1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(Достаточное условие минимума) Пусть функция f : (a, b) → R дваждынепрерывно дифференцируема, x0 ∈ (a, b) и f 0 (x0 ) = 0.Если f 00 (x0 ) > 0, то x0 — точка локального минимума функции f .Если f 00 (x0 ) < 0, то x0 — точка локального максимума функции f .•Теорема. Пусть f : (a, b) → R — n раз непрерывно дифференцируемая функция, x0 ∈(a, b), f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = . .
. = f (n−1) (x0 ) = 0 и f (n) (x0 ) 6= 0.Если n — нечётное, то x0 не является точкой локального экстремума функции f .Если n — чётное и f (n) (x0 ) > 0, то x0 — точка локального минимума функции f .Если n — чётное и f (n) (x0 ) < 0, то x0 — точка локального максимума функции f .•Функция f : [a, b] → R называется выпуклой, если¡¢f (1 − λ)x1 + λx2 6 (1 − λ)f (x1 ) + λf (x2 )для всех x1 , x2 ∈ [a, b] и любого λ ∈ (0, 1). Если это неравенство является строгим приx1 6= x2 , то функция f называется строго выпуклой.Функция f называется вогнутой, если выпукла функция (−f ).Можно дать эквивалентное определение выпуклости функции: для того, чтобы функцияf : [a, b] → R была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы для любых x1 , x, x2 ∈ [a, b],таких, что x1 < x < x2 , выполнялось неравенствоf (x) − f (x1 )f (x2 ) − f (x)6.x − x1x2 − xДля строго выпуклых функций это неравенство является строгим.Теорема.
Если функция f : [a, b] → R дифференцируема и выпукла (строго выпукла),то f 0 — неубывающая (возрастающая) функция.•Теорема. Если функция f : [a, b] → R дифференцируема и f 0 — неубывающая (возрастающая) функция, то f выпукла (строго выпукла).•Теорема. Пусть f : [a, b] → R — дважды дифференцируемая функция. Для того, чтобыf была выпуклой (строго выпуклой), необходимо и достаточно, чтобы f 00 (x) > 0 (f 00 (x) >0) для всех x ∈ (a, b).•Пусть f : (a, b) → R — дифференцируемая функция и x0 ∈ (a, b). Если существует δ > 0,такое, что функция f выпукла на (x0 − δ, x0 ) и вогнута на (x0 , x0 + δ) или вогнута на (x0 −δ, x0 ) и выпукла на (x0 , x0 +δ), то x0 называется точкой перегиба функции f . Очевидно, чтоесли f дважды дифференцируема, то её вторая производная в точке перегиба обращаетсяв нуль.31Теорема.
Пусть функция f : (a, b) → R дифференцируема. Для того, чтобы f былавыпуклой, необходимо и достаточно, чтобы для любых x, x0 ∈ (a, b) выполнялось неравенство: f (x) > gx0 (x), где gx0 (x) — касательная (прямая) к f в точке x0 .•Следствие. Пусть функция f : (a, b) → R дифференцируема. Для того, чтобы f былавыпуклой, необходимо и достаточно, чтобы для любых x, y ∈ (a, b) выполнялось неравенство: f (x) − f (y) > f 0 (y)(x − y).•Скажем, что график функции f : R → R имеет в точке a вертикальную асимптоту приx → a+ (при x → a−), если f (x) → +∞ или f (x) → −∞ при x → a+ (при x → a−).Прямая x 7→ g(x) = αx + β, α, β ∈ R, называетсянаклоннойасимптотой графика функ¡¢ции f (x) при x → +∞ (при x → −∞), если f (x) − g(x) → 0 при x → +∞ (при x → −∞).Коэффициенты α и β, например, для случая x → +∞ вычисляются по следующим формулам:¡¢f (x)α = lim,β = lim f (x) − αx .x→+∞ xx→+∞Теорема.
(Правило Лопиталя) Пусть функции f : (a, b) → R и g : (a, b) → R дифференцируемы на интервале (a, b) (−∞ 6 a < b 6 +∞), причём g(x) 6= 0 и g 0 (x) 6= 0 приx ∈ (a, b). Если существует пределf 0 (x)=Ax→a+ g 0 (x)limи выполняется одно из следующих условий:1. limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0,2. g(x) → ∞ при x → a+,тоf (x)→ A при x → a+.g(x)•§ 5.5. Классические неравенства анализа.Теорема. (Неравенство Йенсена) Пусть f : [a, b] → R — выпуклая функция и числаα1 , α2 , . . . , αn ∈ [0, 1] таковы, что α1 + α2 + .
. . + αn = 1. Тогдаfn³X´α k xk 6k=1nXαk f (xk )k=1для любых чисел x1 , x2 , . . . , xn ∈ [a, b].•Если функция f строго выпукла, то равенство в неравенстве Йенсена достигается лишьтогда, когда x1 = x2 = . . . = xn .Взяв в неравенстве Йенсена функцию f (x) = − ln x, которая является строго выпуклойна R+ , мы получим следующее неравенство:xα1 1 xα2 2· · · xαnn6nXk=132α k xk ,которое справедливо, если x1 , . .
. , xn ∈ R+ , α1 , . . . , αn ∈ [0, 1] иесли α1 = . . . = αn = 1/n, то√nx1 · · · xn 6Pnk=1αk = 1. В частности,x1 + · · · + xn.nТо есть, среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического. Если мы положим n = 2, α1 = 1/p и α2 = 1/q, где p, q ∈ (1, ∞) и p1 + 1q = 1, то получим неравенствоЮнга:ap bqab 6+ ,pqсправедливое для всех a, b ∈ [0, +∞).Теорема. (Неравенство Гёльдера) Если p, q ∈ (1, ∞) и1p+1q= 1, тоnnn¯X¯ ³X´1/p ³ X´1/q¯¯pxk yk ¯ 6|xk ||yk |q¯k=1k=1k=1для любых наборов вещественных (и даже комплексных) чисел {x1 , . .
. , xn } и {y1 , . . . , yn }.•Теорема. (Неравенство Минковского) Если p > 1, тоn³X|xk + yk |p´1/pk=16n³Xk=1|xk |p´1/p+n³X|yk |p´1/pk=1для любых наборов вещественных (и даже комплексных) чисел {x1 , . . . , xn } и {y1 , . . . , yn }.•Глава 6. Интегрирование.§ 6.1. Неопределённый интеграл.Дифференцируемая функция F : (a, b) → R называется первообразной функции f :(a, b) → R, если F 0 (x) = f (x) при x ∈ (a, b).Очевидно, что первообразная определена не однозначно.
Если F — первообразная функции f , то, например, F + C тоже является первообразной этой функции для любой константы C.Утверждение. Если F1 (x) и F2 (x) — первообразные функции f (x), то существует постоянная C, такая, что F1 (x) = F2 (x) + C для всех x.•Нахождение первообразной некоторой функции f является операцией, обратной дифференцированию. Эта операция называется неопределённым интегрированием, а еёR результат — непределённым интегралом от функции f , которыйобозначается через f (x) dx.RТаким образом, если F 0 (x) = f (x) для всех x ∈ (a, b), то f (x) dx = F (x)+C при x ∈ (a, b),где C = const.
Неопределённый интеграл от функции есть совокупность её первообразных,отличающихся на аддитивную постоянную.Дифференцируемость первообразной является довольно ограничительным условием. Рассмотрим пример.33Пример.Пусть f (x) = sgn x на интервале−1,f (x) = 0,1,(−1, 1), т.е.,x ∈ (−1, 0),x = 0,x ∈ (0, 1).Первообразными этой функции на интервалах (−1, 0) и (0, 1) являются функции −x + C1и x + C2 соответственно. «Склеивая» эти функции по непрерывности в точке x = 0, мыполучим функцию F (x) = |x|+C. Нетрудно видеть, что F 0 (x) = f (x) во всех точках интервала (−1, 1) за исключением точки x = 0. В этой точке функция F не дифференцируема.Таким образом, функция sgn x не имеет первообразной на интервале (−1, 1).•Учитывая этот пример, имеет смысл расширить понятие первообразной (и, как следствие,неопределённого интеграла).
Непрерывная функция F : (a, b) → R называется первообразной функции f : (a, b) → R, если F 0 (x) = f (x) при x ∈ (a, b) \ E, где E — какое-либосчётное подмножество интервала (a, b).Согласно новому определению, неопределённым интегралом от функции sgn x на интервале (−1, 1) является функция |x| + C, где C — произвольная постоянная.Лемма. (Линейность неопределённого интеграла) Пусть α, β ∈ R. Если определенынеопределённые интегралы от функций f и g, то определён неопределённый интеграл отфункции αf + βg иZZZ¡¢αf (x) + βg(x) dx = α f (x) dx + β g(x) dx + C,где C — произвольная постоянная.•Лемма.
(Формула интегрирования по частям) Если функции f и g дифференцируемы,тоZZ0f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x) dx + C,где C — произвольная постоянная.•Лемма. (Формула замены переменной) Если ϕ — непрерывно дифференцируемая функция иZf (x) dx = F (x) + C,тоZC = const,¡¢¡¢f ϕ(t) ϕ0 (t) dt = F ϕ(t) + C,где C — произвольная постоянная.•Каждая из этих формул рассматривается на тех промежутках вещественной оси R, на которых определена соответствующая подынтегральная функция. Если таких промежутковнесколько, то постоянная C может меняться от промежутка к промежутку.§ 6.2.
Определённый интеграл.Разбиением отрезка [a, b] ⊂ R назовём произвольное множество точек P = {x0 , x1 , . . . , xn },таких, что a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Далее будут приняты следующие обозначения:Ak = [xk−1 , xk ], αk = xk − xk−1 , λ(P ) = maxk=1,...,n αk .34Разбиением с выделенными точками называется пара (P, ξ), где P — разбиение и ξ =(ξ1 , .
. . , ξn ) — набор точек, таких, что ξk ∈ Ak .Пусть заданы функция f : [a, b] → R и разбиение с выделенными точками (P, ξ) отрезка[a, b]. ВеличинаnXσ(f, P, ξ) =f (ξk ) αkk=1называется интегральной суммой функции f , соответствующей разбиению (P, ξ).Определение.
Функция f : [a, b] → R называется интегрируемой по Риману на отрезке[a, b], если существует I ∈ R, такое, что¯¯для любого ε > 0 найдётся δ > 0, такое, что ¯σ(f, P, ξ) − I ¯ < ε при λ(P ) < δ.Число I называется интегралом Римана (или определённым интегралом Римана) отRbфункции f по отрезку [a, b] и обозначается a f (x) dx.•Используя теорему Гейне о пределе функции, это определение можно переформулироватьследующим образом: число I называется интегралом Римана функции f по отрезку [a, b],еслиlim σ(f, P m , ξ m ) = Im→∞для любой последовательности разбиений (P m , ξ m ), такой, что λ(P m ) → 0 при m → ∞.Заметим, что предел интегральных сумм должен быть одним и тем же для любой последовательности разбиений.
Если мы установили, что функция интегрируема по Риману, тодля вычисления интеграла достаточно посчитать предел по какой-либо одной последовательности разбиений.Множество функций, интегрируемых по Риману на отрезке [a, b], будем обозначать черезRim[a, b].Пример. Пусть α ∈ R и f ≡ α на [a, b] (т.е, f (x) = α для всех x ∈ [a, b]). ТогдаZbf (x) dx = α (b − a).•aПример. Существуют функции, по Риману не интегрируемые. Например, функция Дирихле:(1, x ∈ [0, 1] ∩ Q,f (x) =0, x ∈ [0, 1] \ Q.•Определим числаmk (f ) = inf f (x),Mk (f ) = sup f (x).x∈AkВеличиныs(f, P ) =nXmk (f ) αkx∈Akи S(f, P ) =k=1nXMk (f ) αkk=1называются нижней и верхней интегральной суммой Дарбу соответственно.35Число I называется нижним интегралом функции f , если I = limm→∞ s(f, P m ) для любойпоследовательности разбиений {P m }, такой, что λ(P m ) → 0.Число I называется верхним интегралом функции f , если I = limm→∞ S(f, P m ) для любойпоследовательности разбиений {P m }, такой, что λ(P m ) → 0.Для функции Дирихле I(f ) = 0, I(f ) = 1.Теорема.
Для того, чтобы ограниченная функция f : [a, b] → R была интегрируема поRbРиману, необходимо и достаточно, чтобы I(f ) = I(f ). В этом случае a f (x) dx = I(f ) =I(f ).•Пусть f : E → R. Колебанием функции f на множестве E называется числоω(f, E) = sup |f (x1 ) − f (x2 )| .x1 ,x2 ∈EИногда колебание обозначают osc(f, E) (от слова “oscillation”).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
