1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Тогда w1 = v1 + u1, w2 = v2 + u2, где u1, u2 ∈ U ,w1 + w2 = (v1 + u1) + (v2 + u2) = v1 + v2 + (u1 + u2).Поэтомуw1 + w2 = v1 + v2 .Умножение на скаляр: аналогично, только проще – упражнение.Проверим аксиомы в.п. для V /U с указанными операциями:• Ассоциативность сложения:ū + (v̄ + w̄) = ū + v + w = u + (v + w) = (u + v) + w = u + v + w̄= (ū + v̄) + w̄для любых ū, v̄, w̄ ∈ V /U ;• ū + v̄ = u + v = v + u = v̄ + ū для любых ū, v̄ ∈ V /U ;• существует 0̄ = 0 + U ∈ V /U такой, что 0̄ + ū = ū + 0̄ = ū длявсех ū ∈ V /U ;• для любого ū ∈ V /U существует −ū = −u ∈ V /U такой, что(−ū) + ū = ū + (−ū) = 0̄;• α(ū + v̄) = α(u + v) = α(u + v) = αu + αv = αu + αv = αū + αv̄,аналогично (α + β)ū = αū + βūдля любых ū, v̄ ∈ V /U , α, β ∈ F ;• (αβ)ū = α(βū) для любых ū ∈ V /U , α, β ∈ F ;• 1ū = ū для любого ū ∈ V /U .Построенное в.п.
V /U называется фактор-пространством в.п. V поподпространству U .4. Векторные пространства (продолжение)Напомним конструкцию фактор-пространстваV — в.п. над полем F , U ⊆ V — подпространство,V /U = {v̄ = v + U | v ∈ V }• v̄1 + v̄2 = v1 + v2,• αv̄ = αv,v1 , v2 ∈ V ;α ∈ F, v ∈ V .(?) U = V ⇐⇒ V /U = {0̄} — нулевое пространство.⇒ Для любого v ∈ V = Uv̄ = v + U = 0 + U = 0̄⇐ Для любого v ∈ Vv̄ = v + U = 0 + U = 0̄ ⇒ v ∈ U.Связь размерностей пространства, подпространстваи фактор-пространстваТеорема. Пусть V — в.п. над полем F , U — подпространство в.п.
V .Тогда(1) dim U ≤ dim V ;(2) dim U = dim V⇐⇒U =V;(3) любой базис u1, . . . , ur в.п. U можно дополнить до базисаu1, . . . , ur , v1, . . . , vs в.п. V , где s ≥ 0, причем s = 0 тогда итолько тогда, когда U = V .Доказательство.Из предложения о линейной зависимости в конечномерномпространстве следует, что подпространство конечномерногопространства само является конечномерным.Легко видеть, что (1) и (2) следуют из (3), поэтому достаточнодоказать (3).Рассмотрим фактор-пространство V /U .Случай 1:Если V /U = {0̄}, то V = U . В этом случае s = 0 и доказывать нечего.Случай 2:Если V /U 6= {0̄}, то у него есть непустой базис v̄1, . . . , v̄s ∈ V /U ,s = dim V /U ≥ 1.Пусть u1, . .
. , ur — базис U .Докажем, что u1, . . . , ur , v1, . . . , vs — базис V .(?) Линейная независимость: еслиα1u1 + · · · + αr ur + αr+1v1 + · · · + αr+svs = 0для некоторых αi ∈ F , тоαr+1v1 + · · · + αr+svs = −α1u1 − · · · − αr ur ∈ U⇓αr+1v̄1 + · · · + αr+sv̄s = 0̄в V /U⇓αr+1 = · · · = αr+s = 0⇓α 1 u1 + · · · + α r ur = 0⇓α1 = · · · = αr = 0в V(?) Полнота (L(u1, . . . , ur , v1, . . . , vs) = V )Рассмотрим произвольный v ∈ Vv̄ ∈ V /U ⇒ v̄ = α1v̄1 + · · · + αsv̄s для некоторых α1, . . . , αs ∈ FЗначит,v̄ = α1v1 + · · · + αsvs⇓v − (α1v1 + · · · + αsvs) = u ∈ U = L(u1, .
. . , ur )⇓v − α1v1 − · · · − αsvs = αs+1u1 + · · · + αr+sur⇓v = αs+1u1 + · · · + αr+sur + α1v1 + · · · + αsvsТаким образом, мы дополнили базис U до базиса V векторамиv1, . . . , vs, где s = dim V /U , причем s = 0 ⇐⇒ V = U .Следствие.dim V = dim U + dim V /U .Линейные отображенияПусть V, W — в.п. над полем FОпределение.
Отображение ϕ : V → W называется линейным, еслиϕ(αu + βv) = αϕ(u) + βϕ(v)для всех u, v ∈ V , α, β ∈ F .Биективное линейное отображение ϕ : V → W называетсяизоморфизмом векторных пространств V и W .Векторные пространства V и W изоморфны, если существует хоть одинизоморфизм ϕ : V → W .Обозначение: V ≃ WПростейшие свойства линейных отображенийϕ : V → W линейное отображение в.п.• ϕ(0) = 0;• ϕ(−v) = −ϕ(v);• ϕ(v1), . .
. , ϕ(vn) — линейно независимы ⇒ v1, . . . , vn — линейнонезависимы;• ϕ — изоморфизм ⇒ ϕ−1 : W → V — изоморфизм;• dim V = n ∈ N, ϕ : V → W — изоморфизм.Тогда dim V = dim W .Примеры изоморфных векторных пространств1. F n ≃ Fn:2. C ≃ R2 над F = R:ϕ : F n → Fn , a1 .. . 7→ (a1 . . . an)anϕ : C → R2 ,a + ib 7→ (a b)3. Mm,n(F ) ≃ Fmn ≃ F mnСуперпозиция линейных отображенийϕ : V → W , ψ : U → V отображенияОтображение ϕψ : U → W , определенное правиломϕψ(u) = ϕ(ψ(u)), u ∈ U ,называется суперпозицией отображений ϕ и ψ.• Суперпозиция линейных отображений — линейное отображение;• Суперпозиция изоморфизмов — изоморфизм.Примеры изоморфных векторных пространств1.
F n ≃ Fn:2. C ≃ R2 над F = R:ϕ : F n → Fn , a1 .. . 7→ (a1 . . . an)anϕ : C → R2 ,a + ib 7→3. Mm,n(F ) ≃ Fmn ≃ F mnab!Лемма. Пусть V — конечномерное в.п. над полем F , v1, . . . , vn ∈ V . Тогдадля любого v ∈ V существуетv1, . . . , vn — базис V⇐⇒ единственный набор α1, . . . , αn ∈ Fтакой, что v = α1v1 + · · · + αnvnТакие скаляры α1, . . . , αn называются координатами вектора v в базисеv1 , . . . , vn .Доказательство.Существование: v ∈ V = L(v1, . . .
, vn);Единственность: допустимv = α 1 v1 + · · · + α n vnv = α′1v1 + · · · + α′nvn)⇒ 0 = (α1 − α′1)v1 + · · · + (αn − α′n)vnлинейная независимость v1, . . . , vn ⇒ αi = α′i.Лемма. Пусть V — в.п. над F , dim V = n. Тогда V ≃ F n.Доказательство.Зафиксируем какой-нибудь базис v1, . . . , vn в.п. V и построимизоморфизм:ϕ : V → Fn α1 ..
v 7→ . ,αnгде α1, . . . , αn координаты вектора v в базисе v1, . . . , vn.Проверим линейность и биективность отображения ϕ.• Линейность:v = α 1 v1 + · · · + α n vnu = β1 v 1 + · · · + βn vn)⇒ αv+βu = (αα1+ββ1)v1+· · ·+(ααn+ββn)vnβ1α1αα1 + ββ1. .... = α .. + β ..
= αϕ(v) + βϕ(u).βnαnααn + ββnϕ(αv + βu) = • Инъективность:α1 ϕ(v) = ϕ(u) = ... ⇒ v = u = α1v1 + · · · + αnvn.αn• Сюръективность: очевидно.Теорема (изоморфизм в.п. одной размерности).Пусть V , W — конечномерные в.п. над полем F . Тогдаdim V = dim W ⇒ V ≃ WДоказательство.По леммеV ≃ F n,ϕ : V → F n,W ≃ Fn :ψ : W → Fn— изоморфизмы.Тогдаψ −1ϕ : V → Wсуперпозиция изоморфизмов – изоморфизм.Сумма и пересечение подпространствПусть V — в.п. над полем F ,U1, U2 — подпространства в.п.
V .Тогда• ПересечениеU1 ∩ U2 = {v ∈ V | v ∈ U1, v ∈ U2}— подпространство в.п. V ;• СуммаU1 + U2 = {v ∈ V | v = u1 + u2, u1 ∈ U1, u2 ∈ U2}— подпространство в.п. V .(!) Объединение U1 ∪ U2 не является, вообще говоря, подпространством.Простейшие свойства суммы и пересечения подпространствUi ⊆ V , i = 1, 2, 3, — подпространства в.п. V . Тогда• U1 ∩ (U2 ∩ U3) = (U1 ∩ U2) ∩ U3;• U1 + (U2 + U3) = (U1 + U2) + U3;• U1 ∩ U2 = U2 ∩ U1 ;• U1 + U2 = U2 + U1 ;• U1 ∩ U1 = U1 ;• U1 + U1 = U1 ;• U1 ∩ {0} = {0};• U1 + {0} = U1;• U1 ∩ V = U1 ;• U1 + V = V ;• U1 ⊆ U2 ⇐⇒ U1 ∩ U2 = U1;• U1 ⊆ U2 ⇐⇒ U1 + U2 = U2Упражнения.
