1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

. . vn) = 0при vi = vj для каких-либо i 6= jЛемма. Значение кососимметричного отображения f меняет знак приперестановке двух аргументов:f (v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vn) = −f (v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vn).ijijДоказательство. Рассмотрим0 = f (v1, .

. . , vi + vj , . . . , vi + vj , . . . , vn)ijиспользуем линейность по i-му аргументу:0 = f (v1, . . . , vi, . . . , vi + vj , . . . , vn) + f (v1, . . . , vj , . . . , vi + vj , . . . , vn)ijijи затем — по j-му аргументу:0 =f (v1, . . . , vi, . . . , vi, . . . , vn)+ f (v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vn)ijij+f (v1, . . . , vj , . . . , vi, . .

. , vn)+ f (v1, . . . , vj , . . . , vj , . . . , vn)ijijПервое и четвертое слагаемые равны нулю ввиду кососимметричности.Определитель как полилинейная кососимметрическаянормированная функция строкMn(F ) — множество всех матриц размера n × n над полем FЛюбое отображениеD : |Fn × ·{z· · × Fn} → Fnb : M (F ) → F по правилуоднозначно определяет отображение DnbD(A)= D(A1, . . . , An),A ∈ Mn(F ),A1, . .

. , An ∈ Fn — строки матрицы A.Если D — полилинейное отображение, тоb — полилинейная функция строк матрицы.DbОтображение D называется нормированным, если D(En ) = 1.bВ дальнейшем будем отождествлять D и D.Определителем (детерминантом) квадратной матрицы A ∈ Mn(F )называется скаляр D(A), где D — полилинейная кососимметрическаянормированная функция строк.Также определителем называется сама функция D.(?) Определитель существует(?) Определитель задан единственным образом(?) Определитель существует(?) Определитель задан единственным образомДопустим, что определитель существует.Установим некоторые свойства, которыми от тогда обладает.Простейшие свойства определителяПусть фунция D : Mn(F ) → F — определитель, A, B ∈ Mn(F ).Заметим, что:• если B получается из A э.п.

строк I типа, тоD(B) = −D(A)— следует из кососимметричности (по лемме);• если B получается из A э.п. строк II типа, тоD(B) = D(A);— следует из кососимметричности и линейности по каждойстроке;• если в A хоть одна строка нулевая, то D(A) = 0— из линейности по данной строке;• если r(A) < n, то D(A) = 0— приводим A к ступенчатому виду э.п. строк. Если r(A) < n,то ступенчатый вид содержит нулевую строку;• еслиb1 0 . . .

00 b... 02,B = diag(b1, . . . , bn) = ... 0 0 00 0 . . . bnто D(B) = b1 . . . bn — следует из полилинейности и нормированности;• если r(A) = n, тоA...C = diag(c1, . . . , cn),э.п. строк I, IIc1, . . . , cn 6= 0.При этомD(A) = (−1)k c1 · · · cn,где k — число э.п. строк I типа в процедуре приведения матрицык ступенчатому виду по методу Гаусса.Теорема (о единственности определителя).Если полилинейная кососимметрическая нормированная функция строкD : Mn(F ) → F существует, то она единственна.Доказательство.Допустим, существуют две различные такие функции D1 и D2,т.е. D1(A) 6= D2(A) для некоторой A ∈ Mn(F ).Приведем A к ступенчатому виду;(1) Если r(A) < n, то D1(A) = 0 = D2(A);(2) Если r(A) = n, то A···diag(c1, .

. . , cn), и тогдаD1(A) = (−1)k c1 . . . cn = D2(A),где k — число э.п. строк I типа в процедуре приведения матрицы кступенчатому виду (некоторым способом).В любом случае, D1(A) = D2(A), — противоречие.Мы доказали единственность определителя, предполагая,что он существует.Существование определителя пока не доказано.Установим дальнейшие свойства определителя, допуская,что он существует.Обозначение: D(A) = det A = |A|,a11 . .

. a1na11 . . . a1n det A = det . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . .an1 . . . annan1 . . . annМатрица A ∈ Mn(F ) называется вырожденной, если det A = 0, впротивном случае A — невырожденная матрица.Следствие. A ∈ Mn(F ) вырожденная ⇐⇒ r(A) < n.Определитель (полу)распавшейся матрицыA ∈ Mn(F ), B ∈ Mm(F )a11 .

. . a1nA = . . . . . . . . . . . . . ,an1 . . . annМатрица видаb11 . . . b1mB = . . . . . . . . . . . . . . .bm1 . . . bmma11 . . . a1n 0 . . .0.............0...0!A 0an1 . . . ann 0 . . .0 =0 B. . . 0 b11 . . . b1m  0. .

. 0 . . . . . . . . . . . . . . 00 . . . 0 bm1 . . . bmmназывается распавшейся или блочно-диагональной.Предложение. Определитель распавшейся матрицы равенпроизведению определителей ее «блоков»:Доказательство.A 0 = det A · det B. 0 BСлучай 1: Если r(A) < n или r(B) < m, то строки матрицы! A или строкиA 0матрицы B линейно зависимы ⇒ строки матрицылинейно0 BA 0 зависимы ⇒ = 0. 0 BСлучай 2 (основной): Если r(A) = n, r(B) = m. Тогда Aстрок I и II типа,C = diag(c1, . . . , cn),det A = (−1)k c1 . . .

cn,C, BD = diag(d1, . . . , dm),det B = (−1)l d1 . . . dmгде k и l — количество э.п. I типа в приведении AC и BDсоответственно.!A 0(!) Э.п. первых n строк матрицыне меняет последние m0 Bстолбцов этой матрицы (там нули);(!) Э.п. последних m строк матрицыстолбцов этой матрицы (там нули)A 00 B!не меняет первые nD э.п.ПоэтомуA 00 B!k I типаC 00 DdetA 00 B!!C 00 B!l I типаC 00 D!= diag(c1, . . .

, cn, d1, . . . , dm),= (−1)k+l c1 . . . cnd1 . . . bm = det A · det B.Упражнение. Матрица вида!A C,0 Bгде A ∈ Mn(F ), B ∈ Mm(F ), C ∈ Mn,m(F )называется полураспавшейся. Докажите, чтоA C = det A · det B. 0 B7. Определитель квадратной матрицы(продолжение)Определитель матрицы & элементарные преобразованиястолбцовКак элементарные преобразования столбцов влияютна определитель?Теорема. Пусть A, B ∈ Mn(F ).(1) Если B получена из A элементарным преобразованием столбцовI типа, то det B = − det A;(2) Если B получена из A элементарным преобразованием столбцовII типа, то det B = det A.Доказательство.Случай 1: det A = 0 ( ⇐⇒ r(A) < n).Тогда det B = 0 т.к.

r(A) = r(B) < n — э.п. столбцов не меняют рангматрицы.Случай 2: det A 6= 0 ( ⇐⇒ r(A) = n).Тогда матрицу A можно привести к диагональному виду э.п. строк:A···C = diag(c1, . . . , cn),c1, . . . , cn 6= 0.det A = (−1)k c1 . . . cn,где k — число преобразований I типа, использованных в процессеприведения AC.Напомним, что• э.п. строк = умножение на элементарную матрицу слева (см.лекцию №5);• э.п. столбцов = умножение на элементарную матрицу справа.Таким образом,C = T1 .

. . TN A,где Ti — элементарные матрицы I или II типа,k — число элем. матриц I типа среди T1, . . . , TN ;B = AT,T — элементарная матрица I или II типа(∗)(1) Пусть T = Sij , т.е. B получено из A перестановкой i-го и j-гостолбцов.Умножим (∗) справа на Sij :CSij = T1 . . .

TN ASij = T1 . . . TN B.Рассмотримc100CSij = 0000Умножим слева на Sij :0...............0......0...cj.................................ci...0......... 0... 0... 0... 0 = T1 . . . TN B.... 0... 0 . . . cnSij CSij = diag(c1, . . . , cj , . . . , ci, . . . , cn) = C ′ = Sij T1 . . . TN BПоэтомуdet B = (−1)k+1c1 . . .

cn = − det A.(2) Пусть T = Tji(α), т.е. B получено из A прибавлением к i-му столбцуj-го, умноженного на α ∈ F .Аналогично, умножим (∗) справа на Tji(α):CTji(α) = T1 . . . TN ATji(α) = T1 . . . TN B,умножим слева на Tji(αcj c−1i ):−1Tji(αcj c−1i )CTji (α) = Tji (αcj ci )T1 .

. . TN ATji (α).Легко видеть, чтоTji(αcj c−1i )CTji (α) = Cдля диагональной матрицы C. ПоэтомуC = Tji(αcj c−1i )T1 . . . TN B,откуда det B = (−1)k c1 . . . cn = det A.Определитель транспонированной матрицыКак меняется определитель при транспонировании матрицы?Теорема. Для любой A ∈ Mn(F )det A = det A⊺.Доказательство.Случай 1: r(A) < n.Тогда det A = 0 = det A⊺ т.к. r(A⊺) = r(A) < n.Случай 2 (основной): r(A) = n.Тогда AC = diag(c1, . . . , cn) э.п.

строк,C = T1 . . . TN A,(∗)где Ti — элементарные матрицы I или II типа,k — число элем. матриц I типа среди T1, . . . , TN ;det A = (−1)k c1 . . . cn.Транспонируем (∗):⊺⊺C ⊺ = C = (T1 . . . TN A)⊺ = A⊺TN . . . T1 .⊺Отметим, что Sij = Sij , Tij (α)⊺ = Tji(α) (см. лекцию №5).Таким образом, C получается из A⊺ э.п. столбцов, причем числопреобразований I типа равно k.Значит,det A⊺ = (−1)k c1 . . . cn = det A.Мы все еще лишь предполагаем, что определитель — полилинейнаякососимметрическая нормированная функция строк матрицы —существует.Существование определителя пока еще не доказано...Разложение определителя по строкеВычеркнем в матрице A ∈ Mn(F ) i-ю строку и j-й столбец:ja1ja.

. . a1 j−1 11.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a i−1 1 . . . ai−1 j−1 ai−1 j a. . . ai j−1ai ji1ai+1 1 . . . ai+1 j−1 ai+1 j.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an jan 1 . . . an j−1a1 j+1 . . . a1n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ai−1 j+1 . . . ai−1 n ai j+1...ain iai+1 j+1 . . . ai+1 n. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .an j+1 . . . annПолучим квадратную матрицу размера n − 1. Обозначим a. . . a1 j−1a1 j+1 . . . a1n 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a i−1 1 . . . ai−1 j−1 ai−1 j+1 . . . ai−1 n Mij (A) = ai+1 1 . . . ai+1 j−1 ai+1 j+1 . . . ai+1 n . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an 1. . . an j−1an j+1 . . . ann (минор матрицы A).ВеличинаAij = (−1)i+j Mij (A) ∈ Fназывается алгебраическим дополнением в матрице A места i, j.Теорема Пусть A = (aij ) ∈ Mn(F ). Для любого i = 1, . . . , n выполняетсяdet A =nXaij Aij .j=1(Формула разложения определителя по i-й строке.)Доказательство.

Запишем i-ю строку матрицы A:Ai =nXaij ej ,jej = 0 . . . 1 . . . 0j=1Ввиду линейности функции det по i-й строке имеемA1...AA ..1  ..1  .  n . nX P = det aee=adetdet Aij j ij j i ... j=1 ... j=1...AnAnAn(?)ВычислимA ..1  . det  ej  = Aij ... Anj. . . a1 j−1a1j a11.... . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .Aa ..1  i−1 1 . . . ai−1 j−1 ai−1 j . det  ej  = 0...01 ... ai+1 1 . . . ai+1 j−1 ai+1 j.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Anan j. . . an j−1 an 1a1 j+1 . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ai−1 j+1 . . . ai−1 n 0...0 iai+1 j+1 . . . ai+1 n. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .an j+1 . . . ann (э.п. строк II). . . a1 j−1 a11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a i−1 1 . . . ai−1 j−1= 0...0ai+1 1 . . . ai+1 j−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . an j−1 an 10...010...0a1 j+1 . . . a1n . . . . . .

Характеристики

Список файлов лекций