1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Длянекоторых a, например, для a = 2, не удалось найти рациональное число x, удовлетворяющее этому уравнению. С другой стороны, из геометрических соображений становитсяясно, что решение должно существовать. В самом деле, исходя из теоремы Пифагора,x является длиной гипотенузы прямоугольного треугольника с длиной катетов, равнойединице. Мы сейчас покажем, что в R+ существует единственное решение квадратногоуравнения.Утверждение. (О квадратном корне) Для каждого a ∈ R+ существует единственноечисло x ∈ R+ , такое, что x2 = a.•Поаналогии с квадратным корнем для произвольных a ∈ R+ и n ∈ N можно определить√na = a1/n — корень степени n — как единственное в R+ решение уравнения xn = a.Корень степени 3 называется кубическим.√Утверждение.

Вещественное число 2 является иррациональным.•Итак, Q 6= R. Множество иррациональных чисел полем не является, так как разностьдвух иррациональных чисел может быть числом рациональным.Ещё один вывод, который позволяет сделать последнее утверждение, состоит в том, чтополе Q не является полным. В самом деле, рассмотрим множества A = {x ∈ Q | x >0 и x2 < 2} и B = {x ∈ Q | x > 0 и x2 > 2}. Очевидно, что a < b для всех√a ∈ A и b ∈ B.Однако, единственным числом, разделяющим эти множества, является 2, которое непринадлежит Q.Утверждение. Если a и b — вещественные числа и a < b, то существует рациональноечисло p, такое, что a < p < b.•Вещественное число называется алгебраическим, если оно является решением какого-либоуравнения вида a0 xn + a1 xn−1 + .

. . + an−1 x + an = 0 с n ∈ N и с рациональными или, чтоэквивалентно, целыми коэффициентами ak , k = 0, 1, . . . , n. В противном случае числоназывается трансцендентным.§ 2.2. Геометрическое представление вещественных чисел.Числовая прямая. Между множеством точек на прямой и множеством вещественныхчисел можно установить взаимно-однозначное соответствие.

По этой причине мы часто будем называть R вещественной числовой прямой, а вещественные числа — точками на этойпрямой. Множество точек, лежащих на прямой правее точки 0, назовём положительнойполуосью, а левее — отрицательной полуосью.Введём следующие обозначения:[a, b] = {x ∈ R | a 6 x 6 b} — отрезок (замкнутый интервал, замкнутый промежуток),(a, b) = {x ∈ R | a < x < b} — интервал (открытый интервал, открытый промежуток),[a, b) = {x ∈ R | a 6 x < b}, (a, b] = {x ∈ R | a < x 6 b} — полуинтервалы.10Интервалы, отрезки и полуинтервалы будем называть промежутками и обозначать ha, bi.Часто, по аналогии, числовую прямую R обозначают через (−∞, +∞).Окрестностью точки x ∈ R называется любой интервал, содержащий эту точку.

Длякаждого ε > 0 интервал (x − ε, x + ε) называется ε-окрестностью точки x. Длиной промежутка < a, b > называется величина (b − a). Если I — промежуток, то его длину будемобозначать через |I|. Расстоянием между точками a и b называется длина промежутка сконцами a и b, которая, очевидно, равна |a − b|.Множество A ⊂ R называется открытым, если для каждой точки a ∈ A существуетинтервал (открытый) U , такой что a ∈ U ⊂ A. Множество A ⊂ R называется замкнутым,если множество R \ A открыто. Пустое множество ∅ и вся числовая прямая R считаютсяи открытыми, и замкнутыми.Пусть M — множество. Последовательностью элементов множества M называется отображение a : N → M . Для последовательностей используют следующие обозначения:{an }∞n=1 , {an , n ∈ N} или просто {an }. В частности, если в качестве M взять P(X) —множество всех подмножеств какого-либо множества X, то получим последовательностьподмножеств множества X.

В следующей теореме в качестве M взято множество всехотрезков на числовой прямой.Теорема. (О вложенных отрезках) Если {Ik } — последовательность отрезков числовойпрямой, таких, что I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ Ik ⊃ . . . (т.е., Ik ⊃ Ik+1 для всех k ∈ N), то существуетточка c ∈ R, которая принадлежит всем этим отрезкам (т.е., c ∈ ∩k∈N Ik ).Более того, если для любого ε ∈ R+ существует k ∈ N, такое, что |Ik | < ε, то c —единственная точка в ∩k∈N Ik .•Система множеств S называется покрытием множества A, если A ⊂ ∪U ∈S U , то есть,A является подмножеством объединения всех множеств системы S.

Если S 0 ⊂ S и A ⊂∪U ∈S 0 U , то S 0 называется подпокрытием покрытия S. Сразу заметим, что любое подпокрытие является также и покрытием множества. Если система S состоит из конечногочисла множеств, то она называется конечным покрытием.Теорема. (О конечном подпокрытии) Любое покрытие отрезка числовой прямой системойинтервалов содержит его конечное подпокрытие.•Точка p ∈ R называется предельной точкой множества A ⊂ R, если в любой окрестностиU (p) точки p содержится бесконечное число точек из A.Упражнение. Точка p ∈ R является предельной точкой множества A ⊂ R тогда и толькотогда, когда в любой окрестности U (p) точки p содержится хотя бы одна точка из A \ {p}.•Теорема.

(Теорема Больцано — Вейерштрасса) Если A ⊂ R — ограниченное множество,содержащее бесконечное число точек, то A имеет предельную точку (не обязательно принадлежащую A).•Числовая окружность. Рассмотрим декартово произведение R2 = R × R двух числовых прямых. Элементы множества R2 мы тоже будем называть точками. Каждая точка x ∈ R2 есть упорядоченная пара (x1 , x2 ) вещественных чисел x1 и x2 , называемыхкоординатами точки x. По этой причины множество R2 называют координатной плоскостью. Точка 0 = (0, 0) называется началом координат. Каждой точке x ∈ R2 можно поставить в соответствие вектор с началом в 0 и концом x. Поэтому точки в R211мы будем также называть векторами. Векторы можно складывать и умножать на вещественное число: x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ) и tx = (tx1 , tx2 ) для любого t ∈ R.

Величину¡¢1/2|x − y| := (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2называют евклидовым расстоянием между точкамиx и y координатной плоскости. В этом пункте у нас не встретится других расстояний, поэтому слово «евклидово» мы будем опускать. Расстояние от точки x до начала координат0 называется величиной или модулем вектора x и обозначается |x|.Введём обозначение, которое будет постоянно использоваться в дальнейшем. Если намзадан набор {a1 , a2 , . . . , aPn } чисел или других объектов, которые можно складывать,¡ P2 то ихсумму обозначают так: ni=1 ai . Таким образом, если x, y ∈ R2 , то |x − y| =i=1 (xi −¢1/2.yi )2Пусть a — какая-либо точка координатной плоскости R2 и r ∈ R+ . Множество Sr (a) ={x ∈ R2 | |x − a| = r} называется окружностью радиуса r с центром в точке a.

В этомпункте мы будем обозначать через S окружность S1 (0).Наша дальнейшая цель — ввести понятие длины дуги окружности. Пусть a и b — точкина S, причём для того, чтобы перейти из a в b мы должны двигаться против часовой_стрелки. Множество точек окружности S, заключённых между a и b, назовём дугой ab.Точка a — начало, а b — конец дуги. Рассмотрим произвольный набор {ξ0 , ξ1 , ξ2 , . .

. , ξ n }__несовпадающих точек на ab, таких, что ξ0 = a и ξn = b. Вписанной в дугу ab ломанойс вершинами в точках ξ k называется набор отрезков [ξ k−1 , ξ k ], k = 1, 2, . . . , n, где отрезок[ξ k−1 , ξk ] есть множество точек x ∈ R2 , таких, что x = (1 − t) ξ k−1 + t ξk для некоторого t ∈[0, 1]. Если мы обозначим эту ломаную через ξ̄, то её длину определим как положительное_Pвещественное число `(ξ̄) = ni=1 |ξ i − ξ i−1 |. Множество всех вписанных в дугу ab ломаныхобозначим через L(a, b)._Назовём длиной дуги ab окружности S вещественное числоs(a, b) = sup `(ξ̄) = sup{`(ξ̄) ∈ R+ | ξ̄ ∈ L(a, b)}.ξ̄∈L(a,b)Упражнение.

Доказать существование супремума множества A = {`(ξ̄) ∈ R+ | ξ̄ ∈L(a, b)}. Подсказка: установить, что множество A ограничено сверху, например, числом 8(периметром наименьшего квадрата, содержащего окружность S).•_Утверждение. (Аддитивность длины дуги) Если c — произвольная точка на дуге ab, тоs(a, b) = s(a, c) + s(c, b).•d := s(a, b). Обозначим через e точкуТеперь мы можем определить понятие угла: a0b(1, 0) ∈ S и определим функцию ϕ : S → R следующим образом: ϕ(a) = s(e, a) (от e кa движемся против часовой стрелки). Для величины ϕ(−e), где −e = (−1, 0), со времёнАрхимеда принято специальное обозначение: π.

Число π является длиной половины единичной окружности S. Соответственно, длина всей окружности равна 2π. Итак, каждойточке окружности S мы поставили в соответствие число из промежутка [0, 2π) числовойпрямой. Утверждение о том, что для каждого вещественного числа ϕ ∈ [0, 2π) существуетточка a ∈ S, такая, что ϕ = s(e, a), мы доказывать не будем и примем его в качествеаксиомы. Фактически, это предположение означает отсутствие разрывов на окружности,что вполне соответствует нашим геометрическим представлениям.12Чтобы определить точку a(ϕ) ∈ S при ϕ 6∈ [0, 2π), мы положим a(ϕ + 2πk) = a(ϕ) длявсех k ∈ Z.

Таким образом, для каждого ψ ∈ R мы однозначно определим ϕ ∈ [0, 2π) иk ∈ Z, такие, что ψ = ϕ + 2πk, и положим a(ψ) = a(ϕ).Определим тригонометрические функции. Для каждого ψ ∈ Rcos ψ = a1 (ψ),sin ψ = a2 (ψ),где (a1 (ψ), a2 (ψ)) = a(ψ). Эти величины называются косинусом и синусом угла ψ соsin ψответственно. Если cos ψ 6= 0, то величину tg ψ =называют тангенсом угла ψ.cos ψcos ψЕсли sin ψ 6= 0, то величину ctg ψ =называют котангенсом угла ψ. Так какsin ψa(ψ) = a(ψ + 2πk) для всех k ∈ Z, справедливы следующие соотношения:sin ψ = sin(ψ + 2πk),cos ψ = cos(ψ + 2πk),tg ψ = tg(ψ + 2πk),ctg ψ = ctg(ψ + 2πk)для всех k ∈ Z.Пусть T ∈ R+ . Функция f : R → R называется T -периодической, если f (x + T ) = f (x)для всех x ∈ R. При этом число T называется периодом функции f .

Таким образом,тригонометрические функции cos, sin, tg и ctg являются 2π-периодическими.Упражнение. Доказать следующие соотношения:cos2 ψ + sin2 ψ = 1,cos(ϕ + ψ) = cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ,sin(ϕ + ψ) = sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ.•§ 2.3.

Комплексные числа.Добавим к множеству R один дополнительный символ i и будем выполнять с ним арифметические операции как с обычными вещественными числами. Символ i называется мнимой единицей и характеризуется следующим свойством: i2 = −1. Объекты вида x + iy,где x и y — вещественные числа, называются комплексными числами. Множество всехкомплексных чисел обозначается через C. Чаще всего комплексные числа мы будем обозначать буквой z.

Таким образом, если z ∈ C, то существуют вещественные числа x и y,такие, что z = x + iy. Число x называется вещественной частью комплексного числа z(обозначается x = Re z), а y — мнимой частью (обозначается y = Im z). Два комплексныхчисла совпадают, если совпадают их вещественные и мнимые части. Определим сложениеи умножение комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 следующим образом:z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),z1 z2 = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ).То есть, арифметические операции с комплексными числами выполняются точно так же,как с вещественными, но при этом учитывается, что i2 = −1.Несложно проверить, что C является полем.

Нулём этого поля служит число 0 = 0 + i · 0, аединицей — число 1 = 1 + i · 0. Поясним, как находится обратный элемент. Пусть z = x + iy13— ненулевое комплексное число. Сопряжённым к z называется число z = x − iy. Так какzz = x2 + y 2 6= 0, обратным элементом для z будет число z/(x2 + y 2 ).Если мы отождествим вещественное число x с комплексным числом x + i · 0, то получим,что R является подполем поля C (т.е., поле C является расширением поля R).Комплексные числа допускают естественную геометрическую интерпретацию. Каждомукомплексному числу z = x + iy поставим в соответствие упорядоченную пару вещественных чисел (x, y), которая задаёт некоторую точку на координатной плоскости R2 . Такимобразом, комплексные числа могут быть изображены точками на плоскости, которая поэтой причине называется комплексной плоскостью.Легко видеть, что сложение комплексных чисел производится как сложение соответствующих им векторов.

Характеристики

Список файлов лекций