1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Заметим, чтоα1A(i1) + · · · + αr A(ir ) = Avi1,...,ir ,гдепоэтому0 .. . α1i1 . n. vi1,...,ir = . ∈F . α i r r .. . 0α1B (i1) + · · · + αr B (ir ) = Bvi1,...,ir = SAvi1,...,ir = S0 = 0т.е. линейно зависимые столбцы A остаются линейно зависимыми в B.Отсюдаrv (B) ≤ rv (A),обратное неравенство вытекает из обратимости э.п.6. Ранг матрицы (продолжение)Напомним определения:A ∈ Mm,n(F )Uh(A) = L(A1, .
. . , Am) ⊆ Fn — пространство, порожденное строкамиматрицыUv (A) = L(A(1), . . . , A(n)) ⊆ F m — пространство, порожденное столбцамиматрицыdim Uh(A) = rh(A) — горизонтальный ранг матрицы Adim Uv (A) = rv (A) — вертикальный ранг матрицы AТеорема(о совпадении рангов) Для любой матрицы A ∈ Mm,n(F ) надполем Frh(A) = rv (A).Это число называется рангом матрицы A и обозначается r(A).Доказательство.(?) Горизонтальный ранг не меняется при э.п.
строк:AB ⇒ Uh(B) ⊆ Uh(A); ⊇ из обратимости э.п.(?) Вертикальный ранг не меняется при э.п. строк:AB = SA, где S — элементарная матрица (I или II типа).Допустим, столбцыA(i1), . . . , A(ir ) ∈ Uv (A)линейно зависимы:α1A(i1) + · · · + αr A(ir ) = 0,αi ∈ F— нетривиальная линейная комбинация. Заметим, чтоα1A(i1) + · · · + αr A(ir ) = Avi1,...,ir ,гдепоэтому0 .. . α1i1 . n. vi1,...,ir = . ∈F . α i r r .. . 0α1B (i1) + · · · + αr B (ir ) = Bvi1,...,ir = SAvi1,...,ir = S0 = 0т.е. линейно зависимые столбцы A остаются линейно зависимыми в B.Отсюдаrv (B) ≤ rv (A),обратное неравенство вытекает из обратимости э.п.(?) rh(A) ≤ rv (A).Приведем A к ступенчатому виду э.п.
строк:A00 ...0C=00 ...0... 0c1k1 . . . c1k2 . . . . . . . . .. . . . . . . . . 0 c2k2 . . . . . . . . .c1kr−1c2kr−1... ......... .... . .. . .. . .. . .0 . . .... ... ...... ...... ... ... ...... ...... ... ...... ...... ... 0... ... ...... ...... ...
... ...0... ... ...... ...... ... ... ...... ...... ... ...... ...... ... ... ...... ...... ... ...... ...... ... ... ...... ... 0cr−1 kr−1 . . . . . .crkrЗдесь r = rh(C) = rh(A) ≤ rv (C) = rv (A) так как столбцы C (k1), . . . , C (kr )заведомо линейно независимы.(?) rv (A) ≤ rh(A).Рассмотрим транспонированную матрицу A⊺:rh(A⊺) = rv (A),rv (A⊺) = rh(A).По предыдущему утверждениюrh(A⊺) ≤ rv (A⊺).Таким образом,rh(A) = rv (A).Следствие. r(A) = r(A⊺).Лемма.Пусть ϕ : V → W — линейное отображение, dim V = n,v1, .
. . , vn — базис V . Тогдаϕ(V ) = L(ϕ(v1), . . . , ϕ(vn)).Теорема (ранг матрицы как размерность образа)Пусть A ∈ Mm,n(F ), Φ(A) = ϕA : F n → F m — соответствующее линейноеотображение. Тогдаr(A) = dim ϕA(F n).Доказательство.Пусть e1, . . . , en ∈ F n — стандартный базис. ТогдаϕA(F n) = L(ϕA(e1), . . . , ϕA(en)) = L(A(1), . . . , A(n)).Следствие (размерность образа как ранг матрицы)Пусть ϕ : V → W — линейное отображение, dim V = n,v1, . .
. , vn — базис V , dim W = m, w1, . . . , wm — базис W .Обозначим через A матрицу линейного отображения ϕ в этих базисах.Тогдаr(A) = dim ϕ(V ).Доказательство.Зафиксируем изоморфизмы α1 .. τ : α1v1 + · · · + αnvn 7→ . αnβ1 ..
ρ : β1w1 + · · · + βmwm 7→ . .βmТогдаVϕ−→Wρy ,F n −−→ F mϕAτyρ(ϕ(V )) = ϕA(F n)ρ — изоморфизм ⇒ dim ϕ(V ) = dim ϕA(F n) = r(A).Теорема (о ранге произведения матриц) Пусть A ∈ Mk,m(F ),B ∈ Mm,n(F ). Тогда r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}.Доказательство.Φ(A) = ϕA : F m → F k ,Φ(B) = ϕB : F n → F m,Φ(AB) = ϕAB = ϕAϕB : F n → F kr(AB) = dim ϕAB (F n) = dim ϕA(ϕB (F n)) ≤ dim ϕA(F m) = r(A).С другой стороны,r(AB) = r((AB)⊺) = r(B ⊺A⊺) ≤ r(B ⊺) = r(B).Обратимые матрицыMn,n(F ) = Mn(F )Матрица A ∈ Mn(F ) называется обратимой слева, если найдетсяB ∈ Mn(F ): BA = EnМатрица A ∈ Mn(F ) называется обратимой справа, если найдетсяB ∈ Mn(F ): AB = EnТеорема.Следующие условия эквивалентны для матрицы A ∈ Mn(F ):(1) A обратима справа;(2) r(A) = n;(3) Φ(A) = ϕA : F n → F n изоморфизм;(4) A обратима слева.Доказательство.(1) ⇒ (2):AB = En ⇒ r(En) = n ≤ min{r(A), r(B)} ⇒ r(A) = n.(2) ⇒ (3):r(A) = dim ϕA(F n) = n ⇒ ϕA : F n → F n сюръективно ⇒ изоморфизм.(3) ⇒ (4):Для любого изоморфизма обратное отображение – снова изоморфизм.n → FnI = ϕ−1ϕ:FAA— тождественное отображение (I(v) = v для всех v ∈ F n).I = Φ(En) = Φ(B)Φ(A) = Φ(BA) ⇒ En = BA,где B = Φ−1(ϕ−1A ).(4) ⇒ (1):A обратима слева ⇐⇒ A⊺ обратима справа.
По доказанному(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) для A⊺ имеем, что A⊺ обратима слева ⇒ Aобратима справа.Квадратная матрица, удовлетворяющая любому из условий этойтеоремы, называется обратимой.• Для любой обратимой матрицы A ∈ Mn(F ) существует единственнаяобратная A−1 ∈ Mn(F ):AA−1 = A−1A = En;• Если A обратима, то (A−1)−1 = A;• Если A, B обратимы, то (AB)−1 = B −1A−1.Следствие. Если A ∈ Mn(F ) обратима, то r(AB) = r(B) для любойB ∈ Mn,k (F ) и r(CA) = r(C) для любой C ∈ Mm,n(F ).Доказательство.r(AB) = dim ϕAB (F k ) = dim ϕA(ϕB (F k )) = dim ϕB (F k ) = r(B).поскольку ϕA — изоморфизмВторое равенство доказывается аналогично.Упражнение.
Докажите, что если для данной матрицы A ∈ Mn(F )равенствоr(AB) = r(B)выполняется при всех B ∈ Mn(F ), то матрица A обратима.Размерность пространства решений однородной системылинейных уравненийAX = 0,a11 . . . a1nA = . . . . . . . . . . .
. . . ,am1 . . . amn— однородная с.л.у. над полем F .x1 .. X= . xn• Число главных неизвестных при решении с.л.у. методом Гауссаравно r(A) и не зависит от способа приведения к ступенчатомувиду.Теорема.Размерность пространства решений однородной с.л.у. AX = 0,A ∈ Mm,n(F ), равна n − r(A).Базис этого пространства называется фундаментальной системойрешений (ф.с.р.) однородной с.л.у. AX = 0.Доказательство.Пространство решений: U = {u ∈ F n | Au = 0} (т.е. X = u ∈ F nудовлетворяет AX = 0)Рассмотрим Φ(A) = ϕA : F n → F m, ϕA(v) = AvU = Ker (ϕA)По теореме о размерностях ядра и образаn = dim F n = dim Ker (ϕA) + dim ϕA(F n)По теореме о ранге как размерности образаdim ϕA(F n) = r(A).Отсюдаdim U = n − r(A).Как искать ф.с.р.?Приведем матрицу A к ступенчатому виду э.п.
строк:AC,получим матрицу C с r ненулевыми строками, r = r(A).Выполним обратный ход метода ГауссаC00 ...0T =00 ...0... 0t1k1 . . . 0... ... ... 0... ... ... 0t2k2 . . . . . . . . . 0... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... 0... ... ...... ......
... ... ...... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... ... ...tr−1 kr−1... 0...... 0. . .. . . . . . . . .... 0. . .0 trkr . . .... ... 0 . . . . . . . . .... ... 0Без ограничения общности (для упрощения обозначений) допустим, чтоx1, . . .
, xr — главные неизвестные (ki = i).Запишем общее решение:n1 Xxk = −tkj xj ,tkk j=r+1k = 1, . . . , rДля каждого j ∈ {r + 1, . . . , n} построим векторα1j... αrj ,vj = α r+1 j ... αnjгдеt− kj ,tkkαkj =δkj ,k = 1, . . . , r;k = r + 1, .
. . , n.• Каждый vj лежит в пространстве решений однородной с.л.у.AX = 0 (по построению);• Набор векторов vj , j = r+1, . . . , n, является линейно независимым:их «хвосты» — векторы стандартного базиса F n−r∗ .. . ∗ α1vr+1 + · · · + αn−r vn = α 1 .. . αn−r• Следовательно, vr+1, . . . , vn — базис пространства решений(ф.с.р.):их n − r штук и они линейно независимы.6. Ранг матрицы (продолжение)Критерий совместности неоднородной системы линейныхуравненийПусть AX = B — совместная неоднородная система из m уравнений с nнеизвестными, v0 ∈ F n — одно из ее решений. Обозначим через U ⊆ F nпространство решений однородной системы AX = 0.Лемма.(1) Для любого u ∈ U вектор v = v0 + u является решением с.л.у.AX = B;(2) Для любого решения v с.л.у. AX = B найдется u ∈ U такой, чтоv = v0 + u.Доказательство.(1) A(v0 + u) = Av0 + Au = B + 0 = B.(2) u = v − v0: Au = A(v − v0) = Av − Av0 = B − B = 0.Таким образом, множество решений системы AX = Bимеет вид v0 + U — смежный класс частного решения, где U —пространство решений системы AX = 0.Множество вида v0 + U , v0 ∈ V , U — подпространство в.п.
V иногданазывают линейным многообразием в VОбщий принцип для линейных систем:Общее решениенеоднородной системы=Частное решениенеоднородной системы+Общее решениеоднородной системы(?) Как определить совместность системы через ранг ее матрицы?Теорема (Кронекера — Капелли).Система линейных уравнений AX = B совместна тогда и только тогда,когда r(A) = r(A|B).Доказательство.⇒ Пусть AX = B совместна,— некоторое ее решение.α1 .. v= .
αnТогда Av = α1A(1) + · · · + αnA(n) = B, т.е.B ∈ Uv (A) ⇒ Uv (A|B) = Uv (A),их размерности равны.⇐ Пусть r(A) = r(A|B),Uv (A) ⊆ Uv (A|B);их размерности равны ⇒ пространства совпадают,B ∈ Uv (A) = L(A(1), . . . , A(n)),т.е. B = α1A(1) + · · · + αnA(n) ⇒ α1 Вектор v = ... является решением системы AX = B.αn7. Определитель квадратной матрицыПолилинейные отображенияПусть V , W — векторные пространства. Отображениеf :V· · × V} → W| × ·{zn(v1, .
. . , vn) 7→ f (v1, . . . , vn)называется полилинейным, если для любого i = 1, . . . , n и для любыхv1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn ∈ V отображениеV →Wv 7→ f (v1, . . . , vi−1, v, vi+1, . . . , vn)является линейным.Полилинейное отображение f : V × · · · × V → W называетсякососимметричным, еслиf (v1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
