1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то её производная в этойточке определена единственным образом.•Очевидно, что если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна вэтой точке. Обратное утверждение не верно.49Теорема. Если функции f , g : X → Rm дифференцируемы в точке a ∈ X и λ ∈ R, тофункции (f + g) и (λf ) дифференцируемы в точке a и(f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a),(λf )0 (a) = λ f 0 (a).•Теорема. Пусть функции f, g : X → R дифференцируемы в точке a ∈ X.
Тогда функfция (f g), а если g(a) 6= 0, то и функция , дифференцируема в точке a иg00³ f ´00(f g) (a) = g(a) f (a) + f (a) g (a),g(a) =g(a) f 0 (a) − f (a) g 0 (a).g 2 (a)•Теорема. Пусть функция f : X ⊂ Rn → Y ⊂ Rm дифференцируема в точке x0 ∈ X, афункция g : Y → Rk дифференцируема в точке y 0 = f (x0 ). Тогда функция (g ◦ f ) : X →Rk дифференцируема в точке x0 и(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (y 0 ) ◦ f 0 (x0 ).То есть,®(g ◦ f )0 (x0 )hhi = g 0 (y 0 ) ◦ f 0 (x0 )hhi = g 0 (y 0 ) f 0 (x0 )hhi .•Теорема. Пусть функция f , отображающая некоторую окрестность U (x0 ) точки x0 ∈Rn на окрестность V (y 0 ) точки y 0 = f (x0 ) ∈ Rm , обладает следующими свойствами:1. f дифференцируема в точке x0 ;2. определена обратная функция f −1 : V (y 0 ) → U (x0 ), которая является непрерывнойв точке y 0 ;3.
линейное отображение f 0 (x0 ) : Rn → Rm обратимо.Тогда обратная функция f −1 дифференцируема в точке y 0 и (f −1 )0 (y 0 ) = (f 0 (x0 ))−1 .•Заметим, что основное утверждение этой теоремы заключается в дифференцируемостиобратной функции. Если этот факт уже известен, то формулу для производной обратнойфункции мы могли бы легко вывести из теоремы о производной композиции функций.Теорема. (О конечном приращении) Пусть функция f : X ⊂ Rn → R дифференцируема.
Если x, y ∈ X и отрезок I, соединяющий эти точки, также лежит в X, то существуетточка ξ ∈ I, такая, чтоf (x) − f (y) = f 0 (ξ)hx − yi.•Следствие. Если функция f : X ⊂ Rn → R дифференцируема и f 0 (x) = 0 для всех xиз некоторой области E ⊂ X, то f постоянна на E.•§ 8.2. Частные производные.Пусть X — открытое множество в Rn , f : X → Rm , a ∈ X и h ∈ Rn . Предел, если онсуществует,f (a + λu) − f (a),λ ∈ R,limλ→0λ50назовём производной функции f в точке a по направлению вектора h и обозначим его∂fчерез(a).∂hЕсли функция f дифференцируема в точке a, то, как нетрудно видеть, ∂f /∂h(a) =f 0 (a)hhi.Пусть {ei } — стандартный базис в Rn . Частной производной функции f по переменнойxi называется производная функции f по направлению i-го базисного вектора ei . Она∂fобозначается(a).
Таким образом,∂xi∂f∂f(a) =(a) = f 0 (a)hei i∂xi∂eiили∂ff (a + λei ) − f (a)(a) = lim,λ→0∂xiλλ ∈ R.Другими словами, чтобы посчитать частную производную по xi функции f : Rn → R вточке a ∈ Rn , достаточно вычислить производную функции одной переменной f˜(t) в точкеt = ai , где f˜(t) = f (a1 , . . . , ai−1 , t, ai+1 , . . . , an ).Производная функции является линейным отображением, поэтому мы можем сопоставить ей матрицу, которая называется матрицей Якоби.
Если f : Rn → Rm , то частные∂fiпроизводные(a) являются компонентами матрицы Якоби относительно стандартных∂xjбазисов пространств Rn и Rm . Если n = m, то матрица Якоби является квадратной и мыможем посчитать её определитель, называемый якобианом.Интересно исследовать вопрос о связи производной функции и её частных производных.Если функция дифференцируема, то её частные производные, очевидно, существуют. Обратное утверждение не верно. Более того, существование всех частных производных функции в некоторой точке не гарантирует непрерывности функции в этой точке.Пример. Пусть G = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 | 0 < x1 < 1, x2 = x21 }.
Определим функциюf : R2 → R следующим образом:(1, x ∈ G,f (x) =0, x ∈ R2 \ G.∂f∂f(0) =(0) = 0. Но функция f разрывна в точке 0, поэтому она∂x1∂x2не может быть дифференцируемой в этой точке.•Тогда существуютТеорема. Пусть функция f : X ⊂ Rn → R имеет все частные производные (по всемпеременным), которые непрерывны в точке a ∈ X. Тогда f дифференцируема в этойточке.•Обозначим через C 1 (X) множество функций, действующих из X в R, все частные производные от которых определены и непрерывны в X.
Как следует из теоремы, еслиf ∈ C 1 (X), то f дифференцируема в X.51Так как f = (f1 , f2 , . . . , fm ), последнюю теорему, да и многие другие утверждения можносформулировать для векторных функций. Определим C 1 (X, Rm ), как множество функций, действующих из X в Rm , все частные производные от которых определены и непрерывны в X. Функции из этого множества дифференцируемы в X. Нетрудно проверить,что C 1 (X, Rm ) образует линейное пространство, называемое пространством непрерывнодифференцируемых функций.Градиент, дивергенция и ротор.Рассмотрим скалярную дифференцируемую функцию f : Rn → R. В любой точке a ∈ Rnеё производная является ограниченным линейным отображением из Rn в R.
Нетрудно доказать, что в этом случае существует единственный вектор ξ ∈ Rn , такой, чтоf 0 (a)hhi = ξ · h для произвольного вектора h ∈ Rn . Этот вектор называется градиентом функции f в точке a и обозначается ∇f (a). В стандартном базисе градиент имеетследующие компоненты:³ ∂f ∂f∂f ´∇f =,,...,.∂x1 ∂x2∂xnУпражнение. Доказать, что градиент функции в точке a, если он отличен от нуля,указывает в сторону наискорейшего возрастания этой функции. Другими словами, если∇f (a) 6= 0, тоf 0 (a)hvi = max f 0 (a)hhih∈S(0,1)где S(0, 1) — единичная сфера в Rn и v = ∇f (a)/|∇f (a)|.Заметим, что если h — вектор в Rn , тоn•∂f= h · ∇f .
В самом деле,∂hnnX ∂fX® X∂f(a) = f 0 (a)hhi = f 0 (a)hi ei =hi f 0 (a)hei i =hi(a) = h · ∇f (a).∂h∂xii=1i=1i=1Пусть f : Rn → Rn . Дивергенцией вектор-функции f в точке a называется след tr f 0 (a)линейного отображения f 0 (a). Дивергенция обозначается через div f (a). В стандартномбазисе дивергенция является следом матрицы Якоби и имеет следующий вид:div f =nX∂fi.∂xii=1Пусть f : R3 → R3 и Ω(a) есть кососимметрическая часть линейного отображения f 0 (a),то есть,¡ 0 ¢∗ ´1³ 0f (a) − f (a) ,Ω(a) =2¡¢∗где f 0 (a) есть линейное отображение, сопряжённое (транспонированное) к f 0 (a). Существует единственный вектор ω ∈ R3 , такой, что Ω(a)hhi = ω × h.
Вектор ω называетсяротором вектор-функции f в точке a и обозначается rot f (a) или curl f (a). В стандартномбазисе ротор имеет следующие координаты:rot f =³ ∂f3∂x2−∂f2 ∂f1∂f3 ∂f2∂f1 ´,−,−∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x252Эти громоздкие выражения очень просто запомнитьe1e2 ∂∂rot f = det ∂x ∂x12f1f2с помощью следующей формулы:e3∂ .∂x3 f3Определитель считается формально.§ 8.3. Производные высших порядков.Если функция f : X ⊂ Rn → R дифференцируема, то мы можем в каждой точке x ∈ X∂fпосчитать её частные производные(x), i = 1, .
. . , n. Эти частные производные также∂xiявляются функциями от x, действующими из X в R. От них тоже можно вычислить част∂ ³ ∂f ´∂2fные производные, если они существуют. Эти производные называются=∂xj ∂xi∂xj ∂xiчастными производными второго порядка от функции f . Продолжая этот процесс, мыпридём к понятию частных производных порядка k:∂kf,∂xi1 . .
. ∂xikгде ij ∈ {1, 2, . . . , n}. В этом выражении производные считаются справа налево, т.е., сначала по xik , потом — по xik−1 , . . . , и в последнюю очередь — по xi1 . Однако, как мы увидим,результат не зависит от порядка вычисления производных.Теорема. Пусть функция f : Rn → R дифференцируема в некоторой окрестности U (a)точки a ∈ Rn , а её вторые частные производные∂ 2f∂xi ∂xjи∂ 2f∂xj ∂xiопределены в U (a) и непрерывны в точке a.
Тогда∂ 2f(a)∂xi ∂xjи∂2f(a).∂xj ∂xi•Скажем, что функция f : X → R принадлежит множеству C k (X), если все её частныепроизводные до порядка k включительно определены и непрерывны в X. Это множествообразует линейное пространство, называемое пространством k раз непрерывно дифференцируемых функций. Очевидно, что C k (X) ⊂ C k−1 (X).
Аналогично определяется пространство C k (X, Rm ) k раз непрерывно дифференцируемых функций, действующих из Xв Rm .Теорема. Пусть X — область в Rn . Если f ∈ C k (X), (i1 , . . . , ik ) — упорядоченный наборk чисел из {1, 2, . . . , n} и (σ(i1 ), . . . , σ(ik )) — произвольная перестановка этого набора, то∂kf∂kf=∂xσ(i1 ) . .
. ∂xσ(ik )∂xi1 . . . ∂xik53в X.•Рассмотрим оператор дифференцирования по направлению вектора h ∈ Rn :nX∂∂=hi.∂h∂xii=1Если f ∈ C k (X), то мы можем применить этот оператор к функции f k раз:³X∂kf∂ ´k=hf.i∂x∂hkii=1nТеорема. (Формула Тейлора) Пусть X — область в Rn и a ∈ X. Если f ∈ C k (X), тоk−1X1 ∂ mff (a + h) − f (a) =(a) + rk (f, a, h)m! ∂hmm=1для любого вектора h ∈ Rn , такого, что отрезок с концами в точках a и a + h лежит в X.ЗдесьZ 11∂kfrk (f, a, h) =(1 − t)k−1(a + th) dt.•(k − 1)! 0∂hkПрименяя теорему о среднем, легко получить формулу Тейлора с остаточным членом вформе Лагранжа:1 ∂kfrk (f, a, h) =(a + θh),k! ∂hkгде θ — некоторое число из отрезка [0, 1].Часто используется также формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:f (a + h) − f (a) =kX1 ∂ mfkm (a) + o(|h| )m!∂hm=1при h → 0.§ 8.4.
Экстремум функции многих переменных.Пусть X — область в Rn и f : X → R. Скажем, точка x0 ∈ X является точкой локального минимума (строгого локального минимума) функции f , если существует такая◦окрестность U (x0 ) точки x0 , что f (x0 ) 6 f (x) (f (x0 ) < f (x)) для всех x ∈ U (x0 ).Точка x0 ∈ X является точкой локального максимума (строгого локального максимума)функции f , если она является точкой локального минимума (строгого локального минимума) функции (−f ). Точка x0 ∈ X является точкой локального экстремума, если онаявляется точкой локального минимума или локального максимума.∂fПусть функция f ∈ C 1 (X) и(x0 ) = 0 для всех i = 1, 2, .
. . , n. Тогда x0 называют∂xiстационарной или критической точкой функции f .Если X — область в Rn и x0 ∈ X является∂fточкой локального экстремума функции f ∈ C 1 (X), то(x0 ) = 0 для всех i = 1, 2, . . . , n,∂xiт.е., x0 — стационарная точка функции f .•Теорема. (Необходимое условие экстремума)54Пусть X — область в Rn и f ∈ C 2 (X). Матрица H(f, x0 ) размерности n×n с компонентами∂ 2f(x0 ) называется матрицей Гессе функции f в точке x0 .∂xi ∂xjТеорема. (Достаточное условие экстремума) Пусть X — область в Rn и x0 ∈ Xявляется стационарной точкой функции f ∈ C 2 (X). Тогда1.
если матрица Гессе H(f, x0 ) функции f в точке x0 является положительно определённой, то x0 — точка строго локального минимума функции f ;2. если при различных h ∈ Rn квадратичная форма h · H(f, x0 )h может приниматьзначения разных знаков, то x0 не является точкой экстремума функции f .•Напомним, что симметричная матрица A размерности n×n с компонентами Aij называетсяположительно определённой, еслиh · Ah =n XnXAij hi hj > 0i=1 j=1для всех h ∈ Rn \ {0}. Как известно из курса алгебры, для того, чтобы симметричная матрица обладала этим свойством, необходимо и достаточно, чтобы все её собственные числабыли положительны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
