1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Все доказанные выше свойства функции expa сохранятся и для случая a ∈ (0, 1),только из возрастающей функция превратится в убывающую.Утверждение. Если a ∈ (0, 1), x1 , x2 ∈ R и x1 > x2 , то ax1 < ax2 .•Если a = 1, то ax = 1 для всех x ∈ R.Логарифмическая функция.Поскольку отображение expa : R → R+ является биекцией при a ∈ R+ \ {1}, можноопределить обратное к нему отображение, которое называется логарифмической функциейпри основании a и обозначается loga .
Если a = e, эта функция называется натуральнымлогарифмом и обозначается ln или log.Утверждение. Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:1) loga (ax ) = x для всех x ∈ R и aloga y = y для всех y ∈ R+ .2) loga (y1 y2 ) = loga y1 + loga y2 для всех y1 , y2 ∈ R+ .3) lim loga y = loga y0 для любого y0 > 0.4)R+ 3y→y0loga y p =p loga y для любого y > 0 и любого p ∈ R.•Утверждение.
Если a > 1, то loga — возрастающая функция, а если 0 < a < 1, то —убывающая.•Утверждение. (xp )q = xpq для всех x ∈ R+ и p, q ∈ R.22•Степенная функция.Мы уже определили ap для всех a > 0 и p ∈ R. Таким образом, мы можем рассмотретьфункцию xp , где переменная x пробегает множество R+ , а p — фиксированное число,называемое показателем степени (или просто степенью). Функция x 7→ xp называетсястепенной.
Её можно представить в виде композиции показательной и логарифмическойфункций:pxp = aloga (x ) = ap loga x .Гиперболические функции.Определим ещё некоторые тесно связанные с показательной функции.sh x = 12 (ex − e−x ) — гиперболический синус (другое обозначение sinh x).ch x = 12 (ex + e−x ) — гиперболический косинус (другое обозначение cosh x).sh x— гиперболический тангенс (другое обозначение tanh x).chxchx= sh— гиперболический котангенс (другое обозначение coth x).x22th x =cth xОтметим одно свойство этих функций: ch x − sh x = 1.Теорема.lim (1 + x)1/x = e.•x→0§ 4.3. Асимптотическое поведение функций.Пусть f и g — функции, определенные в некоторой окрестности точки x0 ∈ R.
Скажем, чтоf (x)функция f бесконечно мала по сравнению с функцией g при x → x0 , если lim= 0.x→x0 g(x)¡¢Этот факт записывается следующим образом: f (x) = o g(x) при x → x0 (читается: f естьо малое от g при x, стремящемся к x0 ).¡¢Скажем, что f (x) = O g(x) при x → x0 (читается: f есть о большое от g при x, стремящемся к x0 ), если существует K ∈ R+ и δ > 0, такие, что |f (x)| 6 K|g(x)| при всехx ∈ Uδ (x0 ), где(x0 − δ, x0 + δ), x0 ∈ R,Uδ (x0 ) = (δ, +∞),x0 = +∞,(−∞, −δ),x0 = −∞.Примеры.xpxax→+∞1) Пусть a > 1 и p > 0.
Тогда a−x = o(x−p ) при x → +∞. То есть, lim= 0.2) Пусть p > 0. Тогда x−p = o((ln x)−1 ) при x → +∞. То есть, lim lnxpx = 0.x→+∞¢¡3) Пусть p > 0. Тогда |x|p = o (ln |x|)−1 при x → 0. То есть, lim |x|p ln |x| = 0.x→04) sin x = O(x) при x → 0.5) sin x = O(1) при x → x0 для любого x0 ∈ R.Справедливы следующие соотношения:1) o(f ) + o(f ) = o(f );2) o(f ) · O(f ) = o(f );23•3) O(f ) + O(f ) = O(f );4) o(f ) + O(f ) = O(f ).§ 4.4. Непрерывные функции.Определение. Скажем, что функция f непрерывна в точке a ∈ dom f , если для любогоε > 0 существует такое δ > 0, что |f (x) − f (a)| < ε для всех x ∈ dom f , удовлетворяющихнеравенству |x − a| < δ.•Сравнив это определение с определением предела функции в точке, мы заметим, что функция f непрерывна в точке a ∈ dom f тогда и только тогда, когда lim f (x) = f (a).x→aГоворят, что функция разрывна (или имеет разрыв) в точке a, если она не является непрерывной в этой точке.Скажем, что функция непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точкеэтого множества.Примеры.1) Функции ex и ax (a > 0) непрерывны на R.2) Функции ln x и loga x (a > 0, a 6= 1) непрерывны на R+ .3) Функции sin x и cos x непрерывны на R.•Число A называется пределом слева функции f в точке a если для любого ε > 0 существуеттакое δ > 0, что |f (x) − A| < ε для всех x ∈ (a − δ, a) ∩ dom f .•Предел слева в точке a обозначается lim f (x) или просто f (a − 0).x→a−0Число A называется пределом справа функции f в точке a если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что |f (x) − A| < ε для всех x ∈ (a, a + δ) ∩ dom f .•Предел слева в точке a обозначается lim f (x) или просто f (a + 0).x→a+0Упражнение.
Для того, чтобы функция f была непрерывна в точке a ∈ dom f , необходимо и достаточно, чтобы f (a − 0) = f (a + 0) = f (a).•Скажем, что функция f имеет в точке a устранимый разрыв, если f (a − 0) = f (a + 0) 6=f (a). Например, функция f (x) = (sgn x)2 имеет в точке x = 0 устранимый разрыв.Скажем, что функция f имеет в точке a разрыв первого рода, если f (a − 0) и f (a + 0)существуют, но не совпадают. Например, функция f (x) = sgn x имеет в точке x = 0разрыв первого рода.Скажем, что функция f имеет в точке a разрыв второго рода, если хотя бы один изпределов f (a − 0) или f (a + 0) не существует. Например, функция f (x) = sin(1/x) имеетв точке x = 0 разрыв второго рода (оба предела не существуют).
Функция f (x) = 1/xтакже имеет в точке x = 0 разрыв второго рода (оба предела не существуют).§ 4.5. Свойства непрерывных функций.Теорема. Пусть функция f : R → R непрерывна в точке a ∈ R. Тогда существуют δ > 0и K ∈ R+ , такие, что |f (x)| 6 K для всех x ∈ (a − δ, a + δ).•Теорема. Пусть функция f : R → R непрерывна в точке a ∈ R и f (a) > 0. Тогдасуществует δ > 0, такое, что f (x) > 0 для всех x ∈ (a − δ, a + δ).•24Теорема.
Пусть функции f и g непрерывны в точке a ∈ R. Тогда1) функции (f + g) и f g непрерывны в точке a;2) если g(a) 6= 0, то функция f /g непрерывна в точке a.•Теорема. Пусть функция g : R → R непрерывна в точке a ∈ R, а функция f : R → Rнепрерывна в точке g(a). Тогда функция f ◦ g непрерывна в точке a.•¡¢¡¢Из этой теоремы следует, что lim f g(x) = f lim g(x) , если функция f непрерывна исуществует lim g(x).x→ax→ax→aТеорема.
Пусть f : [a, b] → R — непрерывная на [a, b] функция. Если f (a) < 0 и f (b) > 0,то существует точка c ∈ (a, b), такая, что f (c) = 0.•С помощью этой теоремы можно приближенно находить решения уравнения f (x) = 0(методом деления отрезка пополам).Теорема. (Вейерштрасс) Пусть f : [a, b] → R — непрерывная на [a, b] функция. Тогдаf ограничена на [a, b] и существуют точки α, β ∈ [a, b], такие, что f (α) = min f (x) иx∈[a,b]f (β) = max f (x).•x∈[a,b]Пусть E ⊂ dom f . Скажем, что функция f равномерно непрерывна на E, если для любогоε > 0 существует такое δ > 0, что |f (x0 ) − f (x00 )| < ε для всех x0 , x00 ∈ dom f , удовлетворяющих неравенству |x0 − x00 | < δ.Если функция равномерно непрерывна на E, то она непрерывна в каждой точке множестваE.Теорема. (Кантор — Гейне) Если функция f : [a, b] → R непрерывна на [a, b], то онаравномерно непрерывна на [a, b].•§ 4.6.
Монотонные функции.¡Функцияf называется неубывающей (невозрастающей), если f (x0 ) 6 f (x00 ) f (x0 ) >¢f (x00 ) для всех x0 , x00 ∈ dom f , удовлетворяющих неравенству x0 6 x00 .¡¢Функция f называется убывающей (возрастающей), если f (x0 ) > f (x00 ) f (x0 ) < f (x00 )для всех x0 , x00 ∈ dom f , удовлетворяющих неравенству x0 < x00 .Функция f называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.
Функция f называется строго монотонной, если она убывающая или возрастающая.Теорема. Если f : (a, b) → R монотонная функция, то она может иметь разрывы толькопервого рода.•Теорема. Монотонная функция может иметь не более, чем счетное число разрывов.•Теорема. Если f : [a, b] → R — неубывающаяфункция.Для того, чтобы f была непре¡¢рывной, необходимо и достаточно, чтобы f [a, b] = [f (a), f (b)].•Аналогичное утверждение справедливо и для невозрастающих функций.Теорема. Если f — строго монотонная функция, то она имеет обратную f −1 .•Теорема. Если f — строго монотонная непрерывная функция, то обратная функция f −1также строго монотонна и непрерывна.•25Глава 5. Дифференцирование.§ 5.1.
Дифференцируемые функции.Определение. Функция f : (a, b) → R называется дифференцируемой в точке x0 ∈ (a, b),если существует A ∈ R, такое, что f (x) = f (x0 ) + A(x − x0 ) + o(x − x0 ) при x → x0 .•Иногда это определение удобно сформулировать в такой форме: функция f : (a, b) → Rназывается дифференцируемой в точке x0 ∈ (a, b), если существует A ∈ R, такое, чтоf (x0 + h) = f (x0 ) + Ah + o(h) при h → 0.Число A называется производной функции f в точке x0 . Обычно производная функции fdfв точке x0 обозначается f 0 (x0 ) или dx(x0 ).Нетрудно видеть, что если f дифференцируема в точке x0 , тоf 0 (x0 ) = limx→x0f (x) − f (x0 )f (x0 + h) − f (x0 )= lim.h→0x − x0hОбратное утверждение тоже верно: если существует пределlimx→x0f (x) − f (x0 )= α,x − x0то функция f дифференцируема в точке x0 и f 0 (x0 ) = α.Если функция дифференцируема в точке x0 , то она непрерывна в этой точке.Теорема.
Пусть функции f и g дифференцируемы в точке x0 . Тогда1) функции f + g и f g дифференцируемы в точке x0 и(f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ),(f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 );2) если g(x0 ) 6= 0, то функция f /g дифференцируема в точке x0 и³ f ´0g(x0 ) =f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 ).g 2 (x0 )•Теорема. Если функция g дифференцируема в точке x0 , а функция f дифференцируемав точке g(x0 ), то функция f ◦ g дифференцируема в точке x0 и¡¢•(f ◦ g)0 (x0 ) = f 0 g(x0 ) g 0 (x0 ).Теорема. Пусть функция f : (a, b) → R строго монотонна, дифференцируема в точкеx0 ∈ (a, b), непрерывна в некоторой окрестности этой точки и f 0 (x0 ) 6= 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
