1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Рассмотрим множество R[[x]] всех бесконечныхпоследовательностей (an)n≥0, an ∈ R. Каждую такуюпоследовательность запишем в виде формальной бесконечной суммы(формального ряда)a 0 + a 1 x + a 2 x2 + . . .ai ∈ R.Символ x называется формальной переменной.Определим операции + и · на множестве R[[x]]: дляf = a 0 + a 1 x + a 2 x2 + . . . ,g = b 0 + b 1 x + b 2 x2 + . . .положимf + g = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 + . . . ,f g = c0 + c1 x + c2 x2 + . .

. ,ck =kXi=0aibk−iНапример,(a0 + a1x + a2x2 + . . . )(b0 + b1x + b2x2 + . . . )= a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2 + . . .Иначе говоря,ck =Xi+j=kai b j(?) Множество R[[x]] относительно введенных операций являетсякольцом.Очевидно, что (R[[x]]; +) — абелева группа;Проверим ассоциативность умножения:f = a0 + a1 x + . . . ,g = b0 + b1 x + .

. . ,(f g)h = u0 + u1x + u2x2 + . . . ,uk =h = c0 + c 1 x + . . .X(aibj )cli+j+l=kf (gh) = v0 + v1x + v2x2 + . . . ,vk =Xi+j+l=kДействительно, (f g)h = f (gh).ai(bj cl )Проверим выполнение свойств дистрибутивности:(f + g)h = u0 + u1x + . . . ,uk =X(ai + bi)cji+j=kf h + gh = v0 + v1x + . . . ,vk =Xa i cj +i+j=kДействительно, (f + g)h = f h + gh.Левая дистрибутивность проверяется аналогично.Xi+j=kb i cjПостроенное кольцо R[[x]] = (R[[x]]; +, ·) называется кольцомформальных степенных рядов над кольцом R от формальнойпеременной x.Если R — поле, то R[[x]] — алгебра над R:f = a0 + a1x + · · · ⇒ α̇(f ) = αf = αa0 + αa1x + . .

.Все требуемые свойства легко проверяются (вытекают из аксиомкольца ввиду того, что R — подкольцо в R[[x]]).9. Кольца и поля (продолжение)Кольцо многочленовПодмножество R[x] ⊂ R[[x]], состоящее из всех техпоследовательностей, в которых содержится только конечное числоненулевых элементов, замкнуто относительно операций +, ·: например,f = a 0 + a 1 x + · · · + a n xn , g = b 0 + b 1 x + · · · + b m xmf g = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2 + · · · + (anbm)xn+mКроме того, если f ∈ R[x], то −f ∈ R[x].Следовательно, R[x] = (R[x]; +, ·) образует кольцо(подкольцо в R[[x]]).R[x] называется кольцом многочленов над кольцом R от формальнойпеременной x.Если R — поле, то R[x] — алгебра над R:Кольцо с делением (тело)Если R = (R; +, ·) — нетривиальное кольцо с единицей eи для любого a ∈ R, a 6= 0, существует обратный по умножению элементa−1 ∈ R такой, чтоa−1a = aa−1 = e,то R называется кольцом с делением (телом).Коммутативное кольцо с делением = поле.(?) Если R1 и R2 — изоморфные кольца, то:R1 – тело (поле) ⇒ R2 – тело (поле).Примеры.(1) Кольцо кватернионовРассмотрим кольцо M2(C) и выберем в нем подмножествоH=(z w−w̄ z̄!| w, z ∈ C)(z = a + ib ⇒ z̄ = a − ib — комплексное сопряжение)(?) H — подкольцо в M2(C).A=!z1 w 1,−w̄1 z̄1B=z2 w 2−w̄2 z̄2!A + B, −A ∈ H,AB =z1 w 1−w̄1 z̄1!z2 w 2−w̄2 z̄2!=z1z2 − w̄2w1z1w2 + w1z̄2−w̄1z2 − z̄1w̄2 −w̄1w2 + z̄1z̄2!∈HH называется кольцом кватернионовЛюбой элемент из H может быть представлен следующим образом:Пустьz = a + ib,w = c + idТогдаh==aa, b, c, d ∈ R!z w−w̄ z̄!=!a + ib c + id−c + id a − ib!!!1 0i 00 10 i+b+c+d0 10 −i−1 0i 0Традиционные обозначения (Гамильтон, 1843):h = a 1 + b i + cj + d k ,1=!1 0,0 1i=!i 0,0 −ij=a, b, c, d ∈ R0 1,−1 0i2 = j2 = k2 = ijk = −1В частности,ij = k,!ji = −kk=0 ii 0!Кольцо H является телом:z w−w̄ z̄!−11z̄ −w= 2|z| + |w|2 w̄ zпри z, w 6= 0.Но H не является полем (ij 6= ji).!∈H(2) (Матричная конструкция поля C)Множество всех матриц вида!a b,−b aa, b ∈ R,образует подкольцо в M2(R), являющееся полем.Проверим замкнутость по умножению:a b−b a!!c dac − dbbc + ad=−d c−(bc + ad) ac − db!Отсюда следует также коммутативность умножения.(!) Это поле изоморфно полю комплексных чиселa + ib 7→a b−b a!— изоморфизм колец.Делители нуля и области целостностиПусть R = (R; +, ·) — кольцо.Элемент a ∈ R называется левым делителем нуля, если a 6= 0 исуществует b ∈ R, b 6= 0, такой, что ab = 0.Элемент a ∈ R называется правым делителем нуля, если a 6= 0 исуществует b ∈ R, b 6= 0, такой, что ba = 0.Говорят, что a — делитель нуля в кольце R, если a — левый или правыйделитель нуля в R.Нетривиальное кольцо, не содержащее делителей нуля, называетсяобластью целостности.Упражнение.

Докажите, что если R — область целостности, то R[[x]]— область целостности, а Mn(R) является областью целостноститолько при n = 1.Упражнение. Пусть F – поле. Докажите, что элементf = a0 + a1x + · · · ∈ F [[x]] имеет обратный по умножению в F [[x]] тогда итолько тогда, когда a0 6= 0.Предложение. Кольцо с делением является областью целостности.Доказательство. Если a — левый делитель нуля, тоab = 0 ⇒ 0 = (ab)b−1 = ae = a— противоречие.Аналогично приводится к противоречию допущение, что есть правыйделитель нуля.Следовательно, кольцо R является кольцом с делением тогда и толькотогда, когда(R \ {0}; ·)— группа (мультипликативная группа R)Теорема.

Если R — конечная коммутативная область целостности, тоR — поле.Доказательство.(?) Наличие единицы по умножениюДля любого a ∈ R, a 6= 0, построим отображениеLa : R → R,La(x) = ax, x ∈ R.Отображение La инъективно:La(x) = La(y) ⇐⇒ ax = ay ⇐⇒ ax − ay = 0⇐⇒ a(x − y) = 0 ⇐⇒ x − y = 0 ⇐⇒ x = yИнъективное отображение конечного множества в себя сюръективно.Следовательно, найдется x ∈ R такое, что ax = a (!! для одного a ∈ R).Тогда для любого y ∈ RLa(xy) = axy = ay = La(y) ⇐⇒ xy = yСледовательно, x = e — единичный элемент в R.(?) Существование обратногоДля любого a 6= 0 отображение La сюръективно ⇒ La(b) = e принекотором b ∈ R: b = a−1.Вспомним про кольца вычетов по модулю m.Следствие.Кольцо Zm является полем тогда и только тогда, когда m — простое.Доказательство.Натуральное число m — либо простое, либо составное, либо m = 1Если m = 1, то mZ = Z ⇒ Zm = {0̄} — тривиальное кольцо;Если m — составное, то Zm содержит делители нуля:m = qs ⇒ q̄s̄ = qs = m̄ = 0̄,причем 1 ≤ q, s < m ⇒ q̄ 6= 0̄, s̄ 6= 0̄;Если m — простое, то Zm не содержит делителей нуля:q̄s̄ = 0̄ ⇐⇒ qs делится на mпростое m делит произведение q и s ⇐⇒ m делит q или m делит s,т.

е. q̄ = 0̄ или s̄ = 0̄.Идеал кольцаПусть R = (R; +, ·) — кольцо, I ⊆ R — непустое подмножество.I называется идеалом кольца R, если:• a, b ∈ I ⇒ a + b ∈ I;• a ∈ I ⇒ −a ∈ I;• a ∈ I, x ∈ R ⇒ ax, xa ∈ I.Обозначение:IERПересечение идеалов снова является идеалом.Примеры(1) I = {0} — идеал любого кольца (нулевой);(2) I = R — идеал любого кольца (несобственный);(3) I = mZ E Z;(4) I = {f ∈ R[x] | f (0) = 0} E R[x];√(5) I = {f ∈ Q[x] | f ( 2) = 0} E Q[x];(6) Пусть ϕ : R → S — гомоморфизм колец. Рассмотрим ядро этогогомоморфизмаKer ϕ = {a ∈ R | ϕ(a) = 0}.Тогда I = Ker ϕ E R.Упражнение.

Опишите все идеалы в кольце с делением.Упражнение. Опишите все идеалы в кольце матриц над полем.Фактор-кольцоВсякий идеал I E R является подгруппой в абелевой группе (R; +)Рассмотрим соответствующую фактор-группуR/I = {a + I | a ∈ R},a + I = {a + u | u ∈ I}и определим на ней операцию умножения:(a + I)(b + I) = ab + I(?) Корректность:a1 + I = a2 + I ⇐⇒ a1 − a2 ∈ I,b1 + I = b2 + I ⇐⇒ b1 − b2 ∈ Ia1b1 − a2b2 = a1b1 − a1b2 + a1b2 − a2b2 = a1(b1 − b2) − (a1 − a2)b2 ∈ I,т. е.(a1 + I)(b1 + I) = a1b1 + I = a2b2 + I = (a2 + I)(b2 + I).Очевидно, (R/I; +, ·) — кольцо (аксиомы выполнены напредставителях).Это кольцо называется фактор-кольцом кольца R по идеалу I.• Отображение τ : R → R/I, заданное правиломτ (a) = a + I,a ∈ R,— гомоморфизм колец (естественный гомоморфизм);• Если R — коммутативное кольцо, то R/I коммутативно;• Если R — кольцо с единицей, то R/I тоже кольцо с единицей.Пример.Zm = Z/mZкольцо вычетов по модулю m — это фактор-кольцо кольца целых чиселпо идеалу всех чисел, кратных m.9.

Кольца и поля (продолжение)Теорема о гомоморфизмах для колецПусть R, S — кольца, ϕ : R → S — гомоморфизм колец:ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y),ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y)для всех x, y ∈ R.Ker ϕ = {a ∈ R | ϕ(a) = 0}.Ker ϕ — идеал в R, ϕ(R) — подкольцо в S.Теорема.Кольцо ϕ(R) изоморфно фактор-кольцу R/Ker ϕ.Доказательство.Обозначим Ker ϕ = I.По теореме о гомоморфизмах для групп R/I как группа по +изоморфна ϕ(R). Напомним, что изоморфизм устанавливаетсяправиломa + I 7→ ϕ(a),a ∈ R.Очевидно, что это отображение сохраняет операцию умножения:(a + I)(b + I) = ab + I 7→ ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)следовательно, является изоморфизмом колец.Идеал кольца, порожденный множествомПусть R — кольцо, M ⊆ R — подмножество.Наименьший идеал кольца R, содержащий множество M , равенпересечению всех идеалов, содержащих M .Обозначается: (M )Предложение.Если R — коммутативное кольцо с единицей, M ⊆ R, то(M ) = {a1x1 + · · · + anxn | ai ∈ M, xi ∈ R, n ≥ 0}(∗)Доказательство. Правая часть (∗) — идеал содержащий M , поэтому ⊆.С другой стороны, всякий идеал, содержащий M , содержит такжеa1x1 + · · · + anxn, ai ∈ M , xi ∈ R, поэтому ⊇.Примеры.(1) I = mZ E Z порожден M = {m}, обозначается (m);Любой идеал в Z порожден одним элементом.(2) I = ({20, 12}) = (4) E Z.Максимальные идеалы и поля вычетовПусть R — кольцо.

Собственный идеал I кольца R называетсямаксимальным, еслиI ⊆ J E R ⇒ J = I или J = R(нет собственных бóльших идеалов)Пример.В кольце целых чисел I = nZ ⊆ J = mZ ⇐⇒ m делит nПоэтому I — максимальный идеал ⇐⇒ n — простое число.Теорема.Идеал I коммутативного кольца R с единицей e являетсямаксимальным тогда и только тогда, когда R/I — поле.Такое поле вида R/I называется полем вычетов кольца R по модулюидеала I.Доказательство.(?)R/I — поле ⇐⇒ I максимальный⇒ :Поле нетривиально ⇒ I 6= R.Допустим, I не максимальный, тогда найдется J E R, J 6= R, I ⊂ J.a ∈ J \ I,x̄ = x + I = (a + I)−1 ∈ R/I.Тогда ax + I = e + I ⇒ ax − e ∈ I ⊂ J ⇒ e ∈ J.Поэтому для любого b ∈ Rb = be ∈ J ⇒ R = J— противоречиеR/I — поле ⇐⇒ I максимальный(?)⇐ :R/I — коммутативное кольцо.a + I 6= 0 ⇐⇒ a ∈/Ia ∈ J = {xa + u | x ∈ R, u ∈ I} E RПоэтому I ⊂ J ⇒ J = R, в частности,e ∈ J = R ⇒ e = xa + u для некоторого x ∈ R ⇒ xa + I = e + I = ēт.е. x + I = (a + I)−1.Поле частныхПусть R = (R; +, ·) — коммутативная область целостности.Поле F называется полем частных кольца R, если:• Существует инъективный гомоморфизм колец f : R → F(R изоморфно подкольцу поля F );• Любой элемент α ∈ F может быть представлен в виде f (a)f (b)−1,где a, b ∈ R, b 6= 0.Например, Q — поле частных кольца Z.Конструкция поля частныхR — коммутативная область целостностиR∗ = R \ {0}Введем обозначение: для (a, b) ∈ R × R∗ пустьa= {(x, y) ∈ R × R∗ | ay = bx}.b Заметим, чтоac∩6= ∅ ⇒bd ac=.bd Действительно,a(x, y) ∈⇐⇒ ay = bxb ⇒ bcy = bdx = dbx = day ⇒ bc = ad.c⇐⇒ cy = dx(x, y) ∈dТеперь: имеем bc = ad.

Характеристики

Список файлов лекций