Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Теперь можно описать постановки тех краевых задач, для которых, как все убеждены (но это не доказано!), справедливы теоремы существования и единственности решений. Мы ограничимся рассмотрением простой области: 0 ~ 1 ц Т, 0 ц х н 1,. При 1 = 0 следует задать начальные данные, т.е. значения всех функций и(0, х), р(0, х), е(0, х). 1Π— 1833 игивлижзииыв методы вычислитвльиой»изики !ч. и Рассмотрим границу области (для определенности, левую). Из каждой ее точки (г,0) исходят три характеристики с наклонами Х, равными и — с, и, и+ с соответственно. Те из них, наклоны которых положительны, назовем входящими в область. На левой границе (х =О) следует задать столько краевых условий (например, независимых соотношений между и, р, е), сколько характеристик входит в область.
На правой границе (х = Ь) следует задать столько краевых условий, сколько характеристик входит в область, Вышеизложенное поясняет рис. 29, на котором схематически показаны характеристики и обозначено число краевых условий в каждой нз возможных ситуаций, причем каждая ситуация на левой границе может (в данный момент времени !) сочетаться с 3 условия любой ситуацией на правой границе. С те- 2 условия чением времени ситуации могут меняться.
Наклоны характеристик зависят от искомо!условие ! го решения и не всегда могут быть опреде- О условий 2 лены заранее (даже качественно: сколько 3 характеристик идут вправо, сколько х влево). Таким образом, постановки краевмх условий в газовой динамике — дело довольно тонкое. Обоснованием приведенного выше рецепта по постановке краевых условий является анализ уравнений в характеристичеасой форме.
Из нее следует, что каждое из трех уравнений является, так сказать, обыкновенным дифференциальным уравнением вдоль соответствующей характеристики, и все дело только в том, что каждое такое уравнение должно быть замкнуто соответствующими данными Коши. Неявно здесь используется принцип причинности: состояние в момент !' определяет состояние при ! > !'.
Каждая характеристика начинается либо при ! = О, либо на одной из боковых границ и должна быть «замкнута» соответствующими данными Коши. При ! = 0 из каждой точки в область входят три характеристики, заданы три величины, все три характеристики имеют свои, данные Коши. Если характеристика «рождается» на боковой границе, то приведенный выше рецепт также приводит к замкнутой и не переопределенной системе уравнений. Поясним это несколько иначе: если в данную точку грачицы, например в точку (!', О), приходит к < 3 характеристик из области, то 3 — к характеристик выходит нз этой точки внутрь области. Интегрирование (в направлении роста ! ~ !') по каждой из приходящих характеристик (оио ведется изнутри области) определяет в точке (!', О) соответствующее'число й соотношений между описыва- одномягнык гглвнзния гАзовой хин»мики 29! ющимн состояние газа значениями и, р, е.
Если в этой точке будет задано больше чем 3 — й условий, возникнет (в общем случае) противоречие и такого решения не существует. Если будет задано меньшее число краевых условий, можно добавить еще одно произвольное н нарушится единственность поставленной задачи. Это рассуждение выглядит «почтн доказательством», но не следует упускать из вида, что сами характеристики — это объект, однозначно определенный лишь иа решении уравнений газовой динамики.
И только для гиперболических линейных систем, когда характеристики определяются коЭффициентами уравнений и не зависят от решений, приведенные выше соображения можно оформить в виде точных теорем. Тем не менее в нелинейной газовой динамике этн соображения используются с успехом.
Более того, используется и более тонкий факт: выясняется запрет на некоторые формы краевых условий. Грубо говоря, в качестве задаваемого краевого условия (соотношения между значениями и, р, е) нельзя использовать то соотношение, которое «приносится» по приходящей нз области (снизу) характеристике. Например, если в точку (Г, 0) приходит левая звуковая характеристика (а правая и энтропийная входят в этой точке в область), то в качестве одного из двух требуемых в этом случае условий нельзя задавать значение риманова ннварнанта Я .
Его значение определяется однозначно состоянием прн 1 < О, возникает противоречие, и решения уже не существует. Вообще, приносимые на границу по приходящим характеристикам соотношения, дополненные заданным краевым условием, должны составлять систему уравнений (относнтельно и, р, е), допускающую однозначную разрешимость. Уравнения газовой динамики в форме Лагранжа. Выше были описаны уравнения газовой динамики в так называемой форме Эйлера. Она характеризуется тем, что в качестве независимых переменных выбираются время ~ н декартова координата х, связанная с геометрическим пространством, Очень удобна во многих задачах другая система независимых переменных — так называемая лагранжева система, в которой одной из независимых переменных остается время г, вторая же (назовем ее $) определяется так, что она остается постоянной вдоль траектории часпщ.
Траектория — это кривая в пространстве (1, х), описываемая выделенной частицей газа. Каждой частице соответствует своя траектория — решение уравнения Х= и(», Х(1)). Отметим все частицы газа параметром $. Это и будет «лагранжева» координата частицы. Теперь все траектории будут описываться Функцией Х(Г, г.), удовлетворяющей уравнению 1о* Х,(г, ц = и(г, Х(г, й)). ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч.
и 292 Здесь и(1, х) берется из решения уравнений газовой динамики. В качестве параметра Р, можно взять, например, координату х частицы в начальный момент времени 1 = О. Тогда уравнение дополняется данными Коши х(0, ч) = ч. Для того чтобы для данной точки (р, х) узнать ее координаты (1', Б), нужно проинтегрировать «назад» (от 1' к нулю) уравнение У = и(Г, У), У(Г') = х. Тогда К = У(0). Взаимная однозначность отображения (ц х) в (ц $) следует из того, что траектории не пересекаются. Следующей нашей задачей будет вывод уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах.
Пусть имеется некоторая функция зйлеровых переменных /(г, х). Превратим ее в функцию лагранжевых переменных /(е, Р) Ве /(1, х(1, Р)). Вычислим производные 7: /,=/.х,, /,=/,+/,х,=/,+ /„. Пусть и(ц х), р(1, х), е(ц х) — решение уравнений газовцй динамики (1), каждое из которых содержит так называемый оператор субстанциальной производной — производной по 1 вдоль траектории частицы (д/дг+ ид/дх).
Определим функции йД, Г), рЯ, 1), е(Б, 1) заменой переменных. Они, очевидно, и будут решением уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах, Перепишем уравнения: эйлерова форма и+»и + — р=0, 1 Л» РВ+ ир + Ри. =0 лагранжева форма и,+=Х 'р =О, Л р,+ рХ,й,=0, с »з1 »'1 1 / йз~ е+» ~ + и[е+ — ) + 1 (ри)„=0, ~е+» ~ +=Х~'(рй)1=0, ХРй, 1) = йй, 1). [р(1, $) Х (1, $)], = О, р(1, Ч) Х1(ц Ч) = р(0, $) Х (О, $) = р(0, х).
Массовые лагранжевы координаты. Особенно простую и удобную для аналитических исследований и организации расчетов форму имеют уравнения газовой динамики при специальном выборе лагранжевой координаты. Чтобы пояснить его смысл, рассмотрим выражение рХ (пока мы имеем дело с определенной выше лагранжевой координатой ХЯ, О) = $). Величина рХ ПР= р ах равна массе вещества, заключенной между траекториями, соответствующими частицам ч и ч+ йЦ. Она, естественно, остается постоянной; следовательно, 293 ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ д 2о) Теперь уравнения в форме Лагранжа можно записать так: и+ ! Вр 0 ВГ РГ3, о> 33 Введем массовую лагранжеву координату тД), связанную с с дифференциальным уравнением т~ = р(9, 0).
В массовых лагранжевых координатах уравнения газовой динамики принимают совсем простую форму (вместо плотности р используем удельный объем О = р '). Опуская тильду в обозначениях, имеем Обозначение НЯГ вместо д/дг принято в лагранжевой системе координат. Система лагранжевых уравнений обязательно дополняется уравнением связи лагранжевой (т) и эйлеровой (х) координат: х,(Г, т) = и(Г, т), дх(0, т)/дт = и(0, т), Разрывные решения уравнений газовой динамики. Рассмотрим возможные, в принципе, разрывы в решениях уравнений газовой динамики. Предположим, что функции и(/, х), р(Г, х), е(Г, х) рвутся на некоторой линии в пространстве (Г, х). Пусть эта линия гладкая и по обе стороны от линии разрыва функции и, р, е— классическое решение уравнений газовой динамики. Хотя в этой ситуации уравнения выполнены «почти всюду» (всюду, за исключением линии разрыва, яв- х(Г) ляюшейся множеством меры нуль), такая произвольная «склейка» двух решений не может считаться решением.
Оказывается, между величинами и, р, е в точках на левом 2 н правом краях разрыва должны выполняться некоторые соотношения. Выведем их, используя определение обобщенного решения х (уравнения в интегральной форме). Рнс. 30 Возьмем на линии разрыва некоторую точку и построим около нее малую область й — параллелограмм со сгоронамн, параллельными линии разрыва (рис.
30). Длины горизонтальных сторон считаем существенно меньшими длин боковых сторон. Чтобы разрывные функции и(д х), р(1, х), е(~, х) могли считаться обобщенными решениями, нужно, чтобы для каждой области типа В2 выполнялось соотношение (мы исходим из эйлеровой дивергентной формы) $ !ри ах — (риз + р) Г/1 ( = О. гй (Аналогично для двух остальных уравнений.) пеивлвжвнныв матовы вычислительной эизики .1ч.
и 294 Введем обозначения: Р— скорость распространения разрыва, т.е. Х, = Р (Х(!) есть уравнение линии разрыва); и,, р„е, — значения функций справа от разрыва (область й столь мала, что изменениями функций вдоль контура справа от разрыва можно пренебречь). В дальнейшем мы перейдем к пределу при стягивании ьа в точку. Переменность функций можно было бы без труда учесть, но она дала бы вклад в малые более высокого порядка по сравнению с основными членами. То же самое предполагается и слева от разрыва. Соответствующие предельные значения обозначим и, р, ез.
Интегралами по отрезкам 12 и 34, как уже указывалось, можно пренебречь. Итак, в главных членах соотношение дает 3 ! $ [ри !1х — (риз+ р) гй[ = ~ [ри е!х — (риз+ р) Щ + ~ ... ага а 4 Учтем, что отрезок 23 есть вектор (!ах, !й) = (Р, 1) !й, а отрезок 43 есть вектор — (Р, 1) !й. Сокращая на !й, имеем (РР,и, — Р,и, — Р,) — (Ррзиз — Рвиа — Р,) = О. Такие соотношения на разрыве принято обозначать в виде [Рри — риз — р[2! = О.
Точно таким же образом получаем [(Р— и)р[2!=О, (Р— и)р е+ — ~ — ир~ =О. ! Удобно привести эти соотношения к другой форме (сохранение массы, импульса н энергии соответственно): а) [р(и — Р)[2! = О, б) [р(и — Р)2+ р[2= О, (15) в) р(и — Р) е+-'+ =О. Они носят название соотношений Гюгонио. Два типа разрывов в газовой динамике. Рассмотрим одно из простейших решений соотношений Гюгонио. Пусть и, = Р. Тогда из (15а) имеем рз(и — Р) = О. Так как рз ~ О, то и = Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
