1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 crkr . . .0 . . . . . . . . . . . .(C|D) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .0 .......................Напомним, что ciki 6= 0 для i = 1, . . . , r.• Шаг 3: Глядим на получившуюся матрицуЕсли dr+1 6= 0, то система, очевидно, несовместна.Если dr+1 = 0, то0d1d2...drdr+10 ... 0• Шаг 4: Выполняем «обратный ход» метода Гаусса00 ...0(C|D) = 00 ...0... 0c1k1 .

. . c1k2 . . . . . . . . .. . . . . . . . . 0 c2k2 . . . . . . . . .c1kr−1c2kr−1...d1...... ......d2 ... dr−1dr 0... ... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... 0... ... ...... ...cr−1 kr−1 . . . cr−1 kr . . .... ... ... ...0 crkr...... ... ...... ...... ...

... ...... ...0... ... ...... ...... ... ... ...... ......... ... ...... ...... ... ... ...... ...0По лемме, (C|D). . . c1kr. . . c2kr0(T |Q), где tikj = 0 при i 6= j (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , r)(A|B)(C|D)00 ...0(T |Q) = 00 ...0(T |Q),...

0t1k1 . . . 0... ... ... 0... ... ... 0t2k2 . . . . . . . . . 0... 0... 0q1...q2 ... qr−1qr 0... ... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... 0... ... ...... ...... ... ... ...0... ... ...... ...... ... ... ...... ... 0... ... ...... ...... ... ... ...... ...

...... ... ...... ...... ... ... ...... ... 0tjkj = cjkj 6= 0 для всех j = 1, . . . , r.... ... ...tr−1 kr−1 . . . 0......trkr . . .0Назовем неизвестные xk1 , xk2 , . . . , xkr главными,а все остальные — свободными.Φ = {j = 1, . . . , n | j 6= k1, j 6= k2, . . . , j 6= kr }— множество номеров свободных неизвестных.Назовем неизвестные xk1 , xk2 , . . .

, xkr главными,а все остальные — свободными.Φ = {j = 1, . . . , n | j 6= k1, j 6= k2, . . . , j 6= kr }— множество номеров свободных неизвестных.• Шаг 5: Находим общее решение.Запишем систему, соответствующую полученной матрице (T |Q)(«ступенчатую систему»)· · ·+ . . .+t1k1 xk1 +t2k2 xk2 + · · ·+. . .+ . . .+. . .+ . . .

=q1. . .+ . . .+. . .+ . . . =q2...tr−1 kr−1 xkr−1 + . . .+. . .+ . . . = qr−1trkr xkr + . . . =qrВ каждом уравнении встречается только одна главная неизвестная.i-е уравнение ступенчатой системы имеет видtiki xki +Xtij xj = qi,i = 1, . . . , r.j∈ΦВыразим xki через свободные неизвестные:X1 xk i =qi −tij xj  ,tikij∈Φ— общее решение исходной системы.i = 1, .

. . , r(∗)Присвоим свободным неизвестным произвольные значения из F :xj = zj ∈ F , j ∈ Φ,и найдем значения всех главных неизвестных из (∗):X1 qi −tij zj  ,xk i = z k i =tikij∈Φi = 1, . . . , r(?) Полученный набор (z1, . . . , zn) является решением исходной системыДа: все уравнения ступенчатой системы выполненыпри x1 = z1,. . . , xn = zn, а исходная и ступенчатая системы эквивалентны.(?) Любое решение исходной системы получается приведенным вышеспособомДа: допустим, (z1, . .

. , zn) — некоторое решение исходной системы.Тогда (z1, . . . , zn) — решение ступенчатой системы,и поэтому значения xj = zj , j ∈ Φ, и xki = zki , i = 1, . . . , r, связанысоотношением (∗).Непосредственным следствием алгоритма являетсяТеорема 2. Если в совместной системе r = n, то решение единственно(система является определенной).Если в совместной системе r < n, то решение не единственно (системаявляется неопределенной).Пример.Исследовать на совместность и найти общее решение системы− x3 + 2x4 = 3 2x1−x1 + 6x2 − 7x3 − x4 = 6 x− 2x2 + 2x3 + x4 = −11Записываем расширенную матрицу20 −1 2−1 6 −7 −11 −2 2136 −1Приводим к ступенчатому виду э.п.

строк(1)20 −1 2−1 6 −7 −11 −2 21(1) + 2(2) :(2)(2) + (3) :∗∗∗перестановка строк:∗∗∗36 −10 12 −15 0−7 −1−1 61 −2210 12 −15 04−5 01 −22101 −221−5 00 40 12 −15 0−15 15155 −1156 −1(3)(3) − 3(2) :∗∗∗Система совместная, неопределенная;x1, x2 — главные, x3, x4 — свободные.(1)1(1) + (2) :21 −2 2 14 −5 00 00 00Запишем ступенчатую систему:(x1x1 =1 −2 2 14 −5 00 00 00−15 0x2 =−15 01 0 −1/2 1−5 00 0000 41x3− 23 + x4 = 24x2 − 5x3= 531+ x3 − x4 ,221(5 + 5x3)43/25 0Пример.Решить системуx1 − x2 − 2x3 = −32x− x3 = 012x1 + 3x2 + x3 = −13x1 + x2= 3Записываем расширенную матрицу1 −1 −2 −32 0 −1 0 2 31 −13 103Приводим к ступенчатому виду э.п.

строк:1 −1 −2 −32 0 −1 0 2 31 −13 1031 −10 20 50 41 −1 −2 −30 236 2 31 −13 103−2 −31 −10 236 0 555 6 120 01 −1 −20 230 553 10−2 −31036 055 000−36 5 3−1520−2 −355 36 001 −1 −2 −30 555 0 014 0 000Система совместная и определенная: все неизвестные — главные.1 −1 050 5 0 −150 0 14 0 0 001 −1 −2 −30 555 0 014 0 000Ступенчатая система:x 1=5x210002= −15x3 =4x1 = 2 ⇒ x2 = −3 ⇒ x3 = 40500020 −1514 003. Алгебра матрицНапомним, что a11 .

. . a1nMm,n(F ) = . . . . . . . . . . . . . . | aij ∈ F, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n a...amnm1— множество всех матриц размера m × n над полем F(F = Q, R, C, . . . )Определим алгебраические операции над матрицами.• Сложение: A, B ∈ Mm,n(F ) ⇒ A + B ∈ Mm,n(F )a11 . . .

a1na11 + b11 . . . a1n + b1nb11 . . . b1n  . . . . . . . . . . . . . .  + . . . . . . . . . . . . . .  =  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. . . amna+ bm1 . . . amn + bmnb. . . bmn| m1 {z| m1} | m1 {z}{z}ABA+B• Умножение на элемент из F (скаляр): A ∈ Mm,n(F ), α ∈ F ⇒αA ∈ Mm,n(F )a11 . . . a1nαa11 .

. . αa1nα . . . . . . . . . . . . . .  =  . . . . . . . . . . . . . . . . . a. . . amnαam1 . . . αamn| m1 {z}{z}|AαAСвойства сложения и умножения на скаляр(A, B, C ∈ Mm,n(F ), α, β ∈ F ):• Ассоциативность сложения матриц:A + (B + C) = (A + B) + C;• Коммутативность сложения матриц:A + B = B + A;• Существование нуля (нейтральной по сложению матрицы)0 ∈ Mm,n(F ):0 + A = A + 0 = A;• Существование противоположной матрицы −A ∈ Mm,n(F ):(−A) + A = A + (−A) = 0;• Дистрибутивность умножения на скаляр:α(A + B) = αA + αB, (α + β)A = αA + βA;• Ассоциативность умножения на скаляр:(αβ)A = α(βA);• Унитальность: 1A = A.• Транспонирование: A ∈ Mm,n(F ) ⇒ A⊺ ∈ Mn,m(F )a11 .

. . a1na11 . . . am1A = . . . . . . . . . . . . . . 7→ A⊺ = . . . . . . . . . . . . . .am1 . . . amna1n . . . amnСвойства транспонирования (A, B ∈ Mm,n(F ), α ∈ F ):• (A + B)⊺ = A⊺ + B ⊺;• (αA)⊺ = αA⊺;• (A⊺)⊺ = A.Умножение матриц.Мотивация: суперпозиция линейных замен.Пусть (x1, . . . , xm), (y1, .

. . , yn), (z1, . . . , zk ) — наборы переменных,причемx = a11y1 + · · · + a1nyn 1...y = b11z1 + · · · + b1k zk 1...yn = bn1z1 + · · · + bnk zkxm = am1y1 + · · · + amnynдля некоторых коэффициентов aij , bjs ∈ F(i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, s = 1, . . . , k).(?) Как выразить (x1, . . . , xm) через (z1, .

. . , zk )xi =nXj=1aij yj ,yj =kXs=1bjszsxi =nXaij kXbjszss=1j=1nkXX=aij bjszsj=1 s=1= ai1b11z1 +ai1b12z2 + . . . +ai1b1k zk+ ai2b21z1 +ai2b22z2 + . . . +ai2b2k zk+ ai3b31z1 +ai3b32z2 + . . . +ai3b3k zk............+ ainbn1z1 +ainbn2z2 + . . . +ainbnk zk nkX Xaij bjs zs=s=1 j=1{z}|cisТаким образом,xi =kXs=1ciszs,cis =nXj=1aij bjs(x1, . . .

, xm)←−A∈Mm,n (F )(y1, . . . , yn)a11 . . . a1nA = . . . . . . . . . . . . . .am1 . . . amn←−B∈Mn,k (F )(z1, . . . , zk )b11 . . . b1kB = . . . . . . . . . . . . .bn1 . . . bnk(x1, . . . , xm)←−C∈Mm,k (F )(z1, . . . , zk )c11 . . . c1kC = . . .

. . . . . . . . . .cm1 . . . cmkгдеcis =nXj=1aij bjs,i = 1, . . . , m, s = 1, . . . , k• Правило умножения матриц («строка на столбец»):a11 a12 . . . a1na 21 a22 . . . a2n A=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b11 b12 . . . b1kb 21 b22 . . . b2k B=. . . . . . . . . . . . .

. . . . .am1 am2 . . . amnbn1 bn2 . . . bnk⇓a11b11 + a12b21 + · · · + a1nbn1 . . . a11b1k + a12b2k + · · · + a1nbnk a b 21 11 + a22b21 + · · · + a2nbn1 . . . a21b1k + a22b2k + · · · + a2nbnk AB =  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1b11 + am2b21 + · · · + amnbn1 . . . am1b1k + am2b2k + · · · + amnbnk−1 0 Пример. A = 1 2 −i 3 ∈ M1,4(C), B =   ∈ M4,1(C) i 1−1 0 AB = 1 2 −i 3   = 1·(−1)+2·0−i·i+3·1 = −1+1+3 = 3 ∈ M1,1(C) i 1−1−1 −2 i −30 0 0  ∈ M4,4(C)2i 1 3i 12 −i 3 0 0 BA =   1 2 −i 3 =  i i 1(!) Произведение матриц определяется только тогда, когда число столбцовпервой матрицы равно числу строк второйMm,n(F ) × Mn,k (F ) → Mm,k (F )(A, B) 7→ C = ABНапример, систему линейных уравненийa11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1, a x + a x + · · · + a xn = b ,21 122 22n2...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bmможно записать в матричной форме:AX = B,a11 a12 . .

. a1na 21 a22 . . . a2n где A =  ∈ Mm,n(F ) — матрица системы,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn(∗)b1b  B =  ..2  ∈ Mm,1(F ) — столбец свободных членов, . bmx1x  X =  ..2  — столбец неизвестных. . xnЗадача решения системы = найти множество всех X ∈ Mn,1(F ), длякоторых выполнено равенство (∗).Теорема (свойства умножения матриц).• АссоциативностьA(BC) = (AB)C,A ∈ Mm,n(F ), B ∈ Mn,k (F ), C ∈ Mk,q (F );• Левая дистрибутивностьA(B + C) = AB + AC,A ∈ Mm,n(F ), B, C ∈ Mn,k (F );• Правая дистрибутивность(A + B)C = AC + BC,A, B ∈ Mm,n(F ), C ∈ Mn,k (F );• (αA)B = α(AB) = A(αB),A ∈ Mm,n(F ), B ∈ Mn,k (F ), α ∈ F .Доказательство.

Характеристики

Список файлов лекций