Главная » Просмотр файлов » 1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436

1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186), страница 2

Файл №824186 1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (2014 Лекции Колесников) 2 страница1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (824186) страница 22021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Прямоугольная таблица из m строк и nстолбцов с элементами из F называется матрицей размера m × n надF:c11 c12 . . . c1nc 21 c22 . . . c2n cij ∈ F. . . . . . . . . . . . . . . . . . .cm1 cm2 . . . cmnМножество всех таких матриц обозначается Mm,n(F ).a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1, a x + a x + · · · + a xn = b ,21 122 22n2...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bma11 a12 . .

. a1na 21 a22 . . . a2n A= — матрица системы (m × n);. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn b1b  B =  ..2  — столбец свободных членов (матрица m × 1); . bma11 a12 . . . a1n b1a 21 a22 . . . a2n b2 (A|B) = . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn bm— расширенная матрица системы (размера m × (n + 1)).Для наглядности выделим последний столбец:a11 a12 . . . a1naa22 . . . a2n(A|B) =  21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amnb1b2 ... bmОбозначения. Пустьc11 c12 . . . c1nc 21 c22 . . . c2n C= ∈ Mm,n(F ).. . . .

. . . . . . . . . . . . . . .cm1 cm2 . . . cmni-я строка матрицы C:Ci = (ci1 ci2 . . . cin) ∈ M1,n(F )c1jc (j)j-й столбец матрицы C:C=  2j ∈ Mm,1(F ) ... cmjТогдаC1C  2C =  ..  = C (1) C (2) . . . C (n) . CmЭлементарные преобразования строк матрицыI типа: Переставить местами i-ю и j-ю строки матрицы (i 6= j)C1 ..  .  Ci  . .

C= . C  j ..  . CmC1 ..  .  Cj  . ′. C = . C  i ..  . CmII типа: Прибавить к i-й строке j-ю (i 6= j), умноженную на константуα∈FЗдесьC1 ..  .  Ci  . . C= . C  j ..  . CmC1...Ci + αCj ′..C =.Cj...CmCi + αCj = (ci1 + αcj1 . . . cin + αcjn)Матрица C ∈ Mm,n(F ) называется ступенчатой (имеет ступенчатый вид),если существуют целые числа r, k1, . . . , kr такие, что• 1 ≤ r ≤ m;• 1 ≤ k1 < k2 < · · · < kr ≤ n;• если i > r, то cij = 0 при всех j = 1, . . . , n;• если i ≤ r, то cij = 0 при всех j < ki, но ciki 6= 0.ИДЕЯ метода Гаусса:при помощи э.п.

превратить данную систему в «хорошую» (ступенчатую),т.е. такую, для которой множество решений легко найти.2. Решение систем линейных уравненийметодом Гаусса(продолжение)a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1, a x + a x + · · · + a xn = b ,21 122 22n2...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bma11 a12 . . . a1naa22 . .

. a2n(A|B) =  21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amnb1b2 ... bm— расширенная матрица системы (размера m × (n + 1)).Элементарные преобразования строк матриц:I типа: Переставить местами i-ю и j-ю строки (i 6= j);II типа: Прибавить к i-й строке j-ю (i 6= j), умноженную на константуα ∈ F.Предложение.Если расширенная матрица системы (2) получается из расширеннойматрицы системы (1) при помощи цепочкиэлементарных преобразований I и II типа,то системы (1) и (2) эквивалентны.Доказательство.Достаточно показать, что множество решений не меняется при одномэлементарном преобразовании (э.п.)1) Пусть (2) получается из (1) э.п. I типа.(?) Множества решений этих систем совпадаютЕсли (c1, .

. . , cn) — решение (1), то (c1, . . . , cn) — решение (2).Обратное очевидно.2) Пусть (2) получается из (1) э.п. II типа.(?) Множества решений этих систем совпадаютДопустим, (c1, . . . , cn) — решение системы (1).Система (2) отличается от (1) только в одном уравнении:i-е уравнение системы (2) имеет вид(ai1 + αaj1)x1 + · · · + (ain + αajn)xn = bi + αbjЕсли i-е и j-е уравнения системы (1) выполнены, т.е.ai1c1 + · · · + aincn = bi,aj1c1 + · · · + ajncn = bj ,то (∗∗) также выполнено при xi = ci.Значит, (c1, .

. . , cn) — решение системы (2).(∗∗)Мы доказали, что если (2) получается из (1) э.п. II типа,то множество решений системы (1) содержится в множестве решенийсистемы (2).Обратное вложение вытекает из следующего наблюдения:ВСЕ Э.П. ОБРАТИМЫ(1)(2) ⇒ (2)(1)(i) + α(j)»,Например, если (2) получено из (1) э.п. «(i)(i) − α(j)».то (1) получается из (2) э.п. «(i)Напомним, что матрица C ∈ Mm,n(F ) называется ступенчатой (имеетступенчатый вид), если существуют целые числа r, k1, . . . , kr такие, что• 1 ≤ r ≤ m;• 1 ≤ k1 < k2 < · · · < kr ≤ n;• если i > r, то cij = 0 при всех j = 1, . . .

, n;• если i ≤ r, то cij = 0 при всех j < ki, но ciki 6= 0.Теорема 1. Любая матрица C ∈ Mm,n(F ) над полем F , содержащая хотьодин ненулевой элемент, может быть приведена к ступенчатому видупоследовательностью э.п. строк I и II типа.(«Прямой ход» метода Гаусса)Доказательство.Индукция по m.m = 1: C = (c11 . . .

c1n)Есть хоть одно ненулевое c1j ,выбираем k1 = минимальному такому j (r = 1).m − 1 → m:Если есть хоть одна нулевая строка (содержащая только 0), то:1. Ставим ее на последнее место преобразованием I типа;2. Применяем предположение индукции – приводим матрицу, состоящуюиз первых m − 1 строк к ступенчатому виду.Получаем ступенчатую матрицу.Поэтому полагаем, что КАЖДАЯ строка матрицы C содержит хоть одинненулевой элемент.Для каждого i = 1, . . . , m обозначимni = min{j : cij 6= 0},1 ≤ ni ≤ nПусть k = min{ni | i = 1, .

. . , m}.Выберем i, у которого ni = k.Применяя преобразование I типа, поставим i-ю строку на 1-е место.Обозначим полученную матрицу C ′C0 . . . 0 c′1k . . . . . . . . .0 . . . 0 c′.........′2kC =,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . 0 c′mk . . . . . . . . .c′1k = cik 6= 0Для каждого j = 2, . .

. , m выполним следующее преобразование II типа:c′jkк j-й прибавим 1-ю, умноженную на − ′c1kC′0 c′1kc′1 k+1c′′2 k+10 ...... ...0...00......C ′′ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . 0 0 c′′m k+1 . . . . . .Для каждого j = 2, .

. . , m выполним следующее преобразование II типа:c′jkк j-й прибавим 1-ю, умноженную на − ′c1kC′0 . . . 0 c′1k c′1 k+1 . . . . . .′′0...00c......2 k+1C ′′ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .′′0 . . . 0 0 cm k+1 . . . . . .Если k = n, то доказательство завершено: C ′′ имеет ступенчатый вид(r = 1, k1 = k = n).Если k < n, то по индукции приведем «маленькую» матрицу (m − 1) ×(n − k) к ступенчатому виду — те же э.п.

строк приведут C ′′ к искомомувиду.Определение. Система линейных уравнений называется ступенчатой(имеет ступенчатый вид), если расширенная матрица этой системыимеет ступенчатый вид.Следствие.Любая нетривиальная система линейных уравнений над полем F можетбыть приведена к ступенчатому виду последовательностью э.п. I и II типа.a x + · · · + a1nxn = b1, 11 1...am1x1 + · · · + amnxn = bmma11 . .

. a1n. . . . . . . . . . . . . .am1 . . . amn ′′ x = b′ ,x+···+aa111n n 11... ′am1x1 + · · · + a′mnxn = b′mmb1... bma′11 . . . a′1n. . . . . . . . . . . . . .a′m1 . . . a′mn′b1... b′m(«Обратный ход» метода Гаусса)Лемма. Любая ступенчатая матрица C ∈ Mm,n(F ) над полем F припомощи некоторой последовательности э.п. строк I и II типа может бытьпревращена в ступенчатую матрицуT = tijразмера m × nс теми же r, k1, .

. . , kr , в которойtikj = 0приi 6= jtjkj = cjkj 6= 0(i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , r)приj = 1, . . . , r.Доказательство. Индукцией по r (r = 1 — тривиально)r − 1 → r:00 ...0C=00 ...0... 0c1k1 . . . c1k2 . . . . . . . . .. . . . . . . . . 0 c2k2 . . . . . . . .

.c1kr−1c2kr−1. . . c1kr. . . c2kr... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... 0... ... ...... ...cr−1 kr−1 . . . cr−1 kr... ... ... ...0 crkr... ... ...... ...... ... ... ...... ...... ... ...... ...... ... ... ...... ...... ... ...... ...... ... ... ...... ...ciki 6= 0 при всех i = 1, . . . , rПрименим э.п. строк II типа «(i)... ....... . ..

. .. . .. . .0 . . .0c(i) − ikr (r)» для i = 1, 2, . . . , r − 1crkrПолучимC00 ...0′C =00 ...0C ′,... 0c1k1 . . . c1k2 . . . . . . . . .. . . . . . . . . 0 c2k2 . . . . . . . . .c1kr−1... 0c2kr−1... 0∗∗∗. . . . . . ∗∗∗... 0∗∗∗0 crkr . . .

... ... 0 ... ... ...... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... 0... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... ... ...cr−1 kr−1∗∗∗... ... 0ПолучимC00 ...0′C =00 ...0C ′,... 0c1k1 .

. . c1k2 . . . . . . . . .. . . . . . . . . 0 c2k2 . . . . . . . . .c1kr−1... 0∗∗∗c2kr−1... 0∗∗∗... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... 0... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... ... ...cr−1 kr−1. . . . . . ∗∗∗... 0∗∗∗0 crkr . . . ... ...

0 ... ... ...... ... 0и применим предположение индукции к «маленькой» матрице:ПолучимC00 ...0′C =00 ...0C ′,... 0c1k1 . . . c1k2 . . . . . . . . .. . . . . . . . . 0 c2k2 . . . . . . . . .c1kr−1... 0c2kr−1... 0∗∗∗. . . . . . ∗∗∗∗∗∗... 00 crkr .

. . ... ... 0 ... ... ...... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... 0... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... ... ...... ... ...... ...... ... ... ...cr−1 kr−1∗∗∗... ... 0и применим предположение индукции к «маленькой» матрице:при э.п. первых r − 1 строк kr -й столбец не изменяется.Алгоритм решения системы линейных уравнений(метод исключения неизвестных, метод Гаусса)Исходная система (нетривиальная):a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1, a x + a x + · · · + a xn = b ,21 122 22n2...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm• Шаг 1: Записываем расширенную матрицу исходной системыa11 a12 .

. . a1naa22 . . . a2n(A|B) =  21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amnb1b2 ... bm• Шаг 2: Приводим (A|B) к ступенчатому виду э.п. строк(A|B)0 . . . 0 c1k1 . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . .0 c2k2 . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .0 crkr . . .0 . . . . . . . . . . . .(C|D) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .0 .......................Напомним, что ciki 6= 0 для i = 1, . . . , r.0d1d2...drdr+10 ... 0• Шаг 2: Приводим (A|B) к ступенчатому виду э.п. строк(A|B)0 . . . 0 c1k1 . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . .0 c2k2 . . . . . . . .. . . .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,2 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6510
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее