1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

. . . . . . . . . . . . . . .ai−1 j+1 . . . ai−1 n 0...0 iai+1 j+1 . . . ai+1 n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an j+1 . . . ann (э.п. строк I) 0...0. . . a1 j−1 a11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ai−1= (−1) i−1 1 . . . ai−1 j−1a i+1 1 . . . ai+1 j−1. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . an 1. . . an j−110...00...00...0 a1 j+1 . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ai−1 j+1 . . . ai−1 n ai+1 j+1 . . . ai+1 n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an j+1 . . . ann (э.п. столбцов I)10. ..0i−1j−1= (−1)(−1)0 ...00...00...0 a11 . . . a1 j−1a1 j+1 . . . a1n . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ai−1 1 . . . ai−1 j−1 ai−1 j+1 . . . ai−1 n ai+1 1 . . . ai+1 j−1 ai+1 j+1 . . . ai+1 n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an 1 . . . an j−1an j+1 . . . ann (распавшаяся матрица) a. . .

a1 j−1a1 j+1 . . . a1n 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a i−1 1 . . . ai−1 j−1 ai−1 j+1 . . . ai−1 n i+j= (−1)ai+1 1 . . . ai+1 j−1 ai+1 j+1 . . . ai+1 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . an 1. . . an j−1an j+1 . . . ann = Aij .Разложение определителя по столбцуТеорема.Пусть A = (aij ) ∈ Mn(F ). Для любого j = 1, . . . , n выполняетсяdet A =nXaij Aij .i=1(Формула разложения определителя по j-му столбцу.)Доказательство.Транспонируем матрицу A: рассмотрим B = A⊺B = (bij ),гдеbji = aij , Bj = A(j), B (i) = Ai;иdet B = det A,Bij = Ajiпо теореме об определителе транспонированной матрицы.Разложим det B по j-й строке:det A = det B =nXi=1bjiBji =nXi=1aij Aij .Определитель произведения матрицТеорема.Пусть A, B ∈ Mn(F ). Тогда det(AB) = det A · det B.Доказательство.Случай 1: r(A) < n или r(B) < n.Тогда det A = 0 или det B = 0 соответственно,r(AB) < n по теореме о ранге произведения,следовательно, det(AB) = 0.Случай 2: r(A) = r(B) = n.Тогда r(B ⊺) = r(B) = n по теореме о ранге транспонированной матрицы,A···C = diag(c1, .

. . , cn)э.п. строк, из них k I-го типа;B⊺···D = diag(d1, . . . , dn)э.п. строк, из них l I-го типаdet A = (−1)k c1 . . . cn,det B = det B ⊺ = (−1)l d1 . . . dn;C = T1 . . . TN A;⊺⊺D = S1 . . . SM B ⊺ ⇒ D = D ⊺ = BS1 . . . SM⊺⊺CD = T1 . . . TN ABS1 . . . SMCD = diag(c1d1, . . . , cndn)поэтомуdet(AB) = (−1)k+l c1d1 .

. . cndn = det A · det B.Следствие. Обратимые матрицы являются невырожденными.Доказательство.AA−1 = E ⇒ det A · det A−1 = 1 ⇒ det A 6= 0.В частности,det A−1 =1.det AДругое доказательство:Матрица A ∈ Mn(F ) обратима ⇒ ϕA : F n → F n — обратимоепреобразование (ϕA−1 = (ϕA)−1) ⇒ ϕA — изоморфизм ⇒ ϕA(F n) = F n ⇒dim ϕA(F n) = r(A) = n ⇒ det A 6= 0.Следствие.

Невырожденные матрицы являются обратимыми.Все «⇒» в приведенном выше доказательстве можно обратить.Присоединенная матрица(?) Как в явном виде найти A−1 для A ∈ Mn(F ), det A 6= 0.Для данной матрицы A ∈ Mn(F ) построим матрицу B = (bij ), гдеbij = Aji = (−1)i+j Mji(A).Полученная матрица B называется присоединенной для матрицы A,обозначается A×.Теорема.Пусть A ∈ Mn(F ), det A 6= 0. ТогдаA−1 =1A× .det AДоказательство.Покажем, что AA× = det AEn (ввиду единственности обратной матрицыэтого достаточно).AA× = C = (cij ),cij =nXaik bkj =k=1nXk=1aik Ajk =det A,0,i = j;i 6= jпоскольку при i 6= j это в точности разложение по j-й строкеопределителя с одинаковыми строками (на месте j-й строкиповторяется i-я).Следовательно, C = det A · En.7.

Определитель квадратной матрицы(продолжение)Существование определителя пока формально не доказано. Мыисследуем эту функцию (свойства и области применения) предполагая,что она существует.Присоединенная матрицаНапомним:Если A ∈ Mn(F ), det A 6= 0, тоA−1 =1A× .det AA× — присоединенная матрица:A11 A21 . . . An1A 12 A22 .

. . An2 ×A =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A1n A2n . . . AnnСледствие (формулы Крамера)Пусть AX = B — квадратная невырожденная (det A 6= 0) системалинейных уравнений,A = A(1) . . . A(n) ,Тогдаxi =x1 X =  ...  ,xnb1 B =  ...  .bndet A(1) . . . A(i−1) B A(i+1) . . . A(n)для каждого i = 1, . . . , n.det AДоказательство.AX = B ⇒ A−1AX = A−1B ⇒ X = A−1B.ВычислимX = A−1B =1A×B,det AnX1Akibkxi =det A k=1nX1xi =Akibkdet A k=1С другой стороны, разложение по i-му столбцу даетdet A(1) . . . A(i−1) B A(i+1) . . .

A(n)a 11 . . . a1 i−1 b1 a1 i+1 . . . a1n a 21 . . . a2 i−1 b2 a2 i+1 . . . a2n =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 . . . an i−1 bn an i+1 . . . annnX=bk Akik=1что и требовалось.Базисный минор матрицыДля любой A ∈ Mm,n(F )r(A) = размерность пространства, порожденного строками илистолбцами(?) Какие именно из строк или столбцов образуют базис пространстваUh(A) или Uv (A)A = (aij ) ∈ Mm,n(F ), i = 1, . .

. , m, j = 1, . . . , n.Минор порядка k:a i1 j1 . . . ai1 jk j ,...,jMi 1,...,i k (A) = . . . . . . . . . . . . . . . .1k ai j. . . ai j k 1k kдля некоторых 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ m, 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n,— определитель, составленный из элементов матрицы A, стоящих напересечении строк i1, . . . , ik и столбцов j1, . . . , jk .• Строки матрицы A, проходящие через ненулевой минор, линейнонезависимы;• Столбцы матрицы A, проходящие через ненулевой минор, линейнонезависимы.Минор порядка k матрицы A называется базисным, если он не равеннулю, но любой минор бо́льшего порядка равен нулю.Теорема. Если ранг матрицы A ∈ Mm,n(A) равен r, тогда и толькотогда, когда в матрице найдется базисный минор порядка r.Доказательство.(⇒) Пусть r(A) = r, найдем базисный минор порядка r.Ai1 , .

. . , Air — базис пространства строк;A(j1), . . . , A(jr ) — базис пространства столбцов.Для любого i 6= i1, . . . , ir строка Ai равна лин.комбинации базисных;Для любого j 6= j1, . . . , jr столбец A(j) равен лин.комбинации базисных.Применим э.п. строк II типа:A′ = матрица, в которой только строки i1, . . . , ir ненулевыедалее э.п.

столбцов II типа (те же, что для A):AA′A′′ = матрица, в которой только столбцы j1, . . . , jr ненулевые :0 ........................ 00 . . . ai j . . . ai jr . . . 01 11′′A = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 00 . . . air j1 . . . air jr . . . 00 ........................ 0j ,...,jr(A′′) = r(A′) = r(A) = r, поэтому строки минора Mi 1,...,irr (A) линейно1независимы ⇒ он не равен нулю.Ненулевого минора большего порядка нет, т.к. нет > r линейнонезависимых строк или столбцов.(⇐) Пусть в матрице A есть базисный минор порядка r.Строки, проходящие через минор, линейно независимы ⇒ r(A) ≥ r.Но если r(A) > r, то по только что доказанному найдется ненулевойминор порядка r(A), — противоречие.Значит, r(A) = r.Теорема об окаймляющем миноре.A ∈ Mm,n(F );1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ m, 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n;i 6= i1, .

. . , ik , j 6= j1, . . . , jk ,1 ≤ i1 < · · · < i < · · · < ik ≤ m, 1 ≤ j1 < · · · < j < · · · < jk ≤ n;Минорj ,...,j,...,jMi 1,...,i,...,i k (A)1kназывается окаймляющим для минораj ,...,jMi 1,...,i k (A).1kТеорема.j ,...,jНенулевой минор Mi 1,...,i k (A) является базисным тогда и только тогда,1kкогда любой его окаймляющий минор равен нулю.Доказательство.(⇒) По определению базисного минора любой минор большего порядка(в частности, любой окаймляющий) равен нулю.j ,...,j(⇐) Пусть Mi 1,...,i k (A) 6= 0, но любой его окаймляющий равен нулю.1kПокажем, что столбцы A(j1), . .

. , A(jk ) образуют базис пространстваUv (A).Эти столбцы проходят через ненулевой минор ⇒ линейно независимы.(?) Любой другой столбец равен лин.комбинации столбцов с номерамиj1 , . . . , jkПусть j 6= j1, . . . , jk , допустим, jt−1 < j < jt.Пусть 1 ≤ i ≤ m, допустим, il−1 < i ≤ il .Рассмотрим матрицуЕсли i 6= i1, . .

. , ik , тоt. . . ai1 jai j. . . ai1 jk 1 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B =  ai j1 . . . ai j . . . ai jk l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aik j1 . . . aik j . . . aik jkj ,...,j,...,jdet B = Mi 1,...,i,...,i k (A) = 0.1kЕсли i = il , то det B = 0 т.к. в нем есть одинаковые строки.Переставим строки и столбцы:ai j . . . ai1 j . . . ai1 jk 1 1. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B =  ai j1 . . . ai j . . . ai jk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aik j1 . . . aik j . . . aik jk···a. . . ai1 jk ai1 j i1 j1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..C=a ik j1 . . . aik jk aik j ai j1 . . . ai jk aijdet C = ± det B = 0.Разложим этот определитель по последней строке:0=kXp=1j ,...,jai jp Ck+1 p + aij Mi 1,...,i k (A),где коэффициенты Ck+1 p не зависят от i.1kТаким образом, aij выражается в виде лин.комбинации ai j1 , . .

Характеристики

Список файлов лекций