1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186), страница 14
Текст из файла (страница 14)
. ai σ(i) . . . aj σ(j) . . . an σ(n)(−1)σ a1 σ(1) . . . ai σ(i) . . . aj σ(j) . . . an σ(n)σ∈M1X+(−1)τ a1 τ (1) . . . ai τ (i) . . . aj τ (j) . . . an τ (n)τ ∈M2τ = σ(ij)=X(−1)σ a1 σ(1) . . . ai σ(i) . . . aj σ(j) . . . an σ(n)σ∈M1X+σ∈M2=0.(−1)(−1)σ a1 σ(1) . . . ai σ(j) . . . aj σ(i) . . . an σ(n)(?) Нормированность:10A = En = 00X0100............0001(−1)σ δ1 σ(1) . .
. δn σ(n) = 1σ∈Sn(только одно ненулевое слагаемое, соответствующее σ = e).Теорема о единственности определителя позволяет заключить, чтоD(A) = A для всех A ∈ Mn(F ).8. Полугруппы и группы (продолжение)Теорема о полном раскрытии определителяSn — группа подстановок на n элементах; F — поле;a11 . . . a1nA = . . . . . .
. . . . . . . ∈ Mn(F )an1 . . . ann— матрица размера n × n с компонентами aij ∈ F .Теорема.det A =Xσ∈Sn(−1)σ a1 σ(1) . . . an σ(n)(?)det A =X(−1)σ a1 σ(1) . . . an σ(n)σ∈SnПримеры.n = 1:S1 = {e}, det(a11) = a11n = 2:S2 = {e, σ = (12)},!aadet 11 12 = (−1)ea1 e(1)a2 e(2) + (−1)σ a1σ(1)a2 σ(2) = a11a22 − a12a21.a21 a22(?)det A =X(−1)σ a1 σ(1) . . . an σ(n)σ∈SnДоказательство.Покажем, что правая часть доказываемой формулы являетсяполилинейной кососимметричной нормированной функцией строкматрицы.D(A) =Xσ∈Sn(−1)σ a1 σ(1) . .
. an σ(n)(?) Полилинейность (по строкам):AA ..1 ..1 . . A = A i , B = Bi , ... ... AnAnC=αAiA1...+ βBi,...AnТогдаD(C) ==X(−1)σ aσ∈SnX=α1 σ(1) . . . ai−1 σ(i−1) αai σ(i) + βbiσ(i) ai+1 σ(i+1) . . . an σ(n)(−1)σ a1 σ(1) .
. . ai−1 σ(i−1)ai σ(i)ai+1 σ(i+1) . . . an σ(n)σ∈Sn+βX(−1)σ a1 σ(1) . . . ai−1 σ(i−1)bi σ(i)ai+1 σ(i+1) . . . an σ(n)σ∈Sn= αD(A) + βD(B).(?) Кососимметричность (по строкам)Пусть в матрице A две строки совпадают: при некоторых i < jaik = ajk для всех k = 1, . . . , n.Поделим все подстановки из Sn на два класса:M1 = {σ ∈ Sn | σ(i) < σ(j)},M2 = {σ ∈ Sn | σ(i) > σ(j)}.Заметим, чтоσ ∈ M1 ⇐⇒ σ(ij) ∈ M2Таким образом, имеется взаимно-однозначное соответствиемежду множествами M1 и M2:M2 = {σ(ij) | σ ∈ M1}.ТогдаD(A) ==Xσ∈SnX(−1)σ a1 σ(1) . . .
ai σ(i) . . . aj σ(j) . . . an σ(n)(−1)σ a1 σ(1) . . . ai σ(i) . . . aj σ(j) . . . an σ(n)σ∈M1X+(−1)τ a1 τ (1) . . . ai τ (i) . . . aj τ (j) . . . an τ (n)τ ∈M2τ = σ(ij)=X(−1)σ a1 σ(1) . . . ai σ(i) . . . aj σ(j) . . . an σ(n)σ∈M1X+σ∈M2=0.(−1)(−1)σ a1 σ(1) . . . ai σ(j) . . . aj σ(i) .
