1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Высшая алгебраП.С. КолесниковНовосибирский государственный университетЛекции для студентов 1-го курсамеханико-математического факультета2014-2015Техническая информация:• Продолжительность курса:2 семестра• В конце каждого семестра: зачет и экзамен• Основная литература:[1] А. П. Пожидаев, С. Р. Сверчков, И. П. Шестаков.Лекции по алгебре. Ч. 1, 2. Новосибирск: НГУ, 2012.[2] Б.

Л. Ван дер Варден. Алгебра. М.: Наука, 1976.[3] А. И. Кострикин. Курс алгебры. Ч. 1–3. М.: Физ.-мат. лит.,2000.[4] А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. СПб.: Лань, 2003.• Дополнительная литература:см. введение [1]• Сайт: http://math.nsc.ru/LBRT/a1/pavelsk/AlgebraВведение: предмет алгебрыName of the game:Мухаммед ибн Муса Аль-Хорезми (Алгоритмус)«Хисаб мухтасаб ал-джабр ва л-мукабала», IX в.н.э.(«Руководство по вычислениям посредством восполненияи противопоставления»)• Линейная алгебра• «Нелинейная» алгебра (алгебраическая геометрия)• Алгебраические системыЛинейная алгебра• Системы линейных уравнений:a11x1 + · · · + a1nxn = b1, a x + · · · + a xn = b ,21 12n2...am1x1 + · · · + amnxn = bm,– Что называть решением?– Когда есть хоть одно решение?– Сколько может быть решений?– Как найти решение?• Линейные операторы на векторных пространствах:(Например, преобразование плоскости, сохраняющее прямыелинии)– Как задать такое преобразование?– Композиция сдвига, поворота и растяжения?– Как найти коэффициент растяжения, ось и угол поворота?Алгебраическая геометрия• Решение алгебраических уравнений:anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 = 0– n = 2: формула квадратного уравнения;– n = 3, 4: методы Кардано и Феррари;– Всегда имеет решение в комплексных числах («основнаятеорема алгебры»);– n ≥ 5: не решается в радикалах;• Решение систем алгебраических уравнений:– Что называть решением?y2x2+ 2 =12abэллипс,x2 y 2− 2 =12abгипербола, ...– Почему любая система сводится к конечной подсистеме(теорема Гильберта о базисе)?– Как найти решение (базисы Грёбнера)?Алгебраические системы (группы, кольца, поля, ...)• Группы– Платоновы тела (правильные многогранники):Почему нет других?– Игра «15»:Как отличить «правильную» расстановку?– Классификация типов кристаллических решеток;– Стандартная модель элементарных частиц;– ...• Кольца– Решение уравнений и систем уравнений в целых числах(диофантовы уравнения);– Теория решения алгебраических уравнений;– ...• Поля– Решения алгебраических уравнений в радикалах;– Кодирование сообщений и криптография;– ...1.

Поле комплексных чиселОбозначенияN множество натуральных чисел (1, 2, 3, . . . )Z множество целых чисел (N, 0, −1, −2, . . . )mQ множество рациональных чисел (Z и дроби вида , m ∈ Z, n ∈ N)nR множество всех вещественных чисел (все бесконечные десятичныедроби, кроме оканчивающихся на 999999 . . . )ОпределениеМножество комплексных чисел C: совокупность всех пар вида (a, b), гдеa и b — произвольные вещественные числаC = {(a, b) | a, b ∈ R}Арифметические операции над комплексными числамиСложение:(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)Умножение(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)Традиционная запись(a, b) отождествляется с a + ib (декартова/алгебраическая форма записикомплексного числа), где i = (0, 1) (мнимая единица: i2 = −1)Например,(a + ib)(c + id) = ac + a(id) + (ib)c + (ib)(id)= ac + i2(bd) + i(ad) + i(bc) = (ac − bd) + i(ad + bc)Свойства операций на комплексных числахu, v, w ∈ C• u + (v + w) = (u + v) + w ассоциативность сложения;• u + v = v + u коммутативность сложения;• u(vw) = (uv)w ассоциативность умножения;• uv = vu коммутативность умножения;• u(v + w) = uv + uw (левая) дистрибутивность;• (u + v)w = uw + vw (правая) дистрибутивность;Доказательство (например, правой дистрибутивности)u = a1 + ib1v = a2 + ib2w = a3 + ib3ai , b i ∈ R(u + v)w = (a1 + a2 + i(b1 + b2))(a3 + ib3)= (a1 + a2)a3 − (b1 + b2)b3 + i (b1 + b2)a3 + (a1 + a2)b3= (a1a3 + a2a3 − b1b3 − b2b3) + i b1a3 + b2a3 + a1b3 + a2b3С другой стороны,uw + vw = (a1 + ib1)(a3 + ib3) + (a2 + ib2)(a3 + ib3)= a1a3 − b1b3 + i(b1a3 + a1b3) + a2a3 − b2b3 + i(a2b3 + b2a3)= a1 a3 − b 1 b 3 + a2 a3 − b 2 b 3 + i b 1 a3 + a1 b 3 + a2 b 3 + b 2 a3Полученные выражения действительно совпадают.Прочие свойства доказываются аналогично (упражнение).• Существует нейтральный по сложению (нулевой) элемент 0 =0 + i0 ∈ C:u+0=0+u=uдля любого u ∈ C;• Для любого u ∈ C найдется обратный по сложению (противоположный)элемент −u ∈ C:u + (−u) = (−u) + u = 0если u = a + ib то −u = −a + i(−b);• Существует нейтральный по умножению (единичный) элемент1 = 1 + i0: для любого u ∈ Cu · 1 = 1 · u = u;• Для любого ненулевого u ∈ C найдется обратный по умножениюэлемент u−1 ∈ C:uu−1 = u−1u = 1a−b−1если u = a + ib то u= 2+i 2;a + b2a + b2Деление комплексных чисел:(a + ib)(c − id)(ac + bd) + i(bc − ad)a + ib−1= (a + ib)(c + id)==c + id(c + id)(c − id)c2 + d 2при c + id 6= 0.Совокупность установленных свойств операций + и ·:• ассоциативность и коммутативность обеих операций;• дистрибутивность;• существование нейтральных элементов (0 и 1);• существование противоположных элементов;• существование обратных к ненулевымпо определению означает, что множество C относительно этих двухопераций образует поле.Q, R и C — поляZ и N полями не являютсяГеометрическая интерпретация комплексных чиселw = (a, b) = a + ib ∈ C — точка на плоскости Oxyс координатами x = a, y = ba = Re w вещественная часть;b = Im w мнимая часть;Тригонометрическая форма записи комплексного числаr > 0, 0 ≤ ϕ < 2πr=qa2 + b2 = |w| модуль;ϕ = arg w аргумент (определен при w 6= 0),arg w =a,arccos qa2 + b 2aq,2π − arccosa2 + b 2b ≥ 0,b < 0.a = r cos ϕb = r sin ϕw = r(cos ϕ + i sin ϕ)(r > 0, 0 ≤ ϕ < 2π)Геометрическая интерпретация сложения комплексных чиселГеометрическая интерпретация умножения комплексных чиселТеорема 1.

Пусть z, w ∈ C, z 6= 0, w 6= 0. Тогда|zw| = |z||w|,arg(zw) = arg z + arg w − 2πk (при k = 0 или k = 1)Доказательство|z| = r,arg z = ϕ,|w| = ρ,arg w = ψzw = r(cos ϕ + i sin ϕ)ρ(cos ψ + i sin ψ)= rρ(cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ)= rρ cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ + i(cos ψ sin ϕ + cos ϕ sin ψ)= rρ cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)Следовательно,|zw| = rρ,)cos arg(zw) = cos(ϕ + ψ)sin arg(zw) = sin(ϕ + ψ)⇒ arg(zw) = ϕ + ψ − 2πk.Если ϕ + ψ < 2π, то k = 0, иначе — k = 1.Следствие. Пусть w ∈ C, w 6= 0. Тогда|w−1| = 1/|w|,arg(w−1) =Доказательство. Для модуля:0,2π − arg w,arg w = 0 (w ∈ R, w > 0);arg w 6= 0.ww−1 = 1 ⇒ |w||w−1| = |1| = 1 ⇒ |w−1| = 1/|w|Для аргумента:При arg w = 0 утверждение очевидно.Пусть arg w > 0.ww−1 = 1 ⇒ arg(ww−1) = arg 1 = 0,по теореме 1arg(ww−1) = arg w + arg w−1 − 2πk = 0при некотором k = 0 или k = 1.Оба аргумента меньше 2π — их сумма меньше 4π:0 < arg w + arg w−1 = 2πk < 4π ⇒ k = 1arg w + arg w−1 = 2πчто и требовалось.Следствие (формула Муавра).Для любого w ∈ C и для любого n ∈ Nnnw = |w| cos(n arg w) + i sin(n arg w)Доказательство.Применить теорему 1 n раз.Упражнение.

Показать, что формула Муавра верна также и дляотрицательных n ∈ Z.1. Поле комплексных чисел (продолжение)C = {(a, b) | a, b ∈ R}(a, b) = a + ib,i2 = −1Извлечение корня из комплексного числаОбозначение: для w ∈ C, n ∈ N положим√nw = {x ∈ C | xn = w}√n0 = {0}Теорема 2.Пусть w ∈ C, w 6= 0. Тогда для любого n ∈ N√множество n w содержит ровно n элементов(т.е. уравнение xn = w имеет ровно n решений в C).Доказательство. Пусть |w| = r, arg w = ϕ,w = r(cos ϕ + i sin ϕ),r > 0, 0 ≤ ϕ < 2π.Ищем x: xn = wв тригонометрической форме (ясно, что x 6= 0)x = |x|(cos χ + i sin χ)По формуле Муавраxn = |x|n(cos nχ + i sin nχ).|x|n(cos nχ + i sin nχ) = xn = w = r(cos ϕ + i sin ϕ)Следовательно,|x|n = r,cos nχ = cos ϕ,sin nχ = sin ϕОтсюда|x| = r 1/n,nχ = ϕ + 2πk, k ∈ Zχ=ϕ + 2πkn(?) Сколько различных таких χ лежит в интервале [0, 2π)?(!) Ровно n:ϕ2π0 ≤ ϕ < 2π ⇒ 0 ≤ <nnТогда при k = 0, 1 .

. . , n − 1 имеемϕ + 2πk2π2π(n − 1)<+= 2π,nnnϕ + 2πkвыпадает из интервала [0, 2π).а при k < 0 или k > n − 1 число χ =n0≤Значит, решений ровно n и найти их все можно по формулеϕ + 2πknвыбирая любые n последовательных целых чисел k(обычно k = 0, 1, . .

. , n − 1)x = r 1/n(cos χ + i sin χ),χ=Геометрическая интерпретация корня:√Точки множества n w являются вершинами правильного n-угольникана комплексной плоскости с центром в O, вписанного в окружностьрадиуса |w|1/n.Пример. Вычислитьs31−i.1+iВычислим1−i(1 − i)21 − 1 + i(−1 − 1)=== −i1+i22Запишем в тригонометрической форме: | − i| = 1, arg(−i) = 3π/2,−i = cos(3π/2) + i sin(3π/2)Согласно теореме 2,имеет вид√3−i состоит из трех элементов, каждый из которыхx = cos χ + i sin χ,χ=3π/2 + 2πk,3k = 0, 1, 2x = cos χ + i sin χ,k=0:k=1:k=2:χ=3π/2 + 2πk,3k = 0, 1, 23π/2= π/2 ⇒ x = i;3√13π/2 + 2π3= 7π/6 ⇒ x = −−i ;χ=32√23π/2 + 4π31χ== 11π/6 ⇒ x =−i322χ=Следовательно,s31−i=1+i√3(−i = i, −√31−i ,22√31−i22)Комплексное сопряжение:w = a + ib 7→ w̄ = a − ib,a, b ∈ RУпражнения.• Покажите, что ww̄ = |w|2 для любого w ∈ C;• Покажите, что w+w̄ = 2Re w и w−w̄ = 2Im w для любого w ∈ C;√2+i• Докажите, чтоне лежит в n 1 ни для какого n ∈ N.2−i2.

Решение систем линейных уравненийметодом ГауссаОсновные понятияСистема из m линейных уравнений с n неизвестными:a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1, a x + a x + · · · + a xn = b ,21 122 22n2...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bmaij — коэффициенты системыbj — свободные членыxi — неизвестныеСчитаем, что aij и bj — известные элементы некоторого поля F(F = Q, R, C, . . . )(∗)Система (∗) называется однородной, если bi = 0 для всех i = 1, .

. . , m(иначе — неоднородной).Система (∗) называется тривиальной, если aij = bi = 0для всех i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n(иначе — нетривиальной).Набор элементов (c1, . . . , cn), ci ∈ F , называется решением системы (∗)если при подстановке xi = ci все уравнения системы оказываютсявыполнены.Множество решений непусто = система совместна(иначе — несовместна).Задача: решить систему = найти множество всех решенийДве системы с n неизвестными эквивалентны,если их множества решений совпадают.Пример.

Следующие системы эквивалентны:(x1 + x2 = 2,x1 − x2 = 0(x1 + 2x2 = 3,2x1 − x2 = 1Упражнение. Эквивалентны ли следующие системы:x + x2 + x3 = 3, 1x1 − x2 + x3 = 1,x1 + x3 = 0(x1 + x2 + x3 = 1,− x1 − x2 − x3 = 0Элементарные преобразования систем линейных уравнений(1)a x + · · · + a1nxn = b1, 11 1...am1x1 + · · · + amnxn = bm(2) ′′ x = b′ ,x+···+aa111n n 11... ′am1x1 + · · · + a′mnxn = b′mI типа: Переставить местами i-е и j-е уравнения (i 6= j);II типа: Прибавить к i-му уравнению j-е (i 6= j), умноженное на константуα ∈ F:+(ai1x1 + · · · + ainxn = biaj1x1 + · · · + ajnxn = bj | × α(ai1 + αaj1)x1 + · · · + (ain + αajn)xn = bi + αbj(!) при таком преобразовании меняется i-е уравнение,j-е остается неизменнымВместо систем линейных уравнений рассмотрим их матрицы.Определение.Пусть F — некоторое поле.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций