Главная » Просмотр файлов » 1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436

1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186), страница 3

Файл №824186 1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (2014 Лекции Колесников) 3 страница1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186) страница 32021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 crkr . . .0 . . . . . . . . . . . .(C|D) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .0 .......................Напомним, что ciki 6= 0 для i = 1, . . . , r.• Шаг 3: Глядим на получившуюся матрицуЕсли dr+1 6= 0, то система, очевидно, несовместна.Если dr+1 = 0, то0d1d2...drdr+10 ... 0• Шаг 4: Выполняем «обратный ход» метода Гаусса00 ...0(C|D) = 00 ...0... 0c1k1 .

. . c1k2 . . . . . . . . .. . . . . . . . . 0 c2k2 . . . . . . . . .c1kr−1c2kr−1...d1...... ......d2 ... dr−1dr 0... ... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... 0... ... ...... ...cr−1 kr−1 . . . cr−1 kr . . .... ... ... ...0 crkr...... ... ...... ...... ...

... ...... ...0... ... ...... ...... ... ... ...... ......... ... ...... ...... ... ... ...... ...0По лемме, (C|D). . . c1kr. . . c2kr0(T |Q), где tikj = 0 при i 6= j (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , r)(A|B)(C|D)00 ...0(T |Q) = 00 ...0(T |Q),...

0t1k1 . . . 0... ... ... 0... ... ... 0t2k2 . . . . . . . . . 0... 0... 0q1...q2 ... qr−1qr 0... ... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... 0... ... ...... ...... ... ... ...0... ... ...... ...... ... ... ...... ... 0... ... ...... ...... ... ... ...... ...

...... ... ...... ...... ... ... ...... ... 0tjkj = cjkj 6= 0 для всех j = 1, . . . , r.... ... ...tr−1 kr−1 . . . 0......trkr . . .0Назовем неизвестные xk1 , xk2 , . . . , xkr главными,а все остальные — свободными.Φ = {j = 1, . . . , n | j 6= k1, j 6= k2, . . . , j 6= kr }— множество номеров свободных неизвестных.Назовем неизвестные xk1 , xk2 , . . .

, xkr главными,а все остальные — свободными.Φ = {j = 1, . . . , n | j 6= k1, j 6= k2, . . . , j 6= kr }— множество номеров свободных неизвестных.• Шаг 5: Находим общее решение.Запишем систему, соответствующую полученной матрице (T |Q)(«ступенчатую систему»)· · ·+ . . .+t1k1 xk1 +t2k2 xk2 + · · ·+. . .+ . . .+. . .+ . . .

=q1. . .+ . . .+. . .+ . . . =q2...tr−1 kr−1 xkr−1 + . . .+. . .+ . . . = qr−1trkr xkr + . . . =qrВ каждом уравнении встречается только одна главная неизвестная.i-е уравнение ступенчатой системы имеет видtiki xki +Xtij xj = qi,i = 1, . . . , r.j∈ΦВыразим xki через свободные неизвестные:X1 xk i =qi −tij xj  ,tikij∈Φ— общее решение исходной системы.i = 1, .

. . , r(∗)Присвоим свободным неизвестным произвольные значения из F :xj = zj ∈ F , j ∈ Φ,и найдем значения всех главных неизвестных из (∗):X1 qi −tij zj  ,xk i = z k i =tikij∈Φi = 1, . . . , r(?) Полученный набор (z1, . . . , zn) является решением исходной системыДа: все уравнения ступенчатой системы выполненыпри x1 = z1,. . . , xn = zn, а исходная и ступенчатая системы эквивалентны.(?) Любое решение исходной системы получается приведенным вышеспособомДа: допустим, (z1, . .

. , zn) — некоторое решение исходной системы.Тогда (z1, . . . , zn) — решение ступенчатой системы,и поэтому значения xj = zj , j ∈ Φ, и xki = zki , i = 1, . . . , r, связанысоотношением (∗).Непосредственным следствием алгоритма являетсяТеорема 2. Если в совместной системе r = n, то решение единственно(система является определенной).Если в совместной системе r < n, то решение не единственно (системаявляется неопределенной).Пример.Исследовать на совместность и найти общее решение системы− x3 + 2x4 = 3 2x1−x1 + 6x2 − 7x3 − x4 = 6 x− 2x2 + 2x3 + x4 = −11Записываем расширенную матрицу20 −1 2−1 6 −7 −11 −2 2136 −1Приводим к ступенчатому виду э.п.

строк(1)20 −1 2−1 6 −7 −11 −2 21(1) + 2(2) :(2)(2) + (3) :∗∗∗перестановка строк:∗∗∗36 −10 12 −15 0−7 −1−1 61 −2210 12 −15 04−5 01 −22101 −221−5 00 40 12 −15 0−15 15155 −1156 −1(3)(3) − 3(2) :∗∗∗Система совместная, неопределенная;x1, x2 — главные, x3, x4 — свободные.(1)1(1) + (2) :21 −2 2 14 −5 00 00 00Запишем ступенчатую систему:(x1x1 =1 −2 2 14 −5 00 00 00−15 0x2 =−15 01 0 −1/2 1−5 00 0000 41x3− 23 + x4 = 24x2 − 5x3= 531+ x3 − x4 ,221(5 + 5x3)43/25 0Пример.Решить системуx1 − x2 − 2x3 = −32x− x3 = 012x1 + 3x2 + x3 = −13x1 + x2= 3Записываем расширенную матрицу1 −1 −2 −32 0 −1 0 2 31 −13 103Приводим к ступенчатому виду э.п.

строк:1 −1 −2 −32 0 −1 0 2 31 −13 1031 −10 20 50 41 −1 −2 −30 236 2 31 −13 103−2 −31 −10 236 0 555 6 120 01 −1 −20 230 553 10−2 −31036 055 000−36 5 3−1520−2 −355 36 001 −1 −2 −30 555 0 014 0 000Система совместная и определенная: все неизвестные — главные.1 −1 050 5 0 −150 0 14 0 0 001 −1 −2 −30 555 0 014 0 000Ступенчатая система:x 1=5x210002= −15x3 =4x1 = 2 ⇒ x2 = −3 ⇒ x3 = 40500020 −1514 003. Алгебра матрицНапомним, что a11 .

. . a1nMm,n(F ) = . . . . . . . . . . . . . . | aij ∈ F, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n a...amnm1— множество всех матриц размера m × n над полем F(F = Q, R, C, . . . )Определим алгебраические операции над матрицами.• Сложение: A, B ∈ Mm,n(F ) ⇒ A + B ∈ Mm,n(F )a11 . . .

a1na11 + b11 . . . a1n + b1nb11 . . . b1n  . . . . . . . . . . . . . .  + . . . . . . . . . . . . . .  =  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. . . amna+ bm1 . . . amn + bmnb. . . bmn| m1 {z| m1} | m1 {z}{z}ABA+B• Умножение на элемент из F (скаляр): A ∈ Mm,n(F ), α ∈ F ⇒αA ∈ Mm,n(F )a11 . . . a1nαa11 .

. . αa1nα . . . . . . . . . . . . . .  =  . . . . . . . . . . . . . . . . . a. . . amnαam1 . . . αamn| m1 {z}{z}|AαAСвойства сложения и умножения на скаляр(A, B, C ∈ Mm,n(F ), α, β ∈ F ):• Ассоциативность сложения матриц:A + (B + C) = (A + B) + C;• Коммутативность сложения матриц:A + B = B + A;• Существование нуля (нейтральной по сложению матрицы)0 ∈ Mm,n(F ):0 + A = A + 0 = A;• Существование противоположной матрицы −A ∈ Mm,n(F ):(−A) + A = A + (−A) = 0;• Дистрибутивность умножения на скаляр:α(A + B) = αA + αB, (α + β)A = αA + βA;• Ассоциативность умножения на скаляр:(αβ)A = α(βA);• Унитальность: 1A = A.• Транспонирование: A ∈ Mm,n(F ) ⇒ A⊺ ∈ Mn,m(F )a11 .

. . a1na11 . . . am1A = . . . . . . . . . . . . . . 7→ A⊺ = . . . . . . . . . . . . . .am1 . . . amna1n . . . amnСвойства транспонирования (A, B ∈ Mm,n(F ), α ∈ F ):• (A + B)⊺ = A⊺ + B ⊺;• (αA)⊺ = αA⊺;• (A⊺)⊺ = A.Умножение матриц.Мотивация: суперпозиция линейных замен.Пусть (x1, . . . , xm), (y1, .

. . , yn), (z1, . . . , zk ) — наборы переменных,причемx = a11y1 + · · · + a1nyn 1...y = b11z1 + · · · + b1k zk 1...yn = bn1z1 + · · · + bnk zkxm = am1y1 + · · · + amnynдля некоторых коэффициентов aij , bjs ∈ F(i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, s = 1, . . . , k).(?) Как выразить (x1, . . . , xm) через (z1, .

. . , zk )xi =nXj=1aij yj ,yj =kXs=1bjszsxi =nXaij kXbjszss=1j=1nkXX=aij bjszsj=1 s=1= ai1b11z1 +ai1b12z2 + . . . +ai1b1k zk+ ai2b21z1 +ai2b22z2 + . . . +ai2b2k zk+ ai3b31z1 +ai3b32z2 + . . . +ai3b3k zk............+ ainbn1z1 +ainbn2z2 + . . . +ainbnk zk nkX Xaij bjs zs=s=1 j=1{z}|cisТаким образом,xi =kXs=1ciszs,cis =nXj=1aij bjs(x1, . . .

, xm)←−A∈Mm,n (F )(y1, . . . , yn)a11 . . . a1nA = . . . . . . . . . . . . . .am1 . . . amn←−B∈Mn,k (F )(z1, . . . , zk )b11 . . . b1kB = . . . . . . . . . . . . .bn1 . . . bnk(x1, . . . , xm)←−C∈Mm,k (F )(z1, . . . , zk )c11 . . . c1kC = . . .

. . . . . . . . . .cm1 . . . cmkгдеcis =nXj=1aij bjs,i = 1, . . . , m, s = 1, . . . , k• Правило умножения матриц («строка на столбец»):a11 a12 . . . a1na 21 a22 . . . a2n A=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b11 b12 . . . b1kb 21 b22 . . . b2k B=. . . . . . . . . . . . .

. . . . .am1 am2 . . . amnbn1 bn2 . . . bnk⇓a11b11 + a12b21 + · · · + a1nbn1 . . . a11b1k + a12b2k + · · · + a1nbnk a b 21 11 + a22b21 + · · · + a2nbn1 . . . a21b1k + a22b2k + · · · + a2nbnk AB =  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1b11 + am2b21 + · · · + amnbn1 . . . am1b1k + am2b2k + · · · + amnbnk−1 0 Пример. A = 1 2 −i 3 ∈ M1,4(C), B =   ∈ M4,1(C) i 1−1 0 AB = 1 2 −i 3   = 1·(−1)+2·0−i·i+3·1 = −1+1+3 = 3 ∈ M1,1(C) i 1−1−1 −2 i −30 0 0  ∈ M4,4(C)2i 1 3i 12 −i 3 0 0 BA =   1 2 −i 3 =  i i 1(!) Произведение матриц определяется только тогда, когда число столбцовпервой матрицы равно числу строк второйMm,n(F ) × Mn,k (F ) → Mm,k (F )(A, B) 7→ C = ABНапример, систему линейных уравненийa11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1, a x + a x + · · · + a xn = b ,21 122 22n2...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bmможно записать в матричной форме:AX = B,a11 a12 . .

. a1na 21 a22 . . . a2n где A =  ∈ Mm,n(F ) — матрица системы,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn(∗)b1b  B =  ..2  ∈ Mm,1(F ) — столбец свободных членов, . bmx1x  X =  ..2  — столбец неизвестных. . xnЗадача решения системы = найти множество всех X ∈ Mn,1(F ), длякоторых выполнено равенство (∗).Теорема (свойства умножения матриц).• АссоциативностьA(BC) = (AB)C,A ∈ Mm,n(F ), B ∈ Mn,k (F ), C ∈ Mk,q (F );• Левая дистрибутивностьA(B + C) = AB + AC,A ∈ Mm,n(F ), B, C ∈ Mn,k (F );• Правая дистрибутивность(A + B)C = AC + BC,A, B ∈ Mm,n(F ), C ∈ Mn,k (F );• (αA)B = α(AB) = A(αB),A ∈ Mm,n(F ), B ∈ Mn,k (F ), α ∈ F .Доказательство.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,2 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6518
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее