1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

(Ассоциативность)ПустьA = (aij ) ∈ Mm,n(F ), i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , nB = (bjs) ∈ Mn,k (F ), s = 1, . . . , kC = (cst) ∈ Mk,q (F ), t = 1, . . . , qТогдаR = BC = (rjt) ∈ Mn,q (F ),rjt =L = AB = (lis) ∈ Mm,k (F )kXs=1bjscst,lis =nXaij bjsj=1U = A(BC) = AR ∈ Mm,q (F ), V = (AB)C = LC ∈ Mm,q (F )U = (uit), V = (vit)Вычислим uit (U = AR):uit ====nXaij rjt =j=1n XkXj=1 s=1k XnXaij (bjscst) =bjscsts=1n XkX!(aij bjs)cstj=1 s=1(aij bjs)cst!aij bjs cst =j=1{z|lisт.к.

V = LC. Значит U = V .kXaijj=1s=1 j=1nkXXs=1nX}kXs=1liscst = vit(Левая дистрибутивность)ПустьA = (aij ) ∈ Mm,n(F ), i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , nB = (bjs) ∈ Mn,k (F ), s = 1, . . . , kC = (cjs) ∈ Mn,k (F )R = AB ∈ Mm,k (F ), L = AC ∈ Mm,k (F ), R = (ris), L = (lis)ris =nXj=1aij bjs,lis =nXj=1Пусть U = AB + AC = R + L, V = A(B + C).aij cjsВычислимuis = ris + lis =nXaij bjs +j=1==nXj=1nX(aij bjs + aij cjs)aij (bjs + cjs)j=1= vis,т.к. V = A(B + C). Значит, U = V .nXj=1aij cjsПравая дистрибутивность доказывается аналогично.Последнее свойство:(?) (αA)B = α(AB) = A(αB)— легкое упражнение.Упражнение.Докажите, что(AB)⊺ = B ⊺A⊺для любых A ∈ Mm,n(F ), B ∈ Mn,k (F ).(!) Умножение матриц не коммутативно (AB 6= BA в общем случае)(1) A ∈ Mm,n(F ), B ∈ Mn,k (F ), m 6= k.Тогда AB ∈ Mm,k (F ), а BA не определено.(2) A ∈ Mm,n(F ), B ∈ Mn,m(F ), n 6= m.Тогда AB ∈ Mm,m(F ), а BA ∈ Mn,n(F ) — матрицы разных размеров.(3) Даже если A, B ∈ Mn,n(F ) — квадратные матрицы,то AB, BA ∈ Mn,n(F ), но, вообще говоря, AB 6= BA.Например,!0 10 0|{zA}|!!!0 00 1=,0 10 0{zB}|{z }AB0 00 1|{zB}|!!0 10 0=0 00 0{zA}|{z }BAМножество Mn,n(F ) обозначается через Mn(F )Единичная матрица1 0 ...

00 1 . . . 0 En = ...En ∈ Mn(F ) :0 0 ... 1En = (δij ),i, j = 1, . . . , n,гдеδij =— символ Кронекера.1,0,i = j,i 6= jПредложение 1. Для любых A ∈ Mm,n(F ), B ∈ Mn,k (F )AEn = A,EnB = B.Доказательство.A = (aij ),i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.Пусть C = AEn = (cij ), j = 1, . .

. , n. Тогдаcij =nXaisδsj = aij .s=1Значит, A = C.Второе равенство доказывается аналогично.Матричные единицы (6= единичные матрицы!)eij ∈ Mm(F ), i, j = 1, . . . , m,ij0 ... 0 ... 0 ... 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .0 . . . 0 . . . 1 . . . 0ieij = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . 0 . . . 0 . . . 0j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 ... 0 ... 0 ... 0все элементы равны 0, кроме 1 в i-й строке и j-м столбце.Например,Em = e11 + e22 + · · · + emm =mXi=1eii.(?) Для любых i, j, k, p = 1, . .

. , n выполняется следующее равенство:eij ekp = δjk eipДействительно:• Все строки матрицы eij ekp кроме i-й состоят из 0;• Все столбцы матрицы eij ekp кроме j-го состоят из 0;• В i-й строке и j-м столбце стоит произведение 0j0 ... 1 ... .. .1, 0 1k =0, ...  0j = k,j 6= k.3. Алгебра матриц (продолжение)Матричные единицы (6= единичные матрицы!)eij ∈ Mm(F ), i, j = 1, . . . , m,ij0 ... 0 ... 0 ... 0. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .0 . . . 0 . . . 1 . . . 0ieij = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . 0 . . . 0 . . . 0j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 ... 0 ... 0 ... 0Для любых i, j, k, p = 1, . . . , n выполняется следующее равенство:eij ekp = δjk eipСледствие.Пусть A ∈ Mm,n(F ). Тогдадля любых i, j = 1, . . . , m.0 .

. .  Aj i eij A = . . .  0 j  . . . 0Доказательство. ПустьA = (akp),k = 1, . . . , m, p = 1, . . . , n.ТогдаA=m XnXk=1 p=1akpekp.Использем доказанные свойства умножения матриц:eij A = eij m XnXakpekp =mXeij nXakpekpp=1k=1 p=1k=1m Xnm XnXXakp(eij ekp)eij (akpekp) ==k=1 p=1k=1 p=1m XnnXX=akpδjk eip =ajpeipp=1k=1 p=100 ... 0. .

. . . . . . . . . . . . . . . .aj1 aj2 . . . ajni=. . . . . . . . . . . . . . . . . . 00 ... 0 j. . . . . . . . . . . . . . . . . .00 ... 0Связь с элементарными преобразованиями строкЭлементарные матрицы размера m × mij1 0 ... 0 ... 0 ... 0I типа:0 1 . . . 0 . . . 0 . .

. 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0iSij = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 ... 0 ... 0 ...

1i, j = 1, . . . , m, i 6= j(матрица Em, в которой переставлены i-я и j-я строки)II типа:i1 0 ... 0 ...j0 ... 00 1 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 . . . α . . . 0iTij (α) =  . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .0 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 ... 0 ... 0 ... 1i, j = 1, . . . , m, i 6= j, α ∈ F(матрица Em, в которую добавлен элемент α в i-й строке и j-м столбце)Предложение.Пусть A, B ∈ Mm,n(F ), причем B получается из A элементарнымпреобразованием строк I или II типа.Тогда B = Sij A или B = Tij (α)A для некоторых подходящих i, j, α.Здесь Sij , Tij (α) ∈ Mm(F ).Доказательство.A1Пусть A =  ...

.Am(?) Умножение слева на матрицу Sij переставляет i-ю и j-ю строки(= э.п. строк I типа):По определениюSij = Em − eii − ejj + eij + ejiТогдаSij A = (Em − eii − ejj + eij + eji)A= EmA − eiiA − ejj A + eij A + ejiA      A10000 ..   ..   ..  ..  ..  .   .   .  .  .        Ai i Aii  0 iAj i  0 i .   .   .  .  . .....= . − . − .

+ . + .  A j  0 j A j  0 jA j j     j  i ..   ..   ..  ..  ..  .   .   .  .  . 00Am00A1 − 0 − 0 + 0 + 0A1 .. ... .  Aj i Ai − Ai − 0 + Aj + 0 i . . . .=.= . A − 0 − A + 0 + A j  A j i jji .. ... . AmAm − 0 − 0 + 0 + 0(?) Умножение слева на матрицу Tij (α) прибавляет к i-й строке j-ю,умноженную на α (= э.п. строк II типа)По определениюTij (α) = Em + αeij .ТогдаTij (α)A = (Em + αeij )A = EmA + αeij A A1A10 ..  .. ... .  .

  Ai iAj i Ai + αAj i .  . ....=  .  + α .  = . A j 0 jAj j  j  ..  .. ... .  . Am0AmУпражнения.1. Как связаны между собой матрицы A ∈ Mm,n(F ) и Aeij , гдеeij — матричная единица размера n × n?2. Выясните, что происходит с матрицей A ∈ Mm,n(F ) при умножениисправа на элементарную матрицу размера n × n.Подсказка: используйте транспонирование матриц.4. Векторные пространстваОпределениеПусть F — некоторое поле (Q, R, C, .

. . )Множество V 6= ∅, на котором заданы операции сложения+ : V × V → V,(u, v) 7→ u + v,u, v ∈ V,и умножения на элементы из F· : F × V → V,(α, v) 7→ αv,α ∈ F, v ∈ V,называется векторным пространством над полем F (в.п.), есливыполняются следующие свойства:Аксиомы векторного пространства• u + (v + w) = (u + v) + w для любых u, v, w ∈ V ;• u + v = v + u для любых u, v ∈ V ;• существует 0 ∈ V такой, что 0 + u = u + 0 = u для всех u ∈ V ;• для любого u ∈ V существует −u ∈ V такой, что(−u) + u = u + (−u) = 0;• α(u + v) = αu + αv, (α + β)u = αu + βuдля любых u, v ∈ V , α, β ∈ F ;• (αβ)u = α(βu) для любых u ∈ V , α, β ∈ F ;• 1u = u для любого u ∈ V .Элементы V называются векторами, элементы F — скалярами.Примеры1. V — множество направленных отрезков на плоскости с началомв фиксированной точке; F = R;2.

V = {0} — нулевое пространство;3. V = R над F = Q;4. V = C над F = Q;5. V = C над F = R;6. V = Mm,n(F ) над F — пространство матриц;7. В частности,M1,n(F ) = Fn — пространство строк,Mn,1(F ) = F n — пространство столбцов;Простейшие свойства векторных пространств• нулевой вектор 0 единствен;• для любого u ∈ V противоположный −u ∈ V единствен;• −(−v) = v,v ∈V;• α0 = 0,α ∈ F, 0 ∈ V ;• 0v = 0,0 ∈ F, v ∈ V ;• если αv = 0 для α ∈ F , v ∈ V , то α = 0 или v = 0;• (−1)v = −v,v ∈V;• −(αv) = (−αv) для α ∈ F , v ∈ V .Подпространство векторного пространстваПусть V — в.п.

над полем F ,∅ 6= U ⊆ V — непустое подмножество.Множество U называется подпространством в.п. V , если U являетсяв.п. относительно тех же операций сложения и умножения на скаляр(индуцированных операций), что заданы на VПримеры1. {0} ⊆ V , V ⊆ V ;2. R ⊂ C над F = Q;Лемма.Пусть V — в.п. над F . Непустое подмножество U ⊆ V являетсяподпространством в.п. V тогда и только тогда, когдаu, v ∈ U ⇒ αu + βv ∈ U для любых α, β ∈ F.(1)Доказательство.(?) (1) ⇐⇒ U — подпространство в.п.

V⇐ : тривиально;⇒ : Условие (1) означает, что U можно рассматривать как множество соперациями сложения и умножения на скаляр:(1)⇐⇒(u, v ∈ U ⇒ u + v ∈ Uu ∈ U, α ∈ F ⇒ αu ∈ Fт.е. U замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр.Проверим аксиомы для U :ассоциативность и коммутативность сложения — автоматически;существование нуля: берем u ∈ U , α = 1, β = −1, получаем1u + (−1)u = u + (−u) = 0 ∈ U ;существование противоположного: для любого u ∈ U имеем(−1)u = −u ∈ U ;дистрибутивность, ассоциативность умножения на скаляр,унитальность — автоматически.Значит, U — в.п. относительно операций из V .Пространство решений однородной системы линейных уравненийa x + .

. .+ a1nxn = 0 11 1...am1x1+ . . .+ amnxn = 0В матричной форме:AX = 0x1 .. A = (aij ) ∈ Mm,n(F ), X =  . xnРассмотримU = {u ∈ F n | Au = 0} ⊆ F n.— множество решений.U 6= ∅: 0 ∈ U (x1 = x2 = · · · = xn = 0 — решение системы)Предложение. Множество решений однородной системы AX = 0является подпространством в.п. F n.Доказательство.Проверим условие (1) из леммы:u, v ∈ U⇐⇒Au = Av = 0выберем α, β ∈ F и рассмотримA(αu + βv) = A(αu) + A(βv) = α(Au) + β(Av) = α0 + β0 = 0.Следовательно,αu + βv ∈ U.Таким образом, U ⊆ F n замкнуто относительно сложения и умноженияна скаляр, поэтому U — подпространство в.п.

F n.Линейная оболочкаПусть V — в.п. над F .Линейная комбинация векторов v1, . . . , vn ∈ V (n ≥ 1):nXαk vk = α1v1 + · · · + αnvn ∈ V,α1, . . . , αn ∈ F.k=1L(v1, . . . , vn) — множество всех линейных комбинаций векторовv1 , . . . , vn ∈ V :L(v1, . . .

, vn) =nXk=1α k vk | α 1 , . . . , α n ∈ F ⊆ Vлинейная оболочка набора v1, . . . , vn ∈ V .(?) L(v1, . . . , vn) — подпространство в.п. VДействительно, проверим (1):αnXk=1α k vk  + β nXk=1α′k vk  =nXk=1(ααk + βα′k )vk ∈ L(v1, . . . , vn).Замечание.v1 ∈ L(v2, . . .

Характеристики

Список файлов лекций