. . an σ(n)(?) Нормированность:10A = En = 00X0100............0001(−1)σ δ1 σ(1) . . . δn σ(n) = 1σ∈Sn(только одно ненулевое слагаемое, соответствующее σ = e).Теорема о единственности определителя позволяет заключить, чтоD(A) = A для всех A ∈ Mn(F ).Смежные классы по подгруппе. Теорема ЛагранжаПусть G — группа, H ≤ G — подгруппа.Правым смежным классом элемента a ∈ G называется множествоaH = {ah | h ∈ H},а левым смежным классом:Ha = {ha | h ∈ H}.Основные свойства:• G=Sa∈GaH =SHa;a∈G• aH ∩ bH 6= ∅ ⇒ aH = bH;• Ha ∩ Hb 6= ∅ ⇒ Ha = Hb.Теорема.Пусть G — группа, H ≤ G — подгруппа.
Тогда между любыми двумялевыми (или правыми) смежными классами по H можно установитьбиективное соответствие.a, b ∈ G, H ≤ G ⇒ существует биективное отображение Ha → HbДоказательство. Докажем для левых смежных классов (для правыханалогично).Ha, Hb — два левых смежных класса (a, b ∈ G)Заметим, что h1a = h2a ⇐⇒ h1 = h2. Установим биективноесоответствиеH → aH :h 7→ ahАналогичное соответствие можно установить между H и bH.Имеем:aH ← H → bHah ↔ bh,h∈HСледствие. Если G — конечная группа, то все смежные классы поподгруппе H ≤ G содержат одинаковое число элементов — ровностолько, сколько их в H:|aH| = |H| = |Ha| для всех a ∈ G.Следствие (теорема Лагранжа). Если G — конечная группа, H ≤ G, то|H| делит |G|.Величина |G|/|H| называется индексом подгруппы H в группе G.Обозначение:|G|/|H| = [G : H]Следствие.
Если G — конечная группа, a ∈ G, то |a| делит |G|.Нормальные подгруппыПусть G — группа, H ≤ G — подгруппа.Подгруппа H называется нормальной в G, еслиhx = x−1hx ∈ H для всех h ∈ H, x ∈ G.Обозначение: H E GЛемма.Подгруппа H ≤ G является нормальной тогда и только тогда, когдалевый и правый смежные классы любого элемента x ∈ G по Hсовпадают.H E G ⇐⇒ xH = Hx,x∈G(?) H E G ⇐⇒ xH = Hx, x ∈ GДоказательство.(⇒):−1−1a ∈ xH ⇐⇒ a = xh ⇐⇒ h = x−1a ∈ H ⇐⇒ hx = (x−1a)x =x(x−1a)x−1 = ax−1 ∈ H ⇐⇒ a ∈ Hx.(⇐)h ∈ H, hx ∈ Hx = xH ⇒ hx = xh′, h′ ∈ H ⇒ x−1hx = h′ ∈ Hдля всех x ∈ G.Пример.
G = S3, содержит 6 элементов:S3 = {e, (12), (13), (23), (123), (132)}Пусть H = {e, (12)} — подгруппа в S3.Левые смежные классы:e,(12), (13),{z(123)}, (23),(132)}| {z } |{z|eH(13)H(23)HПравые смежные классы:(123)}e,(12), (13),{z(132)}, (23),|{z| {z } |HeH(13)H(23)Подгруппа не нормальная. Это также видно из(12)(13) = (23) ∈/HПример. G = S3, содержит 6 элементов:S3 = {e, (12), (13), (23), (123), (132)}Пусть H = {e, (123), (132)} — подгруппа в S3.Левые смежные классы:e,(123),(132)}, (12),(23),(13)}||{z{zeH(12)HПравые смежные классы:e,(123),(132)}, (12),(13),(23)}||{z{zHeПодгруппа нормальная.H(12)Пример. G = S4.Пусть H = K4 = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} — подгруппа в S4(четверная группа Клейна).K4 содержит все попарные произведения независимых транспозиций,поэтомуσ ∈ K4, x ∈ S4 ⇒ σ x ∈ K4.Подгруппа нормальная.Упражнение.