Пусть U1, U2, U3 — подпространства некоторого в.п. V .1. Покажите, что если U1 ⊆ U2, тоU1 + (U2 ∩ U3) = U2 ∩ (U1 + U3)2. Верно ли, что для произвольных подпространств выполненоравенствоU1 ∩ (U2 + U3) = (U1 ∩ U2) + (U1 ∩ U3)?3. При каком условии на подпространства U1, U2 их объединениеU1 ∪ U2 тоже является подпространством?4. Векторные пространства (продолжение)Прямая сумма подпространствПусть V — в.п. над полем F , U1, .
. . , Un ⊆ V — подпространства в.п. V .ОбозначимU =nXUk = U1 + · · · + Unk=1Определение. Подпространство U называется прямой суммойподпространств U1, . . . , Un, еслиUk ∩ (U1 + · · · + Uk−1 + Uk+1 + · · · + Un) = {0}для любого k = 1, . . . , n.Обозначение: если сумма U =nPk=1Uk прямая, тоU = U1 ⊕ · · · ⊕ Un =nMUkk=1Предложение.
Пусть V — в.п. над полем F , U1, . . . , Un ⊆ V —подпространства в.п. V , и пусть U = U1 + · · · + Un.Тогда следующие условия эквивалентны:1. U =nLk=1Uk ;2. для любого u ∈ U существует единственный набор uk ∈ Uk ,k = 1, . . . , n, такой, что u = u1 + · · · + un;3. если u1 + · · · + un = 0 для uk ∈ Uk , то u1 = · · · = un = 0.Доказательство.1 ⇒ 2 Существование: по определению;Единственность:u = u1 + · · · + un = u′1 + · · · + u′n ⇒ 0 = (u1 − u′1) + · · · + (un − u′n)uk , u′k ∈ Uk .Допустим, существует j такое, что uj 6= u′j . Тогда0 6= u′j − uj = (u1 − u′1) + · · · + (uj−1 − u′j−1) + (uj+1 − u′j+1) + · · · + (un − u′n)Значит,0 6= u′j − uj ∈ Uj ∩ (U1 + · · · + Uj−1 + Uj+1 + · · · + Un)— противоречие.2 ⇒ 3 Тривиально.3 ⇒ 1 Допустим, для некоторого jUj ∩ (U1 + · · · + Uj−1 + Uj+1 + · · · + Un) 6= {0}.Тогда найдется0 6= uj = u1 + · · · + uj−1 + uj+1 + · · · + un,uk ∈ Uk , k = 1, .
. . , n.Следовательно,0 = u1 + · · · + uj−1 − uj + uj+1 + · · · + un— противоречие.Теорема.Пусть U1, U2 — конечномерные подпространства в.п. V над полем F .Тогдаdim(U1 + U2) = dim U1 + dim U2 − dim(U1 ∩ U2)Доказательство.u1, . . . , ur — базис U1 ∩ U2;U1 ∩ U2 ⊆ U1 ⇒ u1, . .
. , ur , v1, . . . , vs — базис U1;U1 ∩ U2 ⊆ U2 ⇒ u1, . . . , ur , w1, . . . , wt — базис U2;(?) u1, . . . , ur , v1, . . . , vs, w1, . . . , wt — базис U1 + U2.• Линейная независимость:допустим,α 1 u 1 + · · · + α r u r + β1 v 1 + · · · + βs v s + γ1 w 1 + · · · + γt w t = 0для некоторых αi, βj , γk ∈ F .Тогдаαu + ·{z· · + αr ur} + βv + ·{z· · + βsvs} = |−γ1w1 −{z· · · − γtw}t|1 1|1 1uvwu ∈ U1 ∩ U2 , v ∈ U1 , w ∈ U2 ,u + v = w ⇒ w ∈ U1 ∩ U2 = L(u1, . .
. , ur ) ⇒ v = 0 ⇒ все βj = 0.Следовательно,u = w ⇒ все αi = 0, γk = 0.• Полнота:Пусть v1 + v2 ∈ U1 + U2, v1 ∈ U1, v2 ∈ U2. Тогдаv 1 = α 1 u 1 + · · · + α r u r + β1 v1 + · · · + βs v sv2 = α′1u1 + · · · + α′r ur + γ1w1 + · · · + γtwtv1 + v2 = (α1 + α′1)u1 + · · · + (αr + α′r )ur + β1v1 + · · · + βsvs+ γ1 w 1 + · · · + γt w t .u1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
