1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

. , ai jkс коэффициентами, не зависящими от i:aij = −kXCk+1 pai jpj1,...,jkp=1 Mi1 ,...,ik (A)i = 1, . . . , n.Обозначимαj p = −Ck+1 pj ,...,jMi 1,...,i k (A)1k— не зависит от i.Тогда A(j) равен лин.комбинации A(j1), . . . , A(jk ):A(j) =kXp=1αj pA(jp).Существование определителяТеорема.Для любого n ≥ 1 существует полилинейная кососимметрическаянормированная функция строк матрицы размера n × n.Доказательство.Индукцией по размеру матрицы n ≥ 1 определим искомую функциюDn : Mn(F ) → Fn = 1: A = (a11).

Очевидно, D1(A) = a11 обладает всеми нужнымисвойствами.n − 1 → n: Допустим, функция Dn−1 определена. Тогда определены всеалгебраические дополнения Aij в матрице A ∈ Mn(F ):1,...,ĵ,...,nAij = (−1)i+j Dn−1(M1,...,î,...,n (A)).Проверим, чтоDn(A) =nXai1Ai1i=1является искомой полилинейной кососимметрической нормированнойфункцией строк.(?) Полилинейность по каждой строкеA1 ..  .

 Ai−1 A =  Ai ,A i+1 ..  . AnA1 ..  .  Ai−1 B =  Bi ,A i+1 ..  . AnBi = bi1 . . . binРассмотрим α, β ∈ F , положимa11a12... ...a1nA1...................................................ai−1 1ai−1 2... ...ai−1 n Ai−1 = αa + βbC=αA+βBαa+βb......αa+βbiii1i2i2inin  i1 Aaa......ai+1i+11i+12i+1n.... . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Anan1an2... ...annНадо показать, что для любыхDn(C) = αDn(A) + βDn(B).Вычислим по определениюDn(C) = a11C11+· · ·+ai−1 1Ci−1 1+(αai1+βbi1)Ci1+ai+1 1Ci+1 1+· · ·+an1Cn1Заметим, что при j 6= ia12...

...a1n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aj−1 2... ...aj−1 n aj+1 2......aj+1 n..................................j+1 = αA + βBCj1 = (−1)j1j1ai−1 2... ...ai−1 n αai2 + βbi2 . . . . . . αain + βbin a... ...ai+1 n i+1 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .an2... ...annпо предположению индукции.При j = i, очевидно,Ci1 = Ai1 = Bi1т.к. i-я строка вычеркивается,(αai1 + βbi1)Ai1 = αai1Ai1 + βbi1Bi1.ПоэтомуDn(C) = a11C11 + · · · + ai−1 1Ci−1 1+ (αai1 + βbi1)Ci1+ ai+1 1Ci+1 1 + · · · + an1Cn1= a11(αA11 + βB11) + · · · + ai−1 1(αAi−1 1 + βBi−1 1)+ αai1Ai1 + βbi1Bi1+ ai+1 1(αAi+1 1 + βBi+1 1) + · · · + an1(αAn1 + βBn1)= αDn(A) + βDn(B).7. Определитель квадратной матрицы(продолжение)Существование определителяТеорема.Для любого n ≥ 1 существует полилинейная кососимметрическаянормированная функция строк матрицы размера n × n.Доказательство.Индукцией по размеру матрицы n ≥ 1 определим искомую функциюDn : Mn(F ) → Fn = 1: A = (a11).

Очевидно, D1(A) = a11 обладает всеми нужнымисвойствами.n − 1 → n: Допустим, функция Dn−1 определена. Тогда определены всеалгебраические дополнения Aij в матрице A ∈ Mn(F ):1,...,ĵ,...,nAij = (−1)i+j Dn−1(M1,...,î,...,n (A)).(?) Dn — полилинейная функция строк матрицы;(?) Dn — кососимметрическая;(?) Dn — нормированная.(?) КососимметричностьПустьA1 ..  .  Ai  . . A= .

A  j ..  . Anпричем Ai = Aj при некоторых i < j.Тогда Ak1 = 0 при k 6= i, j — минор Mk1(A) содержит одинаковые строки.Сравним Ai1 и Aj1:a 11 a12 . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . ain Mi1(A) = . . .

. . . . . . . . . . . . . . .a j1 aj2 . . . ajn . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . anna 11 a12 . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . ain Mj1(A) = . . . . . . . . . . . . . . . . . .a j1 aj2 . . . ajn . . . .

. . . . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . annОдин получается из второго перестановкой строк j − i − 1 раз. ПоэтомуAi1 = (−1)i+1Mi1(A) = (−1)i+1(−1)j−i−1Mj1(A) = (−1)j Mj1(A) = −Aj1,Dn(A) =nXi=1ai1Ai1 = 0 + ai1Ai1 + 0 + aj1Aj1 + 0 = 0.(?) НормированностьDn(En) = 1 — очевидно индукцией по n:1 0 ... 00 1 . . . 0En = ...

0 0 ... 1D1(1) = 1 при n = 1,Dn(En) = 1 · Dn−1(En−1) + 0 = 18. Полугруппы и группыМы приступаем к систематическому изучению основных классовалгебраических систем, а именно, групп, колец и полей.Алгебраические системыАлгебраической операцией арности n на множестве A (n ∈ N)называется отображениеf : |A × ·{z· · × A} → AnНапример,n = 1, f : A → A — унарная операция;n = 2, f : A × A → A — бинарная операция, f (a, b) = a f b.Рассматриваются также 0-арные операции — константы из A.Алгебраической системой (алгеброй) называется непустое множество снабором алгебраических операций:(A; (fi)i∈I ),где A 6= ∅ — множество, fi — алгебраические операции на A арности ni.Набор арностей (ni)i∈I = {(ni, i) | i ∈ I} называется типомалгебраической системы.Примеры алгебраических систем• (N; +), (N; ·);• (Z; +, ·);• (F ; +, ·), F = Q, R, C;• (F \ {0}; ·);• (Mn(F ); +, ·).Пример (векторное пространство как алгебраическая система)F — поле (Q, R, C)V — векторное пространство над Fможно рассматривать как алгебраическую систему(V ; +, α̇, α ∈ F ),+ : V × V → V, α̇ : V → V — умножение на скаляр αПолугруппы: определение и примерыПолугруппой называется алгебраическая система (A; ∗) с однойбинарной операцией∗ : A × A → A,(a, b) 7→ a ∗ bудовлетворяющей аксиоме ассоциативности:a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c,a, b, c ∈ A.Еслиa∗b=b∗aдля всех a, b ∈ A, то полугруппа называется коммутативной.Примеры полугрупп:• Пусть V — векторное пространство,A = Hom(V, V )с операцией суперпозиции(ϕ ∗ ψ)(v) = ϕ(ψ(v)),v ∈ V,является полугруппой.• Пусть X 6= ∅ — множество,A = X∗ =с операцией конкатенации:[· · × X}|X × ·{znn≥1(x1, .

. . , xn) ◦ (y1, . . . , ym) = (x1, . . . , xn, y1, . . . , ym)является полугруппой.Гомоморфизмы алгебраических системПусть (A; ∗) и (B; ◦) — две полугруппы.Отображениеϕ:A→Bназывается гомоморфизмом полугрупп, еслиϕ(a ∗ b) = ϕ(a) ◦ ϕ(b),a, b ∈ A.Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом.Примеры(A; ∗)(B; ◦)ϕ(N, +)(R, +)(C, ·)(Mn(F ), ·)(Z, +)(R, ·)(R, ·)(F, ·)n 7→ nx 7→ exz 7→ |z|A 7→ det AОбобщение: если A = (A; (fi)i∈I ) и B = (B; (gi)i∈I ) — алг.системыодного типа (ni)i∈I , тоϕ:A→Bназывается гомоморфизмом системы A в систему B, еслиϕ(fi(a1, .

. . , ani )) = gi(ϕ(a1), . . . , ϕ(ani ))для всех i ∈ I, aj ∈ A.Пример (гомоморфизм векторных пространств над полем F )(V ; +, α̇, α ∈ F ),(W ; +, α̇, α ∈ F )ϕ : V → W является гомоморфизмом тогда и только тогда, когдаϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v),ϕ(αv) = ϕ(α̇(v)) = α̇(ϕ(v)) = αϕ(v)т.е. ϕ — линейное отображение.Изоморфизмом алгебраических систем A = (A; (fi)i∈I ) и B = (B; (gi)i∈I )называется биективный гомоморфизм A → B.Теорема (об обобщенной ассоциативности).Пусть (A; ∗) — полугруппа, X 6= ∅ — множество.

Тогда для любогоотображения α : X → A существует единственный гомоморфизм ϕполугруппы (X ∗; ◦) в (A; ∗) такой, что ϕ(x) = α(x) для всех x ∈ X.Здесь (X ∗; ◦) — полугруппа всех слов в алфавите X относительнооперации конкатенации слов)Доказательство.X∗ = X1 ∪ X2 ∪ . . . , Xn = X· · × X}.| × ·{znОпределим ϕ : X n → A индукцией по n.n = 1: X 1 = X, ϕ(x) = α(x), x ∈ X, — однозначно определено по условиютеоремы;n − 1 → n: Допустим, ϕ(v) задано для всех v ∈ X n−1.Рассмотрим u ∈ X n:u = (x1, . . . , xn) = (x1, . . .

, xn−1) ◦ xn = v ◦ xn,Положимϕ(u) = ϕ(v) ∗ α(xn).v = (x1, . . . , xn−1) ∈ X n−1Мы построили отображение X n → A для всех n ≥ 1, т.е. ϕ : X ∗ → A.Проверим, что построенное ϕ — гомоморфизм.Пусть u, v ∈ X ∗, u ∈ X n, v ∈ X m. Индукцией по m покажем, чтоϕ(u ◦ v) = ϕ(u) ∗ ϕ(v).m = 1: v = x ∈ X ⇒ ϕ(u ◦ v) = ϕ(u) ∗ α(x) = ϕ(u) ∗ ϕ(v) по определению ϕ;m − 1 → m: v = w ◦ x, w ∈ X m−1. По индукционному предположению,ϕ(u ◦ w) = ϕ(u) ∗ ϕ(w)Расмотримϕ(u ◦ v) = ϕ(u ◦ (w ◦ x)) = ϕ((u ◦ w) ◦ x) = ϕ(u ◦ w) ∗ α(x)= (ϕ(u) ∗ ϕ(w)) ∗ α(x) = ϕ(u) ∗ (ϕ(w) ∗ α(x)) = ϕ(u) ∗ ϕ(v)Убедимся, что ϕ — единственно.Допустим, есть два разных гомоморфизма ϕ1 6= ϕ2.По условию, ϕ1(x) = α(x) = ϕ2(x) для x ∈ X = X 1.Допустим, n — наименьшее число, при котором существует такоеu ∈ X n, чтоϕ1(u) 6= ϕ2(u).u = (x1, .

. . , xn), n > 1, ⇒ u = v ◦ xn, v ∈ X n−1.ϕ1(u) = ϕ1(v ◦ xn) = ϕ1(v) ∗ α(xn)с другой стороны,ϕ2(u) = ϕ2(v ◦ xn) = ϕ2(v) ∗ α(xn) = ϕ1(v) ∗ α(xn) = ϕ1(u)— противоречие.Группы: определение и примерыАлгебраическая система типа (2)G = (G; ·, −1);· : (a, b) 7→ abумножение элементов,называется группой, если:• a(bc) = (ab)c для всех a, b, c ∈ G;• Существует e ∈ G такой, что ea = ae = a для любого a ∈ G(единичный элемент)Легко видеть, что такой e единствен;• Для любого a ∈ G существует a−1 ∈ G такой, что aa−1 =a−1a = eЛегко видеть, что такой a−1 единствен.Если выполнено условие ab = ba для всех a, b ∈ G, то G называетсяабелевой группой.Примеры:• (Z; +) — аддитивная группа целых чисел (e = 0, x−1 = −x);• если F — поле, то (F ; +) — аддитивная группа поля F ;• если F — поле, то (F \ {0}; ·) — мультипликативная группаполя F ;• GLn(F ) = {A ∈ Mn(F ) | det A 6= 0},(GLn(F ); ·)— общая линейная группа пространства F n;• SLn(F ) = {A ∈ Mn(F ) | det A = 1},(SLn(F ); ·)— специальная линейная группа пространства F n;• On(F ) = {A ∈ Mn(F ) | AA⊺ = En},(On(F ); ·)— ортогональная группа пространства F n;Проверим, что On(F ) относительно умножения матриц и взятияобратной матрицы — действительно группа.Достаточно убедиться, что · и −1 — алгебраические операции на On(F ).(ассоциативность, существование единичного элемента и свойствообратного выполнены автоматически)A, B ∈ On(F ) ⇒ (AB)(AB)⊺ = ABB ⊺A⊺ = AEnA⊺ = En ⇒ AB ∈ On(F ).A ∈ On(F ) ⇒ AA⊺ = En ⇒ A⊺ — правая обратная к AМы знаем, что правая обратная равна левой обратной ⇒ A−1 = A⊺.Легко видеть, что A⊺(A⊺)⊺ = A⊺A = A−1A = En ⇒ A−1 ∈ On(F ).Упражнение.

Характеристики

Список файлов лекций