1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 crkr . . .0 . . . . . . . . . . . .(C|D) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .0 .......................Напомним, что ciki 6= 0 для i = 1, . . . , r.• Шаг 3: Глядим на получившуюся матрицуЕсли dr+1 6= 0, то система, очевидно, несовместна.Если dr+1 = 0, то0d1d2...drdr+10 ... 0• Шаг 4: Выполняем «обратный ход» метода Гаусса00 ...0(C|D) = 00 ...0... 0c1k1 .
. . c1k2 . . . . . . . . .. . . . . . . . . 0 c2k2 . . . . . . . . .c1kr−1c2kr−1...d1...... ......d2 ... dr−1dr 0... ... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... 0... ... ...... ...cr−1 kr−1 . . . cr−1 kr . . .... ... ... ...0 crkr...... ... ...... ...... ...
... ...... ...0... ... ...... ...... ... ... ...... ......... ... ...... ...... ... ... ...... ...0По лемме, (C|D). . . c1kr. . . c2kr0(T |Q), где tikj = 0 при i 6= j (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , r)(A|B)(C|D)00 ...0(T |Q) = 00 ...0(T |Q),...
0t1k1 . . . 0... ... ... 0... ... ... 0t2k2 . . . . . . . . . 0... 0... 0q1...q2 ... qr−1qr 0... ... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... 0... ... ...... ...... ... ... ...0... ... ...... ...... ... ... ...... ... 0... ... ...... ...... ... ... ...... ...
...... ... ...... ...... ... ... ...... ... 0tjkj = cjkj 6= 0 для всех j = 1, . . . , r.... ... ...tr−1 kr−1 . . . 0......trkr . . .0Назовем неизвестные xk1 , xk2 , . . . , xkr главными,а все остальные — свободными.Φ = {j = 1, . . . , n | j 6= k1, j 6= k2, . . . , j 6= kr }— множество номеров свободных неизвестных.Назовем неизвестные xk1 , xk2 , . . .
, xkr главными,а все остальные — свободными.Φ = {j = 1, . . . , n | j 6= k1, j 6= k2, . . . , j 6= kr }— множество номеров свободных неизвестных.• Шаг 5: Находим общее решение.Запишем систему, соответствующую полученной матрице (T |Q)(«ступенчатую систему»)· · ·+ . . .+t1k1 xk1 +t2k2 xk2 + · · ·+. . .+ . . .+. . .+ . . .
=q1. . .+ . . .+. . .+ . . . =q2...tr−1 kr−1 xkr−1 + . . .+. . .+ . . . = qr−1trkr xkr + . . . =qrВ каждом уравнении встречается только одна главная неизвестная.i-е уравнение ступенчатой системы имеет видtiki xki +Xtij xj = qi,i = 1, . . . , r.j∈ΦВыразим xki через свободные неизвестные:X1 xk i =qi −tij xj ,tikij∈Φ— общее решение исходной системы.i = 1, .
. . , r(∗)Присвоим свободным неизвестным произвольные значения из F :xj = zj ∈ F , j ∈ Φ,и найдем значения всех главных неизвестных из (∗):X1 qi −tij zj ,xk i = z k i =tikij∈Φi = 1, . . . , r(?) Полученный набор (z1, . . . , zn) является решением исходной системыДа: все уравнения ступенчатой системы выполненыпри x1 = z1,. . . , xn = zn, а исходная и ступенчатая системы эквивалентны.(?) Любое решение исходной системы получается приведенным вышеспособомДа: допустим, (z1, . .
. , zn) — некоторое решение исходной системы.Тогда (z1, . . . , zn) — решение ступенчатой системы,и поэтому значения xj = zj , j ∈ Φ, и xki = zki , i = 1, . . . , r, связанысоотношением (∗).Непосредственным следствием алгоритма являетсяТеорема 2. Если в совместной системе r = n, то решение единственно(система является определенной).Если в совместной системе r < n, то решение не единственно (системаявляется неопределенной).Пример.Исследовать на совместность и найти общее решение системы− x3 + 2x4 = 3 2x1−x1 + 6x2 − 7x3 − x4 = 6 x− 2x2 + 2x3 + x4 = −11Записываем расширенную матрицу20 −1 2−1 6 −7 −11 −2 2136 −1Приводим к ступенчатому виду э.п.