Докажите, что любая подгруппа индекса два являетсянормальной.8. Полугруппы и группы (продолжение)Пусть G — группа.Напомним, что подгруппа H ≤ G называется нормальной в G, еслиhx = x−1hx ∈ H для всех h ∈ H, x ∈ G.Обозначение: H E GПонятие фактор-группыПусть H — нормальная подгруппа в группе G = (G; ·).Обозначим через G/H множество смежных классов по H:G/H = {aH | a ∈ G}Определим на G/H алгебраические операцию умножения по правилу(aH)(bH) = (ab)H,a, b ∈ G.(?) Корректностьa1H = a2H, b1H = b2H(?): (a1b1)H = (a2b2)H — не зависит от выбора представителяa1H = a2H ⇐⇒b1H = b2H ⇐⇒Рассмотримa−12 a1 ∈ Hb−12 b1 ∈ H−1−1−1 −1ab=ba(a2b2)−1(a1b1) = b−1bb1112221 (a2 a1 )b1−1 −1−1−1b1 ∈ H= b−1b(b(aa)b)=(bb)(aa)1111121222МножествоG/H = {aH | a ∈ G}с операцией(aH)(bH) = (ab)Hявляется группой, которая называется фактор-группой G по H:аксиомы группы легко проверить.Обозначение: G/HЯдро гомоморфизма группПусть G1, G2 — группы,ϕ : G1 → G2 — гомоморфизм этих групп.Ядром гомоморфизма ϕ называется множество всех таких элементовa ∈ G1, что ϕ(a) = e ∈ G2:Ker ϕ = {a ∈ G1 | ϕ(a) = e}.Теорема.(1) Ядро любого гомоморфизма из G1 — нормальная подгруппа в G1.(2) Любая нормальная подгруппа в G1 — ядро некоторогогомоморфизма из G1 в какую-то группу G2.Доказательство.(1) Пусть H = Ker ϕ, a, b ∈ H.
Тогдаϕ(ab−1) = ϕ(a)ϕ(b−1) = eϕ(b)−1 = ee−1 = e,т.е. ab−1 ∈ H — подгруппа.Нормальность:a ∈ H, x ∈ G1, тогдаϕ(ax) = ϕ(x−1ax) = ϕ(x)−1ϕ(a)ϕ(x) = ϕ(x)−1eϕ(x) = e,т.е. ax ∈ H.(2) Пусть H E G1 — нормальная подгруппа. Положим G2 = G1/H —фактор-группа G1 по H. Определим отображениеτ : G1 → G2 = G1/H,τ (a) = aH ∈ G1/H.По определению фактор-группы это сюръективный гомоморфизм(естественный гомоморфизм).Ker τ = {h ∈ G1 | hH = H} = H.Теорема о гомоморфизмах для группТеорема. Пусть G1, G2 — группы, ϕ : G1 → G2 — гомоморфизм групп.Тогда ϕ(G1) — подгруппа в G2, причемϕ(G1) ≃ G1/Ker ϕ.Доказательство.1) Проверим, что ϕ(G1) ≤ G2:x, y ∈ ϕ(G1) ⇒ x = ϕ(a), y = ϕ(b), a, b ∈ G1xy −1 = ϕ(a)ϕ(b)−1 = ϕ(a)ϕ(b−1) = ϕ(ab−1) ∈ ϕ(G1)2) Обозначим H = Ker ϕ.
Построим ψ : G1/H → ϕ(G1) ≤ G2 по правилуψ(aH) = ϕ(a),a ∈ G1 .H = Ker ϕψ(aH) = ϕ(a),a ∈ G1Легко проверить• Корректность: aH = bH ⇒ ψ(aH) = ψ(bH);• Инъективность: ψ(aH) = ψ(bH) ⇒ aH = bH;• Сюръективность: ψ(G1/H) = ϕ(G1);• Сохранение операции:ψ((aH)(bH)) = ψ(aH)ψ(bH).Пример.G = (C∗; ·) — мультипликативная группа комплексных чисел.H = R∗ — все ненулевые вещественные числа.H E G.Что из себя представляет группа G/H?Смежные классы = прямые, проходящие через начало координатКаждая такая прямая задается углом ϕ ∈ [0, π).Произведение представителей = сумма углов по модулю полуоборота.Итого: G/H — это множество [0, π) с операцией ϕ ∗ ψ = π{(ϕ + ψ)/π}Упражнение.
Докажите, что:• SLn(F ) — нормальная подгруппа в GLn(F );• GLn(F )/SLn(F ) изоморфна мультипликативной группе поля F .(Мультипликативная группа поля: F ∗ = F \ {0} по умножению)Упражнение. Докажите, что:• H = {z ∈ C | |z| = 1} — нормальная подгруппа в группе C∗;• Опишите фактор-группу C∗/H.9. Кольца и поляПустьR = (R; +, ·)— алгебраическая система типа (2, 2), т.е.+ : R × R → R,· : R × R → R,(a, b) 7→ a + b;(a, b) 7→ a · b = abR = (R; +, ·)Эта система называется (ассоциативным) кольцом, если:• (R; +) — абелева группа(в аддитивной записи ее единичный элемент обозначается 0,обратный к x – через −x);• (R; ·) — полугруппа;• Выполнены тождества дистрибутивности:a(b + c) = ab + ac,для всех a, b, c ∈ R.(a + b)c = ac + bcЕсли существует элемент e ∈ R такой, чтоea = ae = aдля всех a ∈ R,то говорят, что R — кольцо с единицей.Еслиab = baто R — коммутативное кольцо.для всех a, b ∈ R,Простейшие свойства колец.Пусть R = (R; +, ·) — кольцо.• a0 = 0a = 0 для всех a ∈ R;• (−a)b = a(−b) = −(ab);Примеры.(0) R = {0} — тривиальное кольцо;(1) (Z; +, ·) — кольцо целых чисел;(2) F = Q, R, C — кольца относительно обычных операций над числами;(3) Если R = (R; +, ·) — кольцо, то множество матриц Mn(R) размераn × n с компонентами из R — кольцо относительно введенных ранее(для матриц над полем) операций сложения и умножения матриц.Это — кольцо матриц размера n над R;(4) Если M — множество, R = (R; +, ·) — кольцо.
МножествоM R = {f | f : M → R}всех отображений из M в R является кольцом относительно операций(f + g)(m) = f (m) + g(m),для f, g ∈ M R, m ∈ M .(f g)(m) = f (m)g(m)(5) (Кольцо вычетов по модулю m)Z – кольцо целых чисел, m ∈ N – натуральное число.Рассмотрим mZ = {mq | q ∈ Z} — подгруппа в группе (Z; +).Обозначим через Zm фактор-группу Z/mZ(относительно операции +):Zm = {ā | a ∈ Z},ā = {x ∈ Z | x = a + mq, q ∈ Z}.Операция + на (аддитивной) фактор-группе задана правиломā + b̄ = a + b.Введем операцию умножения на Zm:āb̄ = ab,a, b ∈ Z(?) Корректность:ā1 = ā2, b̄1 = b̄2 ⇐⇒ a1 = a2 + mq, b1 = b2 + mt, q, t ∈ Za1b1 = (a2 + mq)(b2 + mt) = a2b2 + m |qb2 + a{z2 t + mqt}ZАссоциативность и дистрибутивность очевидны.Система (Zm; +, ·) является конечным коммутативным кольцом сединицей, называется кольцом вычетов по модулю m.Zm = {0̄, 1̄, .
. . , m − 1} — все остатки (вычеты) при делении на m(6) (Подкольцо данного кольца)Пусть R = (R; +, ·) — кольцо, ∅ 6= S ⊂ R — подмножество.Если для любых a, b ∈ Sa + b ∈ S,−a ∈ S,ab ∈ S,то S относительно индуцированных операций (тех же, что в R)является кольцом, которое называется подкольцом в R.(7) (Гомоморфный образ кольца)Пусть (R; +, ·) — кольцо, (S; ⊕, ⊙) — другое кольцо.Если ϕ : R → S — такое отображение, чтоϕ(a + b) = ϕ(a) ⊕ ϕ(b),ϕ(ab) = ϕ(a) ⊙ ϕ(b),(∗)для всех a, b ∈ R, то ϕ(R) ⊆ S — кольцо относительно индуцированныхопераций ⊕, ⊖, ⊙.Кольцо ϕ(R) называется гомоморфным образом кольца Rϕ:R→Sгомоморфизм колец:ϕ(a + b) = ϕ(a) ⊕ ϕ(b),ϕ(ab) = ϕ(a) ⊙ ϕ(b),(?) Ассоциативность и коммутативность сложения — очевидны;(?) Ассоциативность умножения — очевидна;(?) Дистрибутивность — очевидна;(?) Существование нуляϕ(0) = 0 ∈ S — нейтральный по сложению в S:ϕ(x) ⊕ ϕ(0) = ϕ(x + 0) = ϕ(x)(?) Существование обратного по сложению:ϕ(x) ⊕ ϕ(−x) = ϕ(x − x) = ϕ(0) = 0(∗)Алгебра над полем F(= Кольцо + векторное пространство)Пусть F — некоторое поле.Кольцо R = (R; +, ·) называется алгеброй над полем F , если Rдополнительно снабжено унарными операциями α̇ : R → R, α ∈ F ,α̇ : x 7→ αx,x ∈ R,такими, что• (R; +, α̇) — векторное пространство;• Операция · : R × R → R является билинейным отображением.Например, Mn(F ) — алгебра над F .Кольцо формальных степенных рядовПусть R — кольцо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
