Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 63
Текст из файла (страница 63)
при »1 > О. В этом случае е = «Рг(е )г/в. Из полученных «первых интегралов» имеем и= Сг — Ри, (р+ 4) = С4 Р~г, р= С« — Рги — д. Точные значения постоянных С н других (А, В; см. ниже) нас пока не интересуют. Из «интеграла энергии» для идеального газа — Р— ', + —, + (Р+ ч) и = Сз исключим р, и, (р+ е) по уже найденным формулам.
После простых преобразований получаем уравнение для сч дг = — т Рггг+ Ае+ В. (24) 1ч1 и пгиелнженные методы вычислительной ьизики эоз Утверждение. Многочлен в правой части (24) обращается в нуль при в = и, и и = иг; поэтому он может быть записан в виде г Р (" и~)(" "г)' (25) Доказательство. Соотношение (24) является следствием соотношений (23«). Покажем, что полагая в этих соотношениях в = ип можно получить в качестве следствий равенства р= р„и = и„у = О. В самом деле, из Рн + и = С = Ри, + и, прн г = и, следует, что и = и,. Из -Ри + р+ ~у С, = — Ри, + р, при и = и, имеем р+ а= р,. Из 21 — Р ~ ~— + — ~ + ( р + 4) и = С = — Р ~ ~— + — ~ + р ре и ~ в1«~ — г~ — з= )т — ~ г~ при и= но и = ио р+ а= р, получаем р= р, и, следовательно, я = О.
Таким образом, при и = и, левая, а следовательно, и правая части (24) обращаются в нуль. Точно так же рассматривается и случай и =вг. Используя выражение для д, получаем дифференциальное ураве(иг)г = 0.5(у + 1) (и — э,)(иг — в) (26) (и условие гг> 0). После замены переменных г =Ле/('у+Т~т1 и и = (и, + иг)/2+ г(и, — иг)/2 уравнение (26) принимает вид (г)г 1 г Решение угадывается: г(т)) = »1 нли е(п) = з(п и. Последним решением можно пользоваться (в силу условия иг>0, т.е.
г„> 0) лишь при Ч ~ ( — н/2, х/2). Возвращаясь к прежним переменным, получаем решение (продолжая его постоянным за пределами выделенного интервала й): ь=х — Рус — т —— 2е к у+1 2' зш 1/~(х — Рг), )$~ с Ъ— 2е т+1 г' ~/ 2е и т+1 г' ь,+ь ь,— е + г г сп Такие же формулы легко получить и для функций и(з) и р(е) + уД) с заменой ом иг на ип иг или р,, ргаютветственно.
Итак, получено решение уравнений с вязкостью, совпадающее с решением типа «чистая ударная волна» всюду, за исключением узкой полосы вдоль фронта ударной волны ~х — Щ и(я/2)т/2«7(у+ 1). Ширина «размазанной ударной волны» есть щ/2«/((т + 1) . Опыт показал; что хорошие результаты дает выбор е, при котором волна разре- 1ш1 одномгшьи гглвнвния глзовоя динАмихя шается четырьмя-пятью счетными точками. Например, 5Ь = пЛ з7(у + Т~, т е. з = 256з(у + 1)/(2 из) ш 26з. ' Отметим, что можно выписать формулы для р(х) в зоне волны. Детали нам не очень нужны, отметим лишь, что фактически область плавного перехода от р, к рь примерно в два раза уже, чем для остальных функций и, и, р+ д.
При расчетах влагранжевых координатах по хдифференцируются только функции и и р+ я, каждая из которых имеет стандартную ширину зоны размазывания. Функции р и Э отдельно по х не дифференцируются. Поэтому сокращение фактической ширины волны для р не играет роли. Правда, мы должны еще обеспечить должное размазывание фронта волны на четыре-пять точек сетки по времени.
Практика расчетов, проводившихся в пятидесятых годах привела к такому рецепту. Ударная волна за один шаг времени должна проходить примерно половину интервала по массовой координате, т,е. по времени зона размазанной волны захватывает примерно в два раза больше счетных интервалов. Обратим внимание на то, что по г дифференцируютсз все функции. Таким образом, и более крутой график р также «разрешаетсяь четырьмя-пятью точками сетки по 1. Этот рецепт (половнна шага по пространству за шаг по времени) не был связан с условием устойчивости, так как.мы применяли неявные абсолютно устойчивые схемы.
Он был связан с тем, что для необходимой точности разностной аппроксимации нужно разметить на крутых профилях функции четыре-пять счетных точек сетки (как по времени, так и по пространству). Попытки расчетов с ббльшими шагами по г (расчет, например, со скоростью один шаг по пространству за шаг по времени) приводили к ухудшению результатов: на графиках появлялись осцилляции явно счетного происхождения. Заметим, что все проведенные выкладки можно повторить и в эйлеровых координатах.
Однако ситуация осложняется тем, что в эйлеровой форме уравнений по х дифференцируются все функции. Поэтому приходится брать в два раза более широкую зону размазывания (по х), чтобы фактическая ширина зоны размазывания р была покрыта четырьмя-пятью интервалами сетки. Это уже не очень приятно, так остальные величины при этом размазываются на десять точек.
