1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

С умножением дело обстоит немного сложнее. Модулемкомплексногоpчисла z = x+iy называется неотрицательное вещественное число |z| = x2 + y 2 . Аргументом комплексного числа z = x+iy 6= 0 называется угол между векторами с координатами(1, 0) и (x, y). Если мы обозначим модуль числа z через ρ, а аргумент — через ϕ, то получимдля числа z следующее представление:z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ).Поскольку функции cos и sin являются 2π-периодическими, правая часть этого равенстване изменится, если мы вместо ϕ напишем ϕ + 2πk, где k — произвольное целое число.То есть, каждому комплексному числу соответствует много значений угла ϕ. Множествовсех этих значений обозначают через Arg z. Чтобы определить аргумент числа однозначно,специально оговаривают, в каком промежутке его следует выбирать.

Обычно это бываетодин из полуинтервалов [0, 2π) и (−π, π]. Значение аргумента в пределах выбранного промежутка обозначают через arg z и называют главным значением аргумента.С помощью описанного выше представления, нетрудно понять, что представляет собойпроизведение двух комплексных чисел. Возьмём два произвольных ненулевых комплексных числа:z1 = ρ1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) и z2 = ρ2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ).Используя тригонометрические формулы, мы получим:z1 z2 = ρ1 ρ2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )).Таким образом, чтобы найти на координатной плоскости вектор, соответствующий комплексному числу z1 z2 , мы должны удлинить вектор (x1 , y1 ) в ρ2 раз и повернуть на угол ϕ2(напомним, что положительное направление поворота — против часовой стрелки).

Можно,конечно, удлинить вектор (x2 , y2 ) в ρ1 раз и повернуть на угол ϕ1 . Результат от этого неизменится.Упражнение. Воспользовавшись полученным представлением для произведения комплексных чисел и принципом математической индукции, доказать формулу Муавра:z k = ρk (cos kϕ + i sin kϕ),где ρ = |z|, ϕ = arg z, k ∈ N.•§ 2.4. Кардинальные числа.Скажем, что множество A равномощно множеству B, если существует биективное отображение F : A → B, такое, что F (A) = B. Отношение равномощности множеств является14отношением эквивалентности, так как оно обладает следующими очевидными свойствами:1) любое множество равномощно самому себе (рефлексивность);2) если A равномощно B, то B равномощно A (симметричность);3) если A равномощно B и B равномощно C, то A равномощно C (транзитивность).Тот факт, что множества A и B равномощны, мы будем обозначать A ∼ B.Все множества можно разбить на непересекающиеся классы равномощных множеств.Мощностью (или кардинальным числом) множества назовём класс эквивалентности, которому это множество принадлежит.

Мощность какого-либо множества A мы будем обозначать через card A. Выражение card A = card B означает, что множества A и B равномощны, то есть что A ∼ B.Если A — конечное множество, то принято определять card A как количество элементовмножества A. В частности, card ∅ = 0. Однако, основная причина введения кардинальныхчисел связана с попыткой сравнения бесконечных множеств. Мы называли множествобесконечным, если оно не являлось конечным.

Дедекинд предложил называть множествобесконечным, если оно равномощно некоторому своему собственному подмножеству.Мощности множеств можно сравнивать. Скажем, что мощность множества A не превосходит мощности множества B (card A 6 card B), если A равномощно некоторому подмножеству множества B (т.е., A ∼ B1 и B1 ⊂ B).Упражнение. Доказать, что если card A 6 card B и card B 6 card C, то card A 6 card C.•Теорема. (Теорема Шрёдера — Бернштейна) Пусть A и B — произвольные множества.Если card A 6 card B и card B 6 card A, то card A = card B.•Скажем, что мощность множества A меньше мощности множества B (card A < card B),если card A 6 card B и card A 6= card B.Теорема.

(Первая теорема Кантора) Пусть A — произвольное множество. Тогда card A <card P(A), P(A) — множество всех подмножеств множества A.•Как следует из этой теоремы, не существует наибольшего кардинального числа. Какоебы множество A мы ни взяли, всегда можно построить множество B, мощность которогобольше мощности множества A.Счётные множества. Множество называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел N. Множество называется не более, чем счётным, если оно конечно или счётно.Упражнение.

Доказать, что объединение двух не более чем счётных множеств (не обязательно непересекающихся) есть не более чем счётное множество.•Как показывает следующая теорема, счётные множества являются в некотором смысленаименьшими из бесконечных множеств.Теорема. Любое бесконечное множество содержит счётное подмножество.•Следствие. Любое бесконечное подмножество счётного множества является счётным. •Следствие. Если A — бесконечное, а B — не более чем счётное множества, то card (A ∪B) = card A.•Теорема. card (N × N) = card N.•15Следствие.

Объединение счётного числа счётных множеств является счётным множеством.•Следствие. card Q = card N.•Упражнение. Доказать, что множество алгебраических вещественных чисел счётно. •Множества мощности континуума. Скажем, что множество имеет мощность континуума, если оно равномощно отрезку [0, 1]. Для обозначения мощности континуума мыбудем использовать латинскую букву c. Любой промежуток вещественной прямой (как ився прямая) имеет мощность c.Теорема. (Вторая теорема Кантора) card N < c.•Следствие. Иррациональные числа существуют. Множество иррациональных чисел отрезка [0, 1] имеет мощность континуума.•Упражнение.

Пусть A — множество мощности континуума, а B — его счётное подмножество. Доказать, что множество A \ B имеет мощность континуума.•Утверждение. Если A и B — непересекающиеся множества мощности континуума, тоcard (A ∪ B) = c.•Аналогично можно доказать, что если {Xk }k∈N — последовательность непересекающихсямножеств мощности континуума, то их объединение тоже имеет мощность c. Достаточнорассмотреть биекции Fk : Xk → (1/(k +1), 1/k], k ∈ N и определить биекцию F : ∪∞k=1 Xk →∞(0, 1] = ∪k=1 (1/(k + 1), 1/k], которая совпадает с Fk на Xk .

Отсюда, в частности, следуетуже установленный нами ранее факт: множество R = ∪n∈Z (n, n + 1] имеет мощность c.¡¢Теорема. card [0, 1] × [0, 1] = c.•Следствие. Если для каждого α ∈ [0, 1] множество Xα имеет мощность континуума, томножество X = ∪α∈[0,1] Xα тоже имеет мощность континуума.•Глава 3. Числовые последовательности и ряды.§ 3.1.

Числовые последовательности.Числовой последовательностью называется отображение из N в R (или в C).Определение. Число α называется пределом последовательности {an }n∈N , если для любого ε > 0 существует N ∈ N, такое, что |an − α| < ε для всех n > N .•В символьном виде это определение записывается следующим образом:¡¢(∀ε > 0)(∃N ∈ N) (n > N ) ⇒ |an − α| < ε .Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если предел последовательности существует и равен какому-либо числу α, то говорят также, что последовательность сходится к α.

Этот факт обозначается так: lim an = α или «an → α при n → ∞».n→∞Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.Теорема. Последовательность может иметь только один предел.•Теорема. Сходящаяся последовательность ограничена.•16Теорема. Пусть {an } и {bn } — сходящиеся последовательности и lim an = α, lim bn = β.n→∞n→∞Тогдаа) lim (an + bn ) = α + β;n→∞б) lim (an bn ) = αβ;n→∞anα= .n→∞ bnβв) если β 6= 0 и bn 6= 0 для всех n ∈ N, то lim•Далее мы будем рассматривать последовательности вещественных чисел.Теорема. (О сравнении последовательностей) Пусть {an } и {bn } — сходящиеся последовательности и lim an = α, lim bn = β.

Если α < β, то существует такое N ∈ N, что an < bnn→∞n→∞для всех n > N .•Следствие. Пусть N ∈ N, {an } и {bn } — сходящиеся последовательности и lim an = α,n→∞lim bn = β.n→∞а) Если an < bn для всех n > N , то α 6 β.б) Если an 6 bn для всех n > N , то α 6 β.•Теорема. (Принцип двух полицейских) Пусть {an } и {bn } — числовые последовательности, сходящиеся к одному и тому же пределу p. Если an 6 cn 6 bn для всех n ∈ N, топоследовательность {cn } также сходится к p.•Определение. Последовательность {an } называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если для любого ε > 0 существует такое N ∈ N, что |ak − am | < εдля всех k > N и m > N .•Теорема.

(Критерий Коши) Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.•Пусть {an } — числовая последовательность. Если для всех n ∈ Nan < an+1 , то последовательность {an } называется возрастающей;an 6 an+1 — неубывающей;an > an+1 — убывающей;an > an+1 — невозрастающей.Неубывающая или невозрастающая последовательность называется монотонной. Убывающая или возрастающая последовательность называется строго монотонной.Теорема. (Вейерштрасс) Любая ограниченная сверху неубывающая последовательностьимеет предел.•Скажем, что lim an = +∞ ( lim an = −∞), если для любого A ∈ R+ существует такоеn→∞n→∞N ∈ N, что an > A (an < −A) для всех n > N .Примеры.1.

Если q ∈ [0, 1), то lim q n = 0.n→∞2. Если q > 1, то lim q n = +∞.n→∞nk= 0.n→∞ q n3. Если k ∈ N и q > 1, то lim174. Если a > 0, то limn→∞5. limn→∞√n√na = 1.n = 1.qn= 0 для любого q ∈ R.n→∞ n!6. lim³7. (Определение числа e) Существует предел limn→∞1+1 ´n= e.n•Пусть {xn }n∈N — какая-либо последовательность.

Если {nk }k∈N — возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность {xnk }k∈N называется подпоследовательностью последовательности {xn }n∈N .Упражнение. Если последовательность сходится к a, то любая её подпоследовательностьтоже сходится к a.•Теорема. (Теорема Больцано — Вейерштрасса для последовательностей) Любая ограниченная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.•Пусть {xn }n∈N — ограниченная последовательность.

Определим последовательности:in = inf{xk | k > n},sn = sup{xk | k > n}.Если последовательность {in } (последовательность {sn }) сходится к a, то говорят, что aесть нижний предел (верхний предел) последовательности {xn }. Обозначения:lim xn или lim inf xn — нижний предел последовательности {xn },n→∞n→∞lim xn или lim sup xn — верхний предел последовательности {xn }.n→∞n→∞Если последовательность ограничена, то её верхний и нижний пределы существуют.Число a называется частичным пределом последовательности {xn }n∈N , если существуетподпоследовательность {xnk }k∈N , сходящаяся к a.Теорема. Нижний и верхний пределы ограниченной последовательности являются её наименьшим и наибольшим частичными пределами соответственно.•Теорема. Для того, чтобы ограниченная последовательность сходилась, необходимо идостаточно, чтобы её верхний и нижний пределы совпадали.•§ 3.2.

Характеристики

Список файлов лекций