строк(1)20 −1 2−1 6 −7 −11 −2 21(1) + 2(2) :(2)(2) + (3) :∗∗∗перестановка строк:∗∗∗36 −10 12 −15 0−7 −1−1 61 −2210 12 −15 04−5 01 −22101 −221−5 00 40 12 −15 0−15 15155 −1156 −1(3)(3) − 3(2) :∗∗∗Система совместная, неопределенная;x1, x2 — главные, x3, x4 — свободные.(1)1(1) + (2) :21 −2 2 14 −5 00 00 00Запишем ступенчатую систему:(x1x1 =1 −2 2 14 −5 00 00 00−15 0x2 =−15 01 0 −1/2 1−5 00 0000 41x3− 23 + x4 = 24x2 − 5x3= 531+ x3 − x4 ,221(5 + 5x3)43/25 0Пример.Решить системуx1 − x2 − 2x3 = −32x− x3 = 012x1 + 3x2 + x3 = −13x1 + x2= 3Записываем расширенную матрицу1 −1 −2 −32 0 −1 0 2 31 −13 103Приводим к ступенчатому виду э.п.
строк:1 −1 −2 −32 0 −1 0 2 31 −13 1031 −10 20 50 41 −1 −2 −30 236 2 31 −13 103−2 −31 −10 236 0 555 6 120 01 −1 −20 230 553 10−2 −31036 055 000−36 5 3−1520−2 −355 36 001 −1 −2 −30 555 0 014 0 000Система совместная и определенная: все неизвестные — главные.1 −1 050 5 0 −150 0 14 0 0 001 −1 −2 −30 555 0 014 0 000Ступенчатая система:x 1=5x210002= −15x3 =4x1 = 2 ⇒ x2 = −3 ⇒ x3 = 40500020 −1514 003. Алгебра матрицНапомним, что a11 .
. . a1nMm,n(F ) = . . . . . . . . . . . . . . | aij ∈ F, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n a...amnm1— множество всех матриц размера m × n над полем F(F = Q, R, C, . . . )Определим алгебраические операции над матрицами.• Сложение: A, B ∈ Mm,n(F ) ⇒ A + B ∈ Mm,n(F )a11 . . .
a1na11 + b11 . . . a1n + b1nb11 . . . b1n . . . . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. . . amna+ bm1 . . . amn + bmnb. . . bmn| m1 {z| m1} | m1 {z}{z}ABA+B• Умножение на элемент из F (скаляр): A ∈ Mm,n(F ), α ∈ F ⇒αA ∈ Mm,n(F )a11 . . . a1nαa11 .
. . αa1nα . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . a. . . amnαam1 . . . αamn| m1 {z}{z}|AαAСвойства сложения и умножения на скаляр(A, B, C ∈ Mm,n(F ), α, β ∈ F ):• Ассоциативность сложения матриц:A + (B + C) = (A + B) + C;• Коммутативность сложения матриц:A + B = B + A;• Существование нуля (нейтральной по сложению матрицы)0 ∈ Mm,n(F ):0 + A = A + 0 = A;• Существование противоположной матрицы −A ∈ Mm,n(F ):(−A) + A = A + (−A) = 0;• Дистрибутивность умножения на скаляр:α(A + B) = αA + αB, (α + β)A = αA + βA;• Ассоциативность умножения на скаляр:(αβ)A = α(βA);• Унитальность: 1A = A.• Транспонирование: A ∈ Mm,n(F ) ⇒ A⊺ ∈ Mn,m(F )a11 .
. . a1na11 . . . am1A = . . . . . . . . . . . . . . 7→ A⊺ = . . . . . . . . . . . . . .am1 . . . amna1n . . . amnСвойства транспонирования (A, B ∈ Mm,n(F ), α ∈ F ):• (A + B)⊺ = A⊺ + B ⊺;• (αA)⊺ = αA⊺;• (A⊺)⊺ = A.Умножение матриц.Мотивация: суперпозиция линейных замен.Пусть (x1, . . . , xm), (y1, .
. . , yn), (z1, . . . , zk ) — наборы переменных,причемx = a11y1 + · · · + a1nyn 1...y = b11z1 + · · · + b1k zk 1...yn = bn1z1 + · · · + bnk zkxm = am1y1 + · · · + amnynдля некоторых коэффициентов aij , bjs ∈ F(i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, s = 1, . . . , k).(?) Как выразить (x1, . . . , xm) через (z1, .
. . , zk )xi =nXj=1aij yj ,yj =kXs=1bjszsxi =nXaij kXbjszss=1j=1nkXX=aij bjszsj=1 s=1= ai1b11z1 +ai1b12z2 + . . . +ai1b1k zk+ ai2b21z1 +ai2b22z2 + . . . +ai2b2k zk+ ai3b31z1 +ai3b32z2 + . . . +ai3b3k zk............+ ainbn1z1 +ainbn2z2 + . . . +ainbnk zk nkX Xaij bjs zs=s=1 j=1{z}|cisТаким образом,xi =kXs=1ciszs,cis =nXj=1aij bjs(x1, . . .
, xm)←−A∈Mm,n (F )(y1, . . . , yn)a11 . . . a1nA = . . . . . . . . . . . . . .am1 . . . amn←−B∈Mn,k (F )(z1, . . . , zk )b11 . . . b1kB = . . . . . . . . . . . . .bn1 . . . bnk(x1, . . . , xm)←−C∈Mm,k (F )(z1, . . . , zk )c11 . . . c1kC = . . .
. . . . . . . . . .cm1 . . . cmkгдеcis =nXj=1aij bjs,i = 1, . . . , m, s = 1, . . . , k• Правило умножения матриц («строка на столбец»):a11 a12 . . . a1na 21 a22 . . . a2n A=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b11 b12 . . . b1kb 21 b22 . . . b2k B=. . . . . . . . . . . . .
. . . . .am1 am2 . . . amnbn1 bn2 . . . bnk⇓a11b11 + a12b21 + · · · + a1nbn1 . . . a11b1k + a12b2k + · · · + a1nbnk a b 21 11 + a22b21 + · · · + a2nbn1 . . . a21b1k + a22b2k + · · · + a2nbnk AB = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1b11 + am2b21 + · · · + amnbn1 . . . am1b1k + am2b2k + · · · + amnbnk−1 0 Пример. A = 1 2 −i 3 ∈ M1,4(C), B = ∈ M4,1(C) i 1−1 0 AB = 1 2 −i 3 = 1·(−1)+2·0−i·i+3·1 = −1+1+3 = 3 ∈ M1,1(C) i 1−1−1 −2 i −30 0 0 ∈ M4,4(C)2i 1 3i 12 −i 3 0 0 BA = 1 2 −i 3 = i i 1(!) Произведение матриц определяется только тогда, когда число столбцовпервой матрицы равно числу строк второйMm,n(F ) × Mn,k (F ) → Mm,k (F )(A, B) 7→ C = ABНапример, систему линейных уравненийa11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1, a x + a x + · · · + a xn = b ,21 122 22n2...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bmможно записать в матричной форме:AX = B,a11 a12 . .
. a1na 21 a22 . . . a2n где A = ∈ Mm,n(F ) — матрица системы,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn(∗)b1b B = ..2 ∈ Mm,1(F ) — столбец свободных членов, . bmx1x X = ..2 — столбец неизвестных. . xnЗадача решения системы = найти множество всех X ∈ Mn,1(F ), длякоторых выполнено равенство (∗).Теорема (свойства умножения матриц).• АссоциативностьA(BC) = (AB)C,A ∈ Mm,n(F ), B ∈ Mn,k (F ), C ∈ Mk,q (F );• Левая дистрибутивностьA(B + C) = AB + AC,A ∈ Mm,n(F ), B, C ∈ Mn,k (F );• Правая дистрибутивность(A + B)C = AC + BC,A, B ∈ Mm,n(F ), C ∈ Mn,k (F );• (αA)B = α(AB) = A(αB),A ∈ Mm,n(F ), B ∈ Mn,k (F ), α ∈ F .Доказательство.