В 1962 г. автором проводился расчет ударной волны в эйлеровых координатах. Чтобы избежать слишком широкого счетного фронта волны, была вмбрана довольно экстравагантная форма записи уравнений: в качестве основных функций были взяты и, р, с где с — скорость звука. Уравнения (в недивергентной форме) оказались такими, что по х дифференцировались только функции, профили которых имели в зоне волны стандартный синусоидальный вид. Это позволило вести расчеты с шириной размазывания порядка 4Ь. (Подробнее об этом см. з 22 в связи с применением гибридной схемы для решения уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах,) 31О неивлижвнныв методы вычислительной»заики ~ч.
и й 21. Нелинейное уравнение теппопроводности Рассмотрим некоторые вопросы, возникающие прн численном решении. нелинейного уравнения теплопроводностн, ад ах н(х,г,и)ах +Д(х,г,и), (1) которое решается в простой области 0 и а и Т, 0 и х и Х с начальнымн данными и(0, х) = ив(х) и краевыми условиями, для простоты, первого рода: и(Ф, 0) и(а, Х) = О. Нужно иметь в виду, что нелинейность уравнений приводит к сложностям не сама по себе, а лишь в тех случаях, когда она порождает сложные, описываемые негладкими функциями, явления. Чтобы сделать это более конкретным, рассмотрим важный в приложениях случай, когда коэффициент теплопроводности и зависит от и степенным образом: и, = [и«и„[„.
(2) Уравнения такого типа встречаются при описании процессов в высокотемпературном веществе (лучистая теплопроводность), например в звездах. Аналогичные уравнения описывают н процессы фильтрации. дз Рассмотрим характерное и очень важное в при« ложеннях явление, описываемое зтнм уравнеии1 ем, — так называемую тепловую волну, илн, иначе, тепловой фронт. На рис. 33 изображены графих кн функций и(аи х) для трех моментов времени г, < гз < га.
В этом случае мы имеем процесс расРис. 33 пространения высокой температуры по «нулевому фону» (перед фронтом тепловой волны и = 0; в действительности, конечно, перед фронтом температура не нулевая, но очень маленькая по сравнению с температурой за фронтом). Тепловой фронт, Будем искать «автомодельное» решение уравнения, т.е. решение, зависшцее не от т и х, а от нх комбинации, в данном случае от $ = х — Вг, где аа — некоторая постоянная, смысл которой потом станет ясным.
Тогда ди Ии д$ «и ди Ии — = — — = —  —, да Н$ дд а3' дх Ы$ Нам следует найти решение обыкновенного дифференциального уравнения — ааи'= [и«и'['. Интегрируя, получаем -ааи = и«и'. (Так как мы ищем какое-нибудь решение, постоянную интегрирования положим равной нулю.) Уравнение и" 'и' = — Р, нли (и«)' = — хР, интегрируется и дает и«(С) = -йЩ. 311 нелинейное лАвненне теплопговодностн дгЦ Итак, мы получили решение и($) = ФО(-$) и».
Но нас интересует вещественное и положительное и. Поэтому это решение имеет смысл только при к ж О, т.е. при х <1М. Положим иД) = О при р ) О. Легко видеть, что функция и($) — О является решением. Вопрос только в том, можно ли эти два решения склеить, точнее говоря, можно ли н в каком смысле говорить, что функция (3) есть решение уравнения теплопроводносги. Естественно обратиться к понятию обобщенного решения, так как в любой точке (1, х), кроме линии х = Юг (фронт тепловой волны), эта функция удовлетворяет уравнению теплопроводности в классическом смысле.
Обобщенное же решение вводится как функция, удовлетворяющая интегральному тождеству (закону сохранения). Для любой области ьс Ц ~ (х )) (х,11 О (4) и нли для любого контура дй ф, (и Их+ хй~й) =О. (5) д13 Именно в этой форме и проверяется, является ли и обобщенным решением. Если контур не пересекает фронта, проблемы нет; там, где функция и(1, х) гладкая, соотношения (2), (4), (5) эквивалентны. Рассмотрим элементарный контур дй, пересекающий фронт х Юг (рис. 34). Проведем линии 12 и 34, параллельные фронту и находящиеся от него на расстоянии е. Тогда ~ =Иш~ )+~ вп с в!сю зв~1 Заменим эти части контура штриховыми линия- Рнс.
34 мн, показанными на рис. 34. Обозначим замкнутые контуры через 1А21 и ЗВ45. Каждый из этих контуров лежит в области, в которой составное решение (5) является классическим. Поэтому, например, справедливо соотношение ~ = ~ + ~ = О, т.е. ыж ыз л ыэ и Итак, зи нгнелиженные методы вычислительной «нзнкн 1ч. и Очевидно, ~ = О. Осталось оценить 43 г ~ (и Их+ и — йг), 1 На линии 12 имеем ] х — Юг 1 = е, и(х — Ж) = 0(еп"); следовательно, интеграл от и стремится к нулю. На этой же линии ив = 0(е), и, ИиН$ = О(епь ').
Таким образом, и"и, = О(епв) на линии 12, и интеграл от этой величины также стремится к нулю. Итак, составное решение (3) является обобщенным решением нелинейного уравнения теплопроводности. Обсудим несколько вопросов, возникающих при построении разностных схем для уравнения теплопроводности. Аппроксимация на контактном разрыве. Рассмотрим уравнение (1) в случае, если 9= 0 и коэффициент теплопроводности х(х) разрывен, Пусгь среