Главная » Просмотр файлов » 1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436

1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186), страница 7

Файл №824186 1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (2014 Лекции Колесников) 7 страница1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186) страница 72021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

. , ur — базис U1 ∩ U2;u1, . . . , ur , v1, . . . , vs — базис U1;u1, . . . , ur , w1, . . . , wt — базис U2;r = dim(U1 ∩ U2)r + s = dim U1r + t = dim U2r + s + t = dim(U1 + U2) = (r + s) + (r + t) − r.Следствие.Пусть U1, . . . , Un, n ≥ 2, — конечномерные подпространства в.п. V надполем F , U = U1 + · · · + Un. Тогда(1) dim U ≤nPk=1(2) U =nLk=1Ukdim Uk ;⇐⇒dim U =nPk=1dim Uk .Доказательство.(1) Индукцией по n ≥ 2.n = 2: dim(U1 + U2) = dim U1 + dim U2 − dim(U1 ∩ U2) ≤ dim U1 + dim U2.n − 1 → n:U = (U1 + · · · + Un−1) + Un ⇒ dim U ≤ dim(U1 + · · · + Un−1) + dim Un ≤n−1Pk=1dim Uk + Un.(2) U =nLk=1Uk⇐⇒dim U =nPk=1dim Uk⇒ : Базис прямой суммы можно составить из базисов слагаемых: еслиu11, .

. . , u1r1 — базис U1 (dim U1 = r1),u21, . . . , u2r2 — базис U2 (dim U2 = r2),...un1, . . . , unrn — базис Un (dim Un = rn),тоu11, . . . u1r1 , . . . . . . . . . , un1, . . . , unrn — базис U(Нужно проверить линейную независимость и полноту.)⇐:Допустим, найдется k такое, чтоW = Uk ∩ (U1 + · · · + Uk−1 + Uk+1 + · · · + Un) 6= {0}Тогдаdim(U1 + · · · + Un)= dim Uk + dim(U1 + · · · + Uk−1 + Uk+1 + · · · + Un) − dim W< dim Uk + dim(U1 + · · · + Uk−1 + Uk+1 + · · · + Un)≤ dim Uk + (dim U1 + · · · + dim Uk−1 + dim Uk+1 + · · · + dim Un)(используем dim W > 0 и утв. 1).Образ и ядро линейного отображенияПусть V, W — в.п.

над полем F ,ϕ : V → W — линейное отображениеОпределение. Ядром линейного отображения ϕ называется{v ∈ V | ϕ(v) = 0} = Ker (ϕ) ⊆ V ;Образом ϕ называется множество{ϕ(v) | v ∈ V } = ϕ(V ) ⊆ W.(иногда ϕ(V ) = Im ϕ)• Образ и ядро линейного отображения – подпространства всоответствующих в.п.;• ϕ инъективно ⇐⇒ Ker (ϕ) = {0};• ϕ сюръективно ⇐⇒ ϕ(V ) = W .Теорема (о гомоморфизмах для в.п.)Пусть V, W — в.п.

над полем F , ϕ : V → W — линейное отображение.ТогдаV /Ker (ϕ) ≃ ϕ(V ).Доказательство.Обозначим U = Ker (ϕ).Построим отображениеψ : V /U → Wv + U 7→ ϕ(v),v ∈ V.(?) Корректность:v + U = v ′ + U ⇐⇒ v − v ′ ∈ U ⇐⇒ ϕ(v − v ′) = 0ϕ(v) = ϕ(v ′) ⇐⇒ ψ(v + U ) = ψ(v ′ + U ).⇐⇒(?) Линейность:ψ(α(v + U ) + β(u + U )) = ψ(αv + βu + U ) = ϕ(αv + βu) = αϕ(v) + βϕ(u) =αψ(v + U ) + βψ(u + U ).(?) Инъективность:ψ(v + U ) = 0 ⇐⇒ ϕ(v) = 0ядро ψ нулевое.⇐⇒(?) Сюръективность — очевидно.v∈U⇐⇒v + U = U = 0̄ ∈ V /U —Следствие.Пусть V и W — конечномерные в.п., dim V = dim W = n, и пустьϕ : V → W — линейное отображение.

Тогда следующие условияэквивалентны:(1) ϕ — изоморфизм;(2) Ker (ϕ) = {0};(3) ϕ(V ) = W .Доказательство.(1) ⇒ (2) : Очевидно, т.к. любой изоморфизм инъективен.(2) ⇒ (3) : ϕ Покажем сюръективность.V /Ker (ϕ) = V /{0} ≃ V .По т. о гомоморфизмах, V ≃ ϕ(V ) ⊆ W .dim ϕ(V ) = dim V = dim W ⇒ ϕ(V ) = W .(3) ⇒ (1) : ϕ сюръективно по условию, покажем инъективность.Если Ker (ϕ) = U 6= {0}, тоdim ϕ(V ) = dim V /U = dim V − dim U < dim V = dim W ⇒ W 6= ϕ(V ).Если W = V : линейное отображение ϕ : V → V называется линейнымпреобразованием в.п. V (линейным оператором на V )Если Ker (ϕ) = {0}, то ϕ — невырожденное преобразование.Если ϕ — изоморфизм, то ϕ — обратимое преобразование.Из последнего следствия вытекает, что для конечномерного в.п.

Vϕ невырожденное ⇐⇒ ϕ — изоморфизмСледствие.Пусть V, W — в.п. над полем F , V — конечномерное, ϕ : V → W —линейное отображение. Тогда dim V = dim Ker (ϕ) + dim ϕ(V ).Доказательство.Обозначим U = Ker (ϕ), W ′ = ϕ(V ).По теореме о гомоморфизмах V /U ≃ W ′ ⇒ dim V /U = dim W ′.Размерность фактор-пространства: dim V /U = dim V − dim U ,следовательно, dim V − dim U = dim W ′.Следствие.Пусть U1, U2 — подпространства в.п. V над полем F . Тогда(U1 + U2)/U2 ≃ U1/(U1 ∩ U2).Доказательство.Построим отображениеϕ : U1 → (U1 + U2)/U2u 7→ u + U2,u ∈ U1 .Очевидно, ϕ — линейное.(?) ϕ(U1) = (U1 + U2)/U2 (сюръективность):Возьмем произвольный элемент b̄ ∈ (U1 + U2)/U2.b = u1 + u2 , u1 ∈ U 1 , u2 ∈ U 2 .b̄ = (u1 + u2) + U2 = u1 + U2 ⇒ ϕ(u1) = b̄.(?) Ker (ϕ) = U1 ∩ U2:Пусть u ∈ U1,ϕ(u) = 0̄ ⇐⇒ u + U2 = 0 + U2Значит, u ∈ U1 ∩ U2.⇐⇒ u ∈ U25. Пространства линейных отображенийПусть V, W — в.п.

над полем FHom(V, W ) = HomF (V, W ) — множество всех линейных отображенийV →WОпределим следующие операции на Hom(V, W ):• Сложение:(ϕ + ψ)(v) = ϕ(v) + ψ(v),ϕ, ψ ∈ Hom(V, W ), v ∈ V ;• Умножение на скаляр:(αϕ)(v) = α(ϕ(v)),ϕ ∈ Hom(V, W ), v ∈ V, α ∈ F.(?) Hom(V, W ) относительно указанных операций является векторнымпространством над F .Проверить аксиомы в.п.Теорема. Mm,n(F ) ≃ Hom(F n, F m).Доказательство. ПостроимΦ : Mm,n(F ) → Hom(F n, F m)A 7→ Φ(A) = ϕA,гдеϕA(v) = Av,v ∈ F n.Необходимо убедиться, что:• Для любой A ∈ Mm,n(F ) отображение ϕA – линейное;• Φ линейное;• Φ биективно:– Φ инъективно;– Φ сюръективно• Линейность ϕA:ϕA(αu + βv) = A(αu + βv)= αAu + βAv = αϕA(u) + βϕA(v).• Линейность Φ:Φ(αA + βB) : v 7→ (αA + βB)v = αAv + βBvСравним с αΦ(A) + βΦ(B):αΦ(A) + βΦ(B) : v 7→ αAv + βBv.Значит,Φ(αA + βB) = αΦ(A) + βΦ(B)для всех A, B ∈ Mm,n(F ).• Инъективность Φ:Φ(A) = 0 : v 7→ Av = 0для любого v ∈ F n.

Рассмотрим 0 .. . v = ei = 1i ...  0для любого i = 1, . . . , n. Тогда0 = Av = Aei = A(i)т.е. A — нулевая матрица.• Сюръективность Φ:пусть ϕ ∈ Hom(F n, F m), рассмотримα1iϕ(ei) = A(i) =  ...  ∈ F mαmiПостроимα11 . . . α1n(1)(n)∈ Mm,n(F ).A = . . . . . . . . . . . .

. . = A... Aαm1 . . . αmnНепосредственной проверкой убедимся, что ϕ = ϕA:Пусть v ∈ F n,γ1 .. v =  .  = γ1 e 1 + · · · + γn e n ,γnϕ(v) = γ1ϕ(e1) + · · · + γnϕ(en)= γ1A(1) + · · · + γnA(n)α11α1n= γ1  ...  + · · · + γn  ... αm1αmnα11γ1 + · · · + α1nγn...=αm1γ1 + · · · + αmnγn= Av = ϕA(v).V, W — в.п. над полем FHom(V, W ) — векторное пространство всех линейных отображенийV →WТеорема. Mm,n(F ) ≃ Hom(F n, F m).Φ : Mm,n(F ) → Hom(F n, F m)A 7→ Φ(A) = ϕA,гдеϕA(v) = Av,v ∈ F n.Следствие.Пусть dim V = n, dim W = m. Тогда Hom(V, W ) ≃ Mm,n(F ).Доказательство.V ≃ F n, W ≃ F m ⇒ Hom(V, W ) ≃ Hom(F n, F m):Построим изоморфизм Ψ : Hom(V, W ) → Hom(F n, F m). Пустьτ : V → F n — изоморфизмρ : W → F m — изоморфизмДля любого ϕ ∈ Hom(V, W ) положимΨ(ϕ) = ρϕτ −1 : F n → F mОчевидно, что Ψ обратим ⇒ изоморфизм.Vϕ−→WρτyyF n −−−−→ F mΨ(ϕ)Матрица линейного отображения в данных базисахПусть V, W — в.п.

над F , dim V = n, dim W = mv1, . . . , vn — базис V ,w1, . . . , wm — базис W .Тогда можно построить изоморфизмыτ : V → F n,ρ : W → F m,α1 α1v1 + · · · + αnvn 7→  ... αnβ1 .. β1w1 + · · · + βmwm 7→  . βmПри этомρϕτ −1 ∈ Hom(F n, F m).МатрицаA = Φ−1(ρϕτ −1) ∈ Mm,n(F )называется матрицей отображения ϕ : V → W в базисах v1, . . . , vn иw1 , . . .

, wmОбозначаетсяA = [ϕ]v1 ,...,vnw1 ,...,wmЕсли V = W и базис один и тот же, тоA = [ϕ]v1,...,vn— матрица преобразования ϕ в базисе v1, . . . , vn.Пример.V = W = R2 , A =2 −1−1 2!ϕ = Φ(A) : R2 → R2x1x2!7→2x1 − x2−x1 + 2x2Рассмотрим базисv1 =!1,1v2 =1−1!!Найдем матрицу преобразования ϕ в базисе v1, v2:τ : α 1 v1 + α 2 v2 =α1 + α2α1 − α2!7→!α1,α2Вычислимτ ϕτ −1 :α1α2!7→α1 + α2α1 − α2!7→!2 −1−1 2α1 + α2α1 − α2!=α1 + 3α2α1 − 3α2α13α2!Значит,Φ−1(τ ϕτ −1) = B :BB = [ϕ]v1,v2 =— растяжение в 3 раза вдоль оси (1, −1)α1α2!=!1 00 3!7→α13α2!Суперпозиция линейных преобразований & умножение матрицПусть U, V, W — конечномерные в.п. над полем Fu1, . .

. , uk — базис U ,v1, . . . , vn — базис V ,w1, . . . , wm — базис Wϕ : U → V,ψ:V →W— линейные отображения,ψϕ : U → W— их суперпозиция.Теорема. ЕслиA = [ψ]v1 ,...,vnw1 ,...,wm,B = [ϕ]то[ψϕ]u1 ,...,ukw1 ,...,wm= AB.u1 ,...,ukv1 ,...,vn,Доказательство.C = [ψϕ]u1 ,...,ukw1 ,...,wm(?) C = ABФиксированный базис ⇒ изоморфизм:≃u1 , . .

. , uk ⇒ σ : U → F k ,≃v1 , . . . , vn ⇒ τ : V → F n ,≃w1 , . . . , wm ⇒ ρ : W → F m ,Φ(B) = τ ϕσ −1 : F k → F nΦ(A) = ρψτ −1 : F n → F mΦ(A)Φ(B) = (ρψτ −1)(τ ϕσ −1) = ρψϕσ −1 = Φ(C)Осталось заметить, что Φ(A)Φ(B) = Φ(AB). Действительно,Φ(B) : u 7→ Bu,Φ(A) : v 7→ AvпоэтомуΦ(A)Φ(B) : u 7→ Φ(A)(Bu) = A(Bu) = (AB)uдля любого u ∈ F k .Таким образом, Φ(AB) = Φ(C) ⇒ AB = C т.к. Φ изоморфизм.6. Ранг матрицыA ∈ Mm,n(F )A1a11 . . . a1nA = . . .

. . . . . . . . . . . = A(1) . . . A(n) =  ... Amam1 . . . amnUh(A) = L(A1, . . . , Am) ⊆ Fn — пространство, порожденное строкамиматрицы (h: horizontal)Uv (A) = L(A(1), . . . , A(n)) ⊆ F m — пространство, порожденное столбцамиматрицы (v: vertical)dim Uh(A) = rh(A) — горизонтальный ранг матрицы Adim Uv (A) = rv (A) — вертикальный ранг матрицы AТеорема(о совпадении рангов) Для любой матрицы A ∈ Mm,n(F ) надполем Frh(A) = rv (A).Это число называется рангом матрицы A и обозначается r(A).Доказательство.(?) Горизонтальный ранг не меняется при э.п.

строк:AB ⇒ Uh(B) ⊆ Uh(A); ⊇ из обратимости э.п.(?) Вертикальный ранг не меняется при э.п. строк:AB = SA, где S — элементарная матрица (I или II типа).Допустим, столбцыA(i1), . . . , A(ir ) ∈ Uv (A)линейно зависимы:α1A(i1) + · · · + αr A(ir ) = 0,αi ∈ F— нетривиальная линейная комбинация.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,2 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6518
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее