Главная » Просмотр файлов » 1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436

1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186), страница 4

Файл №824186 1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (2014 Лекции Колесников) 4 страница1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186) страница 42021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

(Ассоциативность)ПустьA = (aij ) ∈ Mm,n(F ), i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , nB = (bjs) ∈ Mn,k (F ), s = 1, . . . , kC = (cst) ∈ Mk,q (F ), t = 1, . . . , qТогдаR = BC = (rjt) ∈ Mn,q (F ),rjt =L = AB = (lis) ∈ Mm,k (F )kXs=1bjscst,lis =nXaij bjsj=1U = A(BC) = AR ∈ Mm,q (F ), V = (AB)C = LC ∈ Mm,q (F )U = (uit), V = (vit)Вычислим uit (U = AR):uit ====nXaij rjt =j=1n XkXj=1 s=1k XnXaij (bjscst) =bjscsts=1n XkX!(aij bjs)cstj=1 s=1(aij bjs)cst!aij bjs cst =j=1{z|lisт.к.

V = LC. Значит U = V .kXaijj=1s=1 j=1nkXXs=1nX}kXs=1liscst = vit(Левая дистрибутивность)ПустьA = (aij ) ∈ Mm,n(F ), i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , nB = (bjs) ∈ Mn,k (F ), s = 1, . . . , kC = (cjs) ∈ Mn,k (F )R = AB ∈ Mm,k (F ), L = AC ∈ Mm,k (F ), R = (ris), L = (lis)ris =nXj=1aij bjs,lis =nXj=1Пусть U = AB + AC = R + L, V = A(B + C).aij cjsВычислимuis = ris + lis =nXaij bjs +j=1==nXj=1nX(aij bjs + aij cjs)aij (bjs + cjs)j=1= vis,т.к. V = A(B + C). Значит, U = V .nXj=1aij cjsПравая дистрибутивность доказывается аналогично.Последнее свойство:(?) (αA)B = α(AB) = A(αB)— легкое упражнение.Упражнение.Докажите, что(AB)⊺ = B ⊺A⊺для любых A ∈ Mm,n(F ), B ∈ Mn,k (F ).(!) Умножение матриц не коммутативно (AB 6= BA в общем случае)(1) A ∈ Mm,n(F ), B ∈ Mn,k (F ), m 6= k.Тогда AB ∈ Mm,k (F ), а BA не определено.(2) A ∈ Mm,n(F ), B ∈ Mn,m(F ), n 6= m.Тогда AB ∈ Mm,m(F ), а BA ∈ Mn,n(F ) — матрицы разных размеров.(3) Даже если A, B ∈ Mn,n(F ) — квадратные матрицы,то AB, BA ∈ Mn,n(F ), но, вообще говоря, AB 6= BA.Например,!0 10 0|{zA}|!!!0 00 1=,0 10 0{zB}|{z }AB0 00 1|{zB}|!!0 10 0=0 00 0{zA}|{z }BAМножество Mn,n(F ) обозначается через Mn(F )Единичная матрица1 0 ...

00 1 . . . 0 En = ...En ∈ Mn(F ) :0 0 ... 1En = (δij ),i, j = 1, . . . , n,гдеδij =— символ Кронекера.1,0,i = j,i 6= jПредложение 1. Для любых A ∈ Mm,n(F ), B ∈ Mn,k (F )AEn = A,EnB = B.Доказательство.A = (aij ),i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.Пусть C = AEn = (cij ), j = 1, . .

. , n. Тогдаcij =nXaisδsj = aij .s=1Значит, A = C.Второе равенство доказывается аналогично.Матричные единицы (6= единичные матрицы!)eij ∈ Mm(F ), i, j = 1, . . . , m,ij0 ... 0 ... 0 ... 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .0 . . . 0 . . . 1 . . . 0ieij = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . 0 . . . 0 . . . 0j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 ... 0 ... 0 ... 0все элементы равны 0, кроме 1 в i-й строке и j-м столбце.Например,Em = e11 + e22 + · · · + emm =mXi=1eii.(?) Для любых i, j, k, p = 1, . .

. , n выполняется следующее равенство:eij ekp = δjk eipДействительно:• Все строки матрицы eij ekp кроме i-й состоят из 0;• Все столбцы матрицы eij ekp кроме j-го состоят из 0;• В i-й строке и j-м столбце стоит произведение 0j0 ... 1 ... .. .1, 0 1k =0, ...  0j = k,j 6= k.3. Алгебра матриц (продолжение)Матричные единицы (6= единичные матрицы!)eij ∈ Mm(F ), i, j = 1, . . . , m,ij0 ... 0 ... 0 ... 0. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .0 . . . 0 . . . 1 . . . 0ieij = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . 0 . . . 0 . . . 0j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 ... 0 ... 0 ... 0Для любых i, j, k, p = 1, . . . , n выполняется следующее равенство:eij ekp = δjk eipСледствие.Пусть A ∈ Mm,n(F ). Тогдадля любых i, j = 1, . . . , m.0 .

. .  Aj i eij A = . . .  0 j  . . . 0Доказательство. ПустьA = (akp),k = 1, . . . , m, p = 1, . . . , n.ТогдаA=m XnXk=1 p=1akpekp.Использем доказанные свойства умножения матриц:eij A = eij m XnXakpekp =mXeij nXakpekpp=1k=1 p=1k=1m Xnm XnXXakp(eij ekp)eij (akpekp) ==k=1 p=1k=1 p=1m XnnXX=akpδjk eip =ajpeipp=1k=1 p=100 ... 0. .

. . . . . . . . . . . . . . . .aj1 aj2 . . . ajni=. . . . . . . . . . . . . . . . . . 00 ... 0 j. . . . . . . . . . . . . . . . . .00 ... 0Связь с элементарными преобразованиями строкЭлементарные матрицы размера m × mij1 0 ... 0 ... 0 ... 0I типа:0 1 . . . 0 . . . 0 . .

. 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0iSij = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 ... 0 ... 0 ...

1i, j = 1, . . . , m, i 6= j(матрица Em, в которой переставлены i-я и j-я строки)II типа:i1 0 ... 0 ...j0 ... 00 1 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 . . . α . . . 0iTij (α) =  . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .0 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 ... 0 ... 0 ... 1i, j = 1, . . . , m, i 6= j, α ∈ F(матрица Em, в которую добавлен элемент α в i-й строке и j-м столбце)Предложение.Пусть A, B ∈ Mm,n(F ), причем B получается из A элементарнымпреобразованием строк I или II типа.Тогда B = Sij A или B = Tij (α)A для некоторых подходящих i, j, α.Здесь Sij , Tij (α) ∈ Mm(F ).Доказательство.A1Пусть A =  ...

.Am(?) Умножение слева на матрицу Sij переставляет i-ю и j-ю строки(= э.п. строк I типа):По определениюSij = Em − eii − ejj + eij + ejiТогдаSij A = (Em − eii − ejj + eij + eji)A= EmA − eiiA − ejj A + eij A + ejiA      A10000 ..   ..   ..  ..  ..  .   .   .  .  .        Ai i Aii  0 iAj i  0 i .   .   .  .  . .....= . − . − .

+ . + .  A j  0 j A j  0 jA j j     j  i ..   ..   ..  ..  ..  .   .   .  .  . 00Am00A1 − 0 − 0 + 0 + 0A1 .. ... .  Aj i Ai − Ai − 0 + Aj + 0 i . . . .=.= . A − 0 − A + 0 + A j  A j i jji .. ... . AmAm − 0 − 0 + 0 + 0(?) Умножение слева на матрицу Tij (α) прибавляет к i-й строке j-ю,умноженную на α (= э.п. строк II типа)По определениюTij (α) = Em + αeij .ТогдаTij (α)A = (Em + αeij )A = EmA + αeij A A1A10 ..  .. ... .  .

  Ai iAj i Ai + αAj i .  . ....=  .  + α .  = . A j 0 jAj j  j  ..  .. ... .  . Am0AmУпражнения.1. Как связаны между собой матрицы A ∈ Mm,n(F ) и Aeij , гдеeij — матричная единица размера n × n?2. Выясните, что происходит с матрицей A ∈ Mm,n(F ) при умножениисправа на элементарную матрицу размера n × n.Подсказка: используйте транспонирование матриц.4. Векторные пространстваОпределениеПусть F — некоторое поле (Q, R, C, .

. . )Множество V 6= ∅, на котором заданы операции сложения+ : V × V → V,(u, v) 7→ u + v,u, v ∈ V,и умножения на элементы из F· : F × V → V,(α, v) 7→ αv,α ∈ F, v ∈ V,называется векторным пространством над полем F (в.п.), есливыполняются следующие свойства:Аксиомы векторного пространства• u + (v + w) = (u + v) + w для любых u, v, w ∈ V ;• u + v = v + u для любых u, v ∈ V ;• существует 0 ∈ V такой, что 0 + u = u + 0 = u для всех u ∈ V ;• для любого u ∈ V существует −u ∈ V такой, что(−u) + u = u + (−u) = 0;• α(u + v) = αu + αv, (α + β)u = αu + βuдля любых u, v ∈ V , α, β ∈ F ;• (αβ)u = α(βu) для любых u ∈ V , α, β ∈ F ;• 1u = u для любого u ∈ V .Элементы V называются векторами, элементы F — скалярами.Примеры1. V — множество направленных отрезков на плоскости с началомв фиксированной точке; F = R;2.

V = {0} — нулевое пространство;3. V = R над F = Q;4. V = C над F = Q;5. V = C над F = R;6. V = Mm,n(F ) над F — пространство матриц;7. В частности,M1,n(F ) = Fn — пространство строк,Mn,1(F ) = F n — пространство столбцов;Простейшие свойства векторных пространств• нулевой вектор 0 единствен;• для любого u ∈ V противоположный −u ∈ V единствен;• −(−v) = v,v ∈V;• α0 = 0,α ∈ F, 0 ∈ V ;• 0v = 0,0 ∈ F, v ∈ V ;• если αv = 0 для α ∈ F , v ∈ V , то α = 0 или v = 0;• (−1)v = −v,v ∈V;• −(αv) = (−αv) для α ∈ F , v ∈ V .Подпространство векторного пространстваПусть V — в.п.

над полем F ,∅ 6= U ⊆ V — непустое подмножество.Множество U называется подпространством в.п. V , если U являетсяв.п. относительно тех же операций сложения и умножения на скаляр(индуцированных операций), что заданы на VПримеры1. {0} ⊆ V , V ⊆ V ;2. R ⊂ C над F = Q;Лемма.Пусть V — в.п. над F . Непустое подмножество U ⊆ V являетсяподпространством в.п. V тогда и только тогда, когдаu, v ∈ U ⇒ αu + βv ∈ U для любых α, β ∈ F.(1)Доказательство.(?) (1) ⇐⇒ U — подпространство в.п.

V⇐ : тривиально;⇒ : Условие (1) означает, что U можно рассматривать как множество соперациями сложения и умножения на скаляр:(1)⇐⇒(u, v ∈ U ⇒ u + v ∈ Uu ∈ U, α ∈ F ⇒ αu ∈ Fт.е. U замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр.Проверим аксиомы для U :ассоциативность и коммутативность сложения — автоматически;существование нуля: берем u ∈ U , α = 1, β = −1, получаем1u + (−1)u = u + (−u) = 0 ∈ U ;существование противоположного: для любого u ∈ U имеем(−1)u = −u ∈ U ;дистрибутивность, ассоциативность умножения на скаляр,унитальность — автоматически.Значит, U — в.п. относительно операций из V .Пространство решений однородной системы линейных уравненийa x + .

. .+ a1nxn = 0 11 1...am1x1+ . . .+ amnxn = 0В матричной форме:AX = 0x1 .. A = (aij ) ∈ Mm,n(F ), X =  . xnРассмотримU = {u ∈ F n | Au = 0} ⊆ F n.— множество решений.U 6= ∅: 0 ∈ U (x1 = x2 = · · · = xn = 0 — решение системы)Предложение. Множество решений однородной системы AX = 0является подпространством в.п. F n.Доказательство.Проверим условие (1) из леммы:u, v ∈ U⇐⇒Au = Av = 0выберем α, β ∈ F и рассмотримA(αu + βv) = A(αu) + A(βv) = α(Au) + β(Av) = α0 + β0 = 0.Следовательно,αu + βv ∈ U.Таким образом, U ⊆ F n замкнуто относительно сложения и умноженияна скаляр, поэтому U — подпространство в.п.

F n.Линейная оболочкаПусть V — в.п. над F .Линейная комбинация векторов v1, . . . , vn ∈ V (n ≥ 1):nXαk vk = α1v1 + · · · + αnvn ∈ V,α1, . . . , αn ∈ F.k=1L(v1, . . . , vn) — множество всех линейных комбинаций векторовv1 , . . . , vn ∈ V :L(v1, . . .

, vn) =nXk=1α k vk | α 1 , . . . , α n ∈ F ⊆ Vлинейная оболочка набора v1, . . . , vn ∈ V .(?) L(v1, . . . , vn) — подпространство в.п. VДействительно, проверим (1):αnXk=1α k vk  + β nXk=1α′k vk  =nXk=1(ααk + βα′k )vk ∈ L(v1, . . . , vn).Замечание.v1 ∈ L(v2, . . .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,2 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6510
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее