1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

h iТогда (x, y) ∈ ab ⇒ ay = bx ⇒h i(cy − dx)b = bcy − dbx = bcy − day = bcy − bcy = 0 ⇒ cy = dx ⇒ (x, y) ∈ dc .h ih icОбратное аналогично: (x, y) ∈ d ⇒ (x, y) ∈ abh iРассмотрим множество всех классов вида ab : aQ(R) =: (a, b) ∈ R × R∗ ,bНа множестве Q(R) определим алгебраические операции +, ·:acad + bc+=bdbd aca c=b dbd (?) Корректность (обоих операций)Пусть"#"#"a1a2=,b1b2#"#c1c2=.d1d2• Сложение:(?)"#"a 1 d 1 + b 1 c1a d + b 2 c2= 2 2b1 d1b2 d2#Проверим:(a1d1 + b1c1)(b2d2) = a1b2d1d2 + b1b2c1d2 = a2b1d1d2 + b1b2c2d1с другой стороны,(a2d2 + b2c2)(b1d1) = a2b1d1d2 + b1b2c2d1— они равны;Пусть"#"#""#a2a1=,b1b2#"#c1c2=.d1d2• Умножение:(?)"a 1 c1a 2 c2=b1 d1b2 d2#Проверим:(a1c1)(b2d2) = (a1b2)(c1d2) = (a2b1)(c2d1)с другой стороны,(a2c2)(b1d1) = a2b1c2d1— они равны;(?) Множество Q(R) относительно введенных операций образует поле• (Q(R); +) — абелева группа– + ассоциативно и коммутативно;h i– 0 = 0b , b ∈ R∗, нейтральный по сложению.h ih ia– b + −ab = 0;• (Q(R); ·) — коммутативная полугруппа(т.

е. умножение коммутативно и ассоциативно);• Дистрибутивность;• Есть нейтральный по · элемент:e=a, a ∈ R∗ ;a • Любой ненулевой элемент обратим: −1abb=.a Построенное поле обозначается Q(R).(?) Это поле частных кольца R:• Существует инъективный гомоморфизм колец f : R → Q(R)ab, b ∈ R∗ — любой;f : a 7→b• Любой элемент α ∈ Q(R) может быть представлен в видеf (a)f (b)−1, где a, b ∈ R, b 6= 0aab=bb b= f (a)f (b)−1.bbТеорема (о минимальности поля частных).Если R — подкольцо поля F , то Q(R) изоморфно некоторому подполюполя F .Доказательство.R ⊆ F — коммутативная область целостности.Рассмотрим следующее отображениеϕ : Q(R) → Fa7→ ab−1bЭто корректно определенный инъективный гомоморфизм колец.ϕ: Напомним, что понятие поля частных определяется свойствами.Конструкция Q(R) дает один пример поля частных.Есть ли другие?Следствие.

Поле частных для любой области целостностиединственно с точностью до изоморфизма.Доказательство.Допустим, F — некоторое поле частных области R. Для упрощенияобозначений положим R ⊆ F .ТогдаfϕR → Q(R) → F ,гдеab,f (a) =bт.е.aϕ() = ab−1,bϕ(f (a)) = a, a ∈ R.но любой элемент из F представим в виде ab−1 (a ∈ R, b ∈ R∗) и поэтомулежит в ϕ(Q(R)).Значит, ϕ — сюръективно и поля Q(R), F изоморфны.Примеры.F — поле.(1) R = F [x] — кольцо многочленов (область целостности)Q(F [x]) = F (x)поле рациональных функций над F от переменной x.(2)R = F [[x]] — кольцо степенных рядов (область целостности)Q(F [[x]]) = F ((x))поле рядов Лорана над F от переменной x:F ((x)) = {x−ma−m + · · · + a0 + a1x + · · · | ai ∈ F, m ∈ Z}.(?) Для любых f, g ∈ F [[x]], g 6= 0, найдутся h ∈ F [[x]], m ≥ 0 такие, что" #hf= mgxДействительно, пустьg = amxm + am+1xm+1 + . . .

,am 6= 0.Тогдаg1 = am + am+1x + . . . обратим в F [[x]],Следовательно,h = f g1−1 ∈ F [[x]]— искомый: hg = (f g1−1)(xmg1) = f xm.g = xm g 1 .9. Кольца и поля (продолжение)Простые поляПоле, не содержащее собственных подколец, являющихся полями(подполей), называется простым полем.Примеры(1) Поле рациональных чисел Q — простое:Если R ⊂ Q — подполе, то 1 ∈ R ⇒ 1 + 1 + · · · + 1 ∈ R ⇒ N ⊆ R ⇒ Z ⊆ R⇒ Q = R (q = nm−1).(2) Кольцо Zp (для простого числа p) является простым полем:если R — подполе, то e = 1̄ ∈ R ⇒ e + e + · · · + e = n̄ ∈ R для всехn = 1, 2, .

. . , p − 1, 0̄ ∈ R по определению, т.е. R = Zp.Теорема (о простом подполе).(1) Пусть F = (F ; +, ·) – простое поле. Тогда F изоморфнолибо Q, либо Zp для некоторого простого p.(2) Любое поле содержит единственное простое подполе.Доказательство.(1) Пусть e — единица поля F .Построим отображение θ : Z → F :θ : Z ∋ n 7→ ne =e + e + · · · + e (n раз),0,−(e + e + · · · + e) (|n| раз),(ne) + (me) = (n + m)en > 0;n = 0;n < 0.аналог функции an на группеОчевидно,(ne) · (me) = (nm)eдля всех n, m ∈ Z(из дистрибутивности).Следовательно, θ : Z → F — гомоморфизм колец.Его образ E = θ(Z) = hei образует циклическую подгруппу в аддитивнойгруппе (F ; +) поля F .Возможны два случая: E бесконечна или E конечна.Случай 1: E = hei ≤ (F ; +) бесконечна.Тогда e — элемент бесконечного порядка в группе E и, следовательно,θ : Z → F — инъективное отображение.Значит, поле F содержит подкольцо (= E), изоморфное кольцу Z.Поле Q является полем частных целостного кольца Z.Как показано в доказательстве единственности поля частных,если F содержит подкольцо, изоморфное кольцу Z,то F содержит подполе, изоморфное полю Q.Поскольку F простое, оно обязано совпадать с этим подполем.Значит, F ≃ QСлучай 2: E = hei ≤ (F ; +) конечна.(?) Порядок элемента e в аддитивной группе E — простое число:• |e| =6 1 т.к.

e 6= 0;• Если |e| = nm — составное, то (ne)(me) = (mn)e = 0 ⇒F содержит делители нуля.Значит, |e| = p — простое.Вычислим Ker θ: θ(n) = ne = 0 ⇐⇒ n = pq, q ∈ Z ⇐⇒ n ∈ pZKer θ = pZпо теореме о гомоморфизмахθ(Z) ≃ Z/pZ = Zp— подполе в поле F ⇒ F ≃ Zp.(2) Пересечение всех подполей данного поля F — наименьшее подполев F . Оно содержится как подполе в любом другом подполе поля F ⇒простое подполе единственно.Характеристика поляПусть F — поле, F0 — его простое подполе.По теореме о простом подполе F0 изоморфно либо Q, либо Zp дляпростого p. Говорят, что• F — поле характеристики нуль, если F0 ≃ Q;• F — поле характеристики p, если F0 ≃ Zp.Следствие. Любое конечное поле содержит pn элементов, где p –простое число.|F | = N < ∞ ⇒ F0 ≃ ZpF — конечномерное векторное пространство над F0Пусть dimF0 F = n ⇒ N = pn.Пример.Рассмотрим поле Z2 = {0̄, 1̄} и несколько матриц из M2(Z2):O=!0̄ 0̄,0̄ 0̄E=!1̄ 0̄,0̄ 1̄I=!1̄ 1̄,1̄ 0̄I +E =!0̄ 1̄.1̄ 1̄Нетрудно проверить, что F = {O, E, I, I + E} — поле из четырехэлементов.(?) Для любого ли простого p и натурального n найдется конечноеполе F , состоящее из pn элементовОтвет: «да», но чтобы его получить, надо глубже изучить кольцомногочленов.10.

Кольцо многочленов от однойпеременнойПусть F — некоторое поле, F [x] — кольцо многочленов от однойпеременной x над F .F [x] = {f = a0 + a1x + · · · + anxn | ai ∈ F, n ≥ 0}Нулевой многочлен: f = 0 ⇐⇒ ai = 0степень многочлена f 6= 0: наибольшее такое n ≥ 0, что an 6= 0n = deg f ;Степень нулевого многочлена не определена;(или полагается равной −∞)deg(f + g) ≤ max{deg f, deg g},deg(f g) = deg f + deg gАлгоритм деления с остаткомТеорема.

Пусть f, g ∈ F [x], g 6= 0. Тогда существуют единственныеq, r ∈ F [x] такие, чтоf = qg + r, причем deg r < deg g (или r = 0).q — частное от деления f на g;r — остаток от деления f на g.Доказательство.Существование: deg f < deg g ⇒ q = 0, r = f .n = deg f ≥ m = deg g: Проведем индукцию по n − mf = a 0 + · · · + a n xn ,g = b 0 + · · · + b m xmРассмотримn−m )g :f1 = f − (anb−1m xdeg f1 < deg f.По предположению индукции,f 1 = q1 g + r 1 ,deg r < deg g.Тогдаn−m + q )g + r−1 n−m + q , r = r .f = (anb−11111 ⇒ q = an b m xm x(?) Единственность:Допустим, f = q1g + r1 = q2g + r2, deg r1, deg r2 < deg gТогдаq1g − q2g = r2 − r1 ⇒ g(q1 − q2) = r2 − r1Рассмотрим степени:deg g(q1 − q2) = deg g + deg(q1 − q2),с другой стороныdeg g(q1 − q2) = deg(r2 − r1) ≤ max{deg r1, deg r2} < deg g.Следовательно, deg(q1 − q2) = −∞, т.е. q1 = q2 ⇒ r1 = r2.Следствие.В кольце F [x] любой идеал порожден одним многочленом.(Кольцо многочленов над полем — кольцо главных идеалов.)Доказательство.I E F [x],(?) I = (f ) для некоторого f ∈ F [x](1) I = {0} ⇒ I = (0).(2) I 6= {0} ⇒ выберем 0 6= f ∈ I наименьшей степени.

Тогдаf ∈ I ⇒ (f ) ⊆ I.С другой стороны, любой h ∈ I можно поделить с остатком на f :h = f q + r ⇒ r = h − f q ∈ I, deg r < deg fr = 0 в силу минимальности степени f . Поэтому h = f q ∈ (f ) ⇒ I ⊆ (f ).Корни многочленаПусть L — поле, F ⊆ L — подполе.Тогда любой α ∈ L определяет гомоморфизм колецεα : F [x] → Lпо правилуεα(a0 + a1x + · · · + anxn) = a0 + a1α + · · · + anαn = f (α) ∈ LПусть f ∈ F [x], f 6= 0.Говорят, что α ∈ L — корень многочлена f ∈ F [x], если εα(f ) = 0.Теорема Безу.Пусть L — некоторое поле. Для любого f ∈ L[x] и для любого α ∈ Lостаток от деления f на x − α равен f (α) ∈ L.Доказательство.εαf = (x − α)q + r 7→f (α) = 0 · q(α) + r(α).Но deg r < deg(x − α) = 1 ⇒ r не содержит x (константа).Поэтому r = r(α) = f (α).Следствие.α — корень f ⇐⇒ x − α без остатка делит f .Говорят, что α — корень кратности k многочлена f (k ≥ 1),если (x − α)k делит f , но (x − α)k+1 не делит f .Следствие.

Количество корней многочлена с учетом кратности непревосходит его степени.(!) На самом деле всегда строго равняетсяНеприводимые многочленыПусть F — поле, f (x) — многочлен, deg f > 0 (не константа).Говорят, что f — неприводимый (неразложимый, простой) над F ,если его нельзя представить в виде f = f1f2 где f1, f2 ∈ F [x],0 < deg f1, deg f2 < deg f .Примеры.• Многочлен 1-й степени неприводим над любым полем;• Многочлен 2-й и 3-й степени неприводим над F ⇐⇒ не имееткорней в F ;• Многочлен x4 + 4 приводим над Q;• Многочлен x4 − 2 неприводим над Q (упражнение).Любой многочлен f ∈ F [x], deg f > 0, можно представить в видепроизведения неприводимых над F многочленов.Теорема. Многочлен f ∈ F [x] неприводим над F тогда и только тогда,когда идеал (f ) E F [x] — максимальный.Доказательство.(?)f 6= f1f2 ⇐⇒ (f ) E F [x] max⇒(?) (f ) собственный:От противного, (f ) = F [x] ⇒ 1 ∈ (f ) ⇒ 1 = f q, q ∈ F [x],0 = deg 1 = deg f + deg q > 0— противоречие.Мораль: несобственный идеал в F [x] порождается только (ненулевой)константой.(?) Максимальность:Допустим, (f ) ⊆ J E F [x].F [x] — кольцо главных идеалов, поэтому J = (g), g ∈ F [x];f ∈ (f ) ⊆ (g) ⇒ f = gq : deg f = deg g + deg q.Если 0 6= J = (g) 6= F [x], то deg g > 0 ⇒ deg q = deg f − deg g < deg f .Допустим, что deg q > 0.

Характеристики

Список файлов лекций