и регулярным.Метод Абеля — Пуассона.Пустьдана числовая последовательность {ak }∞k=0 . Поставим ей в соответствие степеннойP∞ряд k=0 ak xk .
Если этот ряд сходится приPx ∈ (0, 1) к некоторой функции f и существуетпредел limx→1−0 f (x), то говорят, что ряд ∞k=0 ak суммируем по Абелю — Пуассону и(AP )∞Xak = lim f (x).x→1−0k=058Теорема (Абель). Если степенной рядравномерно на [0, R].P∞k=0ak xk сходится в точке x = R, то он сходится•Метод Абеля — Пуассона является линейным и регулярным.Глава 10. Интегралы, зависящие от параметра.§ 10.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.Пусть P = [a, b] × [c, d].Определение. Функция f : P → R называется равномерно непрерывной на P , если∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 : |f (x1 , y1 ) − f (x2 , y2 )| < ε как только |x1 − x2 | < δ и |y1 − y2 | < δ.Обозначим F (y) =Rba•f (x, y) dx.Теорема.
Если функция f непрерывна на P , то функция F непрерывна на [c, d].Теорема. Пусть функция f и её частная производнаянепрерывно дифференцируема на [c, d] иZ bdF∂f(y) =(x, y) dx.dya ∂y∂f∂y•непрерывны на P . Тогда F•Теорема. Пусть функция f и её частная производная ∂fнепрерывны на P . Пусть функ∂yции α = α(y) и β = β(y) непрерывно дифференцируемы на [c, d] и, кроме того, (α(y), y) ∈ Pи (β(y), y) ∈ P для всех y ∈ [c, d].
ТогдаZ β(y)Z β(y)d∂f00f (x, y) dx = β (y) f (β(y), y) − α (y) f (α(y), y) +(x, y) dx.•dy α(y)α(y) ∂yТеорема. Пусть f : P → R — непрерывная функция. ТогдаZ dZ bZ bZ df (x, y) dxdy =f (x, y) dydx.caa•cТеорема (Вейерштрасс). Если функция f : [0, 1] → R непрерывна, то существует последовательность полиномов с вещественными коэффициентами, которая сходится к fравномерно на [0, 1].•Эта теорема справедлива и в многомерном случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
