1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

. , ur — базис U1 ∩ U2;u1, . . . , ur , v1, . . . , vs — базис U1;u1, . . . , ur , w1, . . . , wt — базис U2;r = dim(U1 ∩ U2)r + s = dim U1r + t = dim U2r + s + t = dim(U1 + U2) = (r + s) + (r + t) − r.Следствие.Пусть U1, . . . , Un, n ≥ 2, — конечномерные подпространства в.п. V надполем F , U = U1 + · · · + Un. Тогда(1) dim U ≤nPk=1(2) U =nLk=1Ukdim Uk ;⇐⇒dim U =nPk=1dim Uk .Доказательство.(1) Индукцией по n ≥ 2.n = 2: dim(U1 + U2) = dim U1 + dim U2 − dim(U1 ∩ U2) ≤ dim U1 + dim U2.n − 1 → n:U = (U1 + · · · + Un−1) + Un ⇒ dim U ≤ dim(U1 + · · · + Un−1) + dim Un ≤n−1Pk=1dim Uk + Un.(2) U =nLk=1Uk⇐⇒dim U =nPk=1dim Uk⇒ : Базис прямой суммы можно составить из базисов слагаемых: еслиu11, .

. . , u1r1 — базис U1 (dim U1 = r1),u21, . . . , u2r2 — базис U2 (dim U2 = r2),...un1, . . . , unrn — базис Un (dim Un = rn),тоu11, . . . u1r1 , . . . . . . . . . , un1, . . . , unrn — базис U(Нужно проверить линейную независимость и полноту.)⇐:Допустим, найдется k такое, чтоW = Uk ∩ (U1 + · · · + Uk−1 + Uk+1 + · · · + Un) 6= {0}Тогдаdim(U1 + · · · + Un)= dim Uk + dim(U1 + · · · + Uk−1 + Uk+1 + · · · + Un) − dim W< dim Uk + dim(U1 + · · · + Uk−1 + Uk+1 + · · · + Un)≤ dim Uk + (dim U1 + · · · + dim Uk−1 + dim Uk+1 + · · · + dim Un)(используем dim W > 0 и утв. 1).Образ и ядро линейного отображенияПусть V, W — в.п.

над полем F ,ϕ : V → W — линейное отображениеОпределение. Ядром линейного отображения ϕ называется{v ∈ V | ϕ(v) = 0} = Ker (ϕ) ⊆ V ;Образом ϕ называется множество{ϕ(v) | v ∈ V } = ϕ(V ) ⊆ W.(иногда ϕ(V ) = Im ϕ)• Образ и ядро линейного отображения – подпространства всоответствующих в.п.;• ϕ инъективно ⇐⇒ Ker (ϕ) = {0};• ϕ сюръективно ⇐⇒ ϕ(V ) = W .Теорема (о гомоморфизмах для в.п.)Пусть V, W — в.п.

над полем F , ϕ : V → W — линейное отображение.ТогдаV /Ker (ϕ) ≃ ϕ(V ).Доказательство.Обозначим U = Ker (ϕ).Построим отображениеψ : V /U → Wv + U 7→ ϕ(v),v ∈ V.(?) Корректность:v + U = v ′ + U ⇐⇒ v − v ′ ∈ U ⇐⇒ ϕ(v − v ′) = 0ϕ(v) = ϕ(v ′) ⇐⇒ ψ(v + U ) = ψ(v ′ + U ).⇐⇒(?) Линейность:ψ(α(v + U ) + β(u + U )) = ψ(αv + βu + U ) = ϕ(αv + βu) = αϕ(v) + βϕ(u) =αψ(v + U ) + βψ(u + U ).(?) Инъективность:ψ(v + U ) = 0 ⇐⇒ ϕ(v) = 0ядро ψ нулевое.⇐⇒(?) Сюръективность — очевидно.v∈U⇐⇒v + U = U = 0̄ ∈ V /U —Следствие.Пусть V и W — конечномерные в.п., dim V = dim W = n, и пустьϕ : V → W — линейное отображение.

Тогда следующие условияэквивалентны:(1) ϕ — изоморфизм;(2) Ker (ϕ) = {0};(3) ϕ(V ) = W .Доказательство.(1) ⇒ (2) : Очевидно, т.к. любой изоморфизм инъективен.(2) ⇒ (3) : ϕ Покажем сюръективность.V /Ker (ϕ) = V /{0} ≃ V .По т. о гомоморфизмах, V ≃ ϕ(V ) ⊆ W .dim ϕ(V ) = dim V = dim W ⇒ ϕ(V ) = W .(3) ⇒ (1) : ϕ сюръективно по условию, покажем инъективность.Если Ker (ϕ) = U 6= {0}, тоdim ϕ(V ) = dim V /U = dim V − dim U < dim V = dim W ⇒ W 6= ϕ(V ).Если W = V : линейное отображение ϕ : V → V называется линейнымпреобразованием в.п. V (линейным оператором на V )Если Ker (ϕ) = {0}, то ϕ — невырожденное преобразование.Если ϕ — изоморфизм, то ϕ — обратимое преобразование.Из последнего следствия вытекает, что для конечномерного в.п.

Vϕ невырожденное ⇐⇒ ϕ — изоморфизмСледствие.Пусть V, W — в.п. над полем F , V — конечномерное, ϕ : V → W —линейное отображение. Тогда dim V = dim Ker (ϕ) + dim ϕ(V ).Доказательство.Обозначим U = Ker (ϕ), W ′ = ϕ(V ).По теореме о гомоморфизмах V /U ≃ W ′ ⇒ dim V /U = dim W ′.Размерность фактор-пространства: dim V /U = dim V − dim U ,следовательно, dim V − dim U = dim W ′.Следствие.Пусть U1, U2 — подпространства в.п. V над полем F . Тогда(U1 + U2)/U2 ≃ U1/(U1 ∩ U2).Доказательство.Построим отображениеϕ : U1 → (U1 + U2)/U2u 7→ u + U2,u ∈ U1 .Очевидно, ϕ — линейное.(?) ϕ(U1) = (U1 + U2)/U2 (сюръективность):Возьмем произвольный элемент b̄ ∈ (U1 + U2)/U2.b = u1 + u2 , u1 ∈ U 1 , u2 ∈ U 2 .b̄ = (u1 + u2) + U2 = u1 + U2 ⇒ ϕ(u1) = b̄.(?) Ker (ϕ) = U1 ∩ U2:Пусть u ∈ U1,ϕ(u) = 0̄ ⇐⇒ u + U2 = 0 + U2Значит, u ∈ U1 ∩ U2.⇐⇒ u ∈ U25. Пространства линейных отображенийПусть V, W — в.п.

над полем FHom(V, W ) = HomF (V, W ) — множество всех линейных отображенийV →WОпределим следующие операции на Hom(V, W ):• Сложение:(ϕ + ψ)(v) = ϕ(v) + ψ(v),ϕ, ψ ∈ Hom(V, W ), v ∈ V ;• Умножение на скаляр:(αϕ)(v) = α(ϕ(v)),ϕ ∈ Hom(V, W ), v ∈ V, α ∈ F.(?) Hom(V, W ) относительно указанных операций является векторнымпространством над F .Проверить аксиомы в.п.Теорема. Mm,n(F ) ≃ Hom(F n, F m).Доказательство. ПостроимΦ : Mm,n(F ) → Hom(F n, F m)A 7→ Φ(A) = ϕA,гдеϕA(v) = Av,v ∈ F n.Необходимо убедиться, что:• Для любой A ∈ Mm,n(F ) отображение ϕA – линейное;• Φ линейное;• Φ биективно:– Φ инъективно;– Φ сюръективно• Линейность ϕA:ϕA(αu + βv) = A(αu + βv)= αAu + βAv = αϕA(u) + βϕA(v).• Линейность Φ:Φ(αA + βB) : v 7→ (αA + βB)v = αAv + βBvСравним с αΦ(A) + βΦ(B):αΦ(A) + βΦ(B) : v 7→ αAv + βBv.Значит,Φ(αA + βB) = αΦ(A) + βΦ(B)для всех A, B ∈ Mm,n(F ).• Инъективность Φ:Φ(A) = 0 : v 7→ Av = 0для любого v ∈ F n.

Рассмотрим 0 .. . v = ei = 1i ...  0для любого i = 1, . . . , n. Тогда0 = Av = Aei = A(i)т.е. A — нулевая матрица.• Сюръективность Φ:пусть ϕ ∈ Hom(F n, F m), рассмотримα1iϕ(ei) = A(i) =  ...  ∈ F mαmiПостроимα11 . . . α1n(1)(n)∈ Mm,n(F ).A = . . . . . . . . . . . .

. . = A... Aαm1 . . . αmnНепосредственной проверкой убедимся, что ϕ = ϕA:Пусть v ∈ F n,γ1 .. v =  .  = γ1 e 1 + · · · + γn e n ,γnϕ(v) = γ1ϕ(e1) + · · · + γnϕ(en)= γ1A(1) + · · · + γnA(n)α11α1n= γ1  ...  + · · · + γn  ... αm1αmnα11γ1 + · · · + α1nγn...=αm1γ1 + · · · + αmnγn= Av = ϕA(v).V, W — в.п. над полем FHom(V, W ) — векторное пространство всех линейных отображенийV →WТеорема. Mm,n(F ) ≃ Hom(F n, F m).Φ : Mm,n(F ) → Hom(F n, F m)A 7→ Φ(A) = ϕA,гдеϕA(v) = Av,v ∈ F n.Следствие.Пусть dim V = n, dim W = m. Тогда Hom(V, W ) ≃ Mm,n(F ).Доказательство.V ≃ F n, W ≃ F m ⇒ Hom(V, W ) ≃ Hom(F n, F m):Построим изоморфизм Ψ : Hom(V, W ) → Hom(F n, F m). Пустьτ : V → F n — изоморфизмρ : W → F m — изоморфизмДля любого ϕ ∈ Hom(V, W ) положимΨ(ϕ) = ρϕτ −1 : F n → F mОчевидно, что Ψ обратим ⇒ изоморфизм.Vϕ−→WρτyyF n −−−−→ F mΨ(ϕ)Матрица линейного отображения в данных базисахПусть V, W — в.п.

над F , dim V = n, dim W = mv1, . . . , vn — базис V ,w1, . . . , wm — базис W .Тогда можно построить изоморфизмыτ : V → F n,ρ : W → F m,α1 α1v1 + · · · + αnvn 7→  ... αnβ1 .. β1w1 + · · · + βmwm 7→  . βmПри этомρϕτ −1 ∈ Hom(F n, F m).МатрицаA = Φ−1(ρϕτ −1) ∈ Mm,n(F )называется матрицей отображения ϕ : V → W в базисах v1, . . . , vn иw1 , . . .

, wmОбозначаетсяA = [ϕ]v1 ,...,vnw1 ,...,wmЕсли V = W и базис один и тот же, тоA = [ϕ]v1,...,vn— матрица преобразования ϕ в базисе v1, . . . , vn.Пример.V = W = R2 , A =2 −1−1 2!ϕ = Φ(A) : R2 → R2x1x2!7→2x1 − x2−x1 + 2x2Рассмотрим базисv1 =!1,1v2 =1−1!!Найдем матрицу преобразования ϕ в базисе v1, v2:τ : α 1 v1 + α 2 v2 =α1 + α2α1 − α2!7→!α1,α2Вычислимτ ϕτ −1 :α1α2!7→α1 + α2α1 − α2!7→!2 −1−1 2α1 + α2α1 − α2!=α1 + 3α2α1 − 3α2α13α2!Значит,Φ−1(τ ϕτ −1) = B :BB = [ϕ]v1,v2 =— растяжение в 3 раза вдоль оси (1, −1)α1α2!=!1 00 3!7→α13α2!Суперпозиция линейных преобразований & умножение матрицПусть U, V, W — конечномерные в.п. над полем Fu1, . .

. , uk — базис U ,v1, . . . , vn — базис V ,w1, . . . , wm — базис Wϕ : U → V,ψ:V →W— линейные отображения,ψϕ : U → W— их суперпозиция.Теорема. ЕслиA = [ψ]v1 ,...,vnw1 ,...,wm,B = [ϕ]то[ψϕ]u1 ,...,ukw1 ,...,wm= AB.u1 ,...,ukv1 ,...,vn,Доказательство.C = [ψϕ]u1 ,...,ukw1 ,...,wm(?) C = ABФиксированный базис ⇒ изоморфизм:≃u1 , . .

. , uk ⇒ σ : U → F k ,≃v1 , . . . , vn ⇒ τ : V → F n ,≃w1 , . . . , wm ⇒ ρ : W → F m ,Φ(B) = τ ϕσ −1 : F k → F nΦ(A) = ρψτ −1 : F n → F mΦ(A)Φ(B) = (ρψτ −1)(τ ϕσ −1) = ρψϕσ −1 = Φ(C)Осталось заметить, что Φ(A)Φ(B) = Φ(AB). Действительно,Φ(B) : u 7→ Bu,Φ(A) : v 7→ AvпоэтомуΦ(A)Φ(B) : u 7→ Φ(A)(Bu) = A(Bu) = (AB)uдля любого u ∈ F k .Таким образом, Φ(AB) = Φ(C) ⇒ AB = C т.к. Φ изоморфизм.6. Ранг матрицыA ∈ Mm,n(F )A1a11 . . . a1nA = . . .

. . . . . . . . . . . = A(1) . . . A(n) =  ... Amam1 . . . amnUh(A) = L(A1, . . . , Am) ⊆ Fn — пространство, порожденное строкамиматрицы (h: horizontal)Uv (A) = L(A(1), . . . , A(n)) ⊆ F m — пространство, порожденное столбцамиматрицы (v: vertical)dim Uh(A) = rh(A) — горизонтальный ранг матрицы Adim Uv (A) = rv (A) — вертикальный ранг матрицы AТеорема(о совпадении рангов) Для любой матрицы A ∈ Mm,n(F ) надполем Frh(A) = rv (A).Это число называется рангом матрицы A и обозначается r(A).Доказательство.(?) Горизонтальный ранг не меняется при э.п.

строк:AB ⇒ Uh(B) ⊆ Uh(A); ⊇ из обратимости э.п.(?) Вертикальный ранг не меняется при э.п. строк:AB = SA, где S — элементарная матрица (I или II типа).Допустим, столбцыA(i1), . . . , A(ir ) ∈ Uv (A)линейно зависимы:α1A(i1) + · · · + αr A(ir ) = 0,αi ∈ F— нетривиальная линейная комбинация.

Характеристики

Список файлов лекций