1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

, vn)⇐⇒L(v1, v2, . . . , vn) = L(v2, . . . , vn).Действительно,v1 =nXβk vk ,βk ∈ Fk=2⇓α 1 v1 + α 2 v2 + · · · + α n vn= α1=nXk=2nXβk vk + α 2 v2 + · · · + α n vnk=2(α1βk + αk )vk ∈ L(v2, . . . , vn).Определение. Пусть V — в.п. над F . Набор векторов v1, . . . , vn ∈ Vпорождает пространство V , еслиV = L(v1, . . . , vn).В этом случае пространство V (линейно) порождается наборомv1, . . . , vn (V натянуто на v1, . . .

, vn).Примеры.• L(∅) = {0} (формальное обобщение для n = 0);• Mm,n(F ) = L(e11, e12, . . . , e1n, . . . , . . . , em1, . . . , emn);• В частности, F n = L(e1, . . . , en), где ei = ei1 ∈ F n, i = 1, . . . , n;• C = L(1, i) над F = R.• Пространство V = R над F = Q не порождается никакимконечным набором векторов;• То же самое верно для V = C p(R) над F = R.4. Векторные пространства (продолжение)Определение. Пусть V — в.п. над F . Набор векторов v1, . . . , vn ∈ Vпорождает пространство V , еслиV = L(v1, . .

. , vn).В этом случае пространство V (линейно) порождается наборомv1, . . . , vn (V натянуто на v1, . . . , vn).Примеры.• L(∅) = {0} (формальное обобщение для n = 0);• Mm,n(F ) = L(e11, e12, . . . , e1n, . . . , . . . , em1, . . . , emn);• В частности, F n = L(e1, .

. . , en), где ei = ei1 ∈ F n, i = 1, . . . , n;• C = L(1, i) над F = R.• Пространство V = R над F = Q не порождается никакимконечным набором векторов;• То же самое верно для V = C p(R) над F = R.C p(R) — множество p раз непрерывно дифференцируемых функцийОпределение.Векторное пространство V над полем F называется конечномерным,если существуют такие v1, . . . , vn ∈ V , что V = L(v1, . . . , vn).В противном случае V называется бесконечномерным.Понятие линейной зависимостиОпределение.Набор векторов v1, . . .

, vn ∈ V называется линейно независимым еслиnXα k vk = 0⇐⇒α1 = α2 = · · · = αn = 0k=1(линейная комбинация равна нулю только тогда, когда она тривиальна).В противном случае векторы v1, . . . , vn линейно зависимы.Примеры.1. V = R2 над F = R.Вектор (a b) ∈ R2 можно отождествить с направленным отрезком→OA, где O — начало декартовой системы координат, A — точкас координатами (a, b).→v1 = OA→v2 = OB→→Набор v1, v2 линейно независимый ⇐⇒ OA и OB неколлинеарны(точки O, A, B не лежат на одной прямой).2. Аналогично, векторы V = R3 соответствуют направленнымотрезкам в трехмерном пространстве с декартовой системойкоординат.→v1 = OA→v2 = OB→v3 = OC→→→Набор v1, v2, v3 линейно независимый⇐⇒OA, OB, OCнекомпланарны (точки O, A, B, C не лежат в одной плоскости).Лемма. Если v1, .

. . , vn при n > 1 линейно зависимы, то один из этихвекторов лежит в линейной оболочке остальных.Доказательство.α1v1 + · · · + αivi + · · · + αnvn = 0,αi 6= 0α1v1 + · · · + αi−1vi−1 + αi+1vi+1 + · · · + αnvn = −αivi−1−1−1αv−···−ααv−ααv−···−αvi = −α−111i−1i−1i+1i+1i α n vniiiПредложение Пусть V — конечномерное в.п. над полем F ,V = L(v1, . . . , vn). Тогда для любого s > n любые s векторов из Vлинейно зависимы.Доказательство.

Рассмотрим b1, . . . , bs ∈ V .По определению b1, . . . , bs ∈ L(v1, . . . , vn) = V :b1 = α11v1 + · · · + α1nvn,b2 = α21v1 + · · · + α2nvn,...bs = αs1v1 + · · · + αsnvn,для некоторых αij ∈ F , i = 1, . . . , s, j = 1, . . . , n.(?) Векторы b1, . . . , bs линейно зависимыНайдем γ1, . . . , γs ∈ F такие, чтоγ1 b 1 + · · · + γs b s = 0— нетривиальная линейная комбинация.Рассмотрим (однородную!) систему линейных уравненийα x + α21x2+ . .

.+ αs1xs = 0, 11 1...α1nx1+ α2nx2+ . . .+ αsnxs = 0,Напомним, что здесь n < s — число уравнений меньше числанеизвестных.После приведения к ступенчатому виду по методу Гаусса число главныхнеизвестных ≤ числа уравнений = n < число всех неизвестных ⇒ всистеме есть свободные неизвестные ⇒ решение системы неединственно.Найдется ненулевое решение x1 = γ1, . .

. , xs = γs:(γ1, . . . , γs) 6= (0, . . . , 0).Но тогдаγ1 b 1 + · · · + γs b s ===sXγi b i =i=1s XnXi=1 j=1n XsXsXi=1γi nXj=1αij vj γiαij vjγiαij vjj=1 i=1nsXX=γiαij vj = 0.j=1 i=1{z}|0Базис и размерность векторного пространстваОпределение. Пусть V — в.п. над полем F .Набор векторов v1, . . . , vn ∈ V называется базисом в.п.

V , если• v1, . . . , vn линейно независимы;• L(v1, . . . , vn) = V .Базис и размерность векторного пространстваОпределение. Пусть V — в.п. над полем F .Набор векторов v1, . . . , vn ∈ V называется базисом в.п. V , если• v1, . . . , vn линейно независимы;• L(v1, . . . , vn) = V .Замечание. Линейно независимый набор v1, .

. . , vn ∈ V являетсябазисом в.п. V тогда и только тогда, когда• для любого u ∈ V векторы v1, . . . , vn, u линейно зависимы.Базис и размерность векторного пространстваОпределение. Пусть V — в.п. над полем F .Набор векторов v1, . . . , vn ∈ V называется базисом в.п. V , если• v1, . . .

, vn линейно независимы;• L(v1, . . . , vn) = V .Замечание. Линейно независимый набор v1, . . . , vn ∈ V являетсябазисом в.п. V тогда и только тогда, когда• для любого u ∈ V векторы v1, . . . , vn, u линейно зависимы.⇒ : v1, . . . , vn — базис, u ∈ V = L(v1, . . .

, vn) ⇒ u =nPk=1α k vk ⇒α1v1 + · · · + αnvn + (−1)u = 0 — нетривиальная нулевая л.к.⇐ : α1v1 + · · · + αnvn + βu = 0 ⇒ βu = −α1v1 − · · · − αnvn, т.е.u = −β −1α1v1 − · · · − β −1αnvn ∈ L(v1, . . . , vn)Базис и размерность векторного пространстваОпределение. Пусть V — в.п. над полем F .Набор векторов v1, . . . , vn ∈ V называется базисом в.п. V , если• v1, . . . , vn линейно независимы;• L(v1, . . . , vn) = V .Замечание. Линейно независимый набор v1, .

. . , vn ∈ V являетсябазисом в.п. V тогда и только тогда, когда• для любого u ∈ V векторы v1, . . . , vn, u линейно зависимы.Таким образом,базис — это максимальный линейно независимый набор векторов.Теорема.(1) Любое ненулевое конечномерное векторное пространствоV над полем F обладает непустым базисом.(2) Если a1, .

. . , ar и b1, . . . , bs — два базиса пространства V , тоr = s.Доказательство.(1) Пусть V = L(v1, . . . , vn) для некоторых v1, . . . , vn ∈ V .Индукцией по n.Если n = 1, то:• либо v1 = 0 ⇒ V = L(0) = {0} — противоречие;• либо v1 6= 0 ⇒ набор из одного ненулевого вектора всегдалинейно независим.Допустим, теорема доказана для всех пространств, порожденныхn − 1 вектором.Докажем для n векторов:V = L(v1, . .

. , vn)• либо v1, . . . , vn — линейно независимыбазис;⇒это искомый• либо v1, . . . , vn — линейно зависимы ⇒ один из них равенл.к. остальных vi ∈ L(v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn)⇒ V = L(v1, . . . , vn) = L(v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn) и базиссуществует по предположению индукции.Утверждение (1) доказано.Замечание. Построенный в доказательстве базис V = L(v1, . . . , vn)состоит из некоторых векторов vi1 , . . . , vir из исходного набора.(2) Пусть a1, . .

. , ar и b1, . . . , bs — два базиса пространства V .Если r 6= s, то либо r < s, либо r > s.В обоих случаях получаем противоречие с доказанным вышепредложением.Определение.Пусть V — конечномерное в.п. над полем F .Количество векторов в базисе называется размерностьюпространства V (над F ).Обозначение: dim V = dimF VПримеры.• dim{0} = 0 (базис — пустое множество);• dim Mm,n(F ) = mn, (e11, e12, . . . , e1n, .

. . , . . . , em1, . . . , emn — базис);• В частности, dim F n = dim Fn = n;• dimR C = 2 (1, i — базис).Пусть U — подпространство в.п. V .(?) Как связаны dim U и dim V ?Фактор-пространствоПусть V — в.п. над полем F , U — подпространство в.п. V .Обозначимv + U = {v + u | u ∈ U } ⊆ V,v ∈ V.— смежный класс вектора v.Если U фиксировано, то будем также использовать сокращениеv̄ = v + U,v ∈ V.Свойства смежных классов:• v̄1 ∩ v̄2 6= ∅ ⇒ v̄1 = v̄2;[v̄ = V ;•v∈V• v̄1 = v̄2⇐⇒v1 ∈ v̄2⇐⇒v2 ∈ v̄1⇐⇒v1 − v2 ∈ U .Рассмотрим множество всех смежных классовV /U = {v̄ = v + U | v ∈ V }Рассмотрим множество всех смежных классовV /U = {v̄ = v + U | v ∈ V }и определим на нем операции сложения и умножения на скаляр:• v̄1 + v̄2 = v1 + v2,• αv̄ = αv,v1 , v2 ∈ V ;α ∈ F, v ∈ V .Рассмотрим множество всех смежных классовV /U = {v̄ = v + U | v ∈ V }и определим на нем операции сложения и умножения на скаляр:• v̄1 + v̄2 = v1 + v2,• αv̄ = αv,v1 , v2 ∈ V ;α ∈ F, v ∈ V .(??) Корректность?Рассмотрим множество всех смежных классовV /U = {v̄ = v + U | v ∈ V }и определим на нем операции сложения и умножения на скаляр:v1 , v2 ∈ V ;• v̄1 + v̄2 = v1 + v2,α ∈ F, v ∈ V .• αv̄ = αv,(??) Корректность?Сложение:Пусть v̄1 = w̄1, v̄2 = w̄2.

Характеристики

Список файлов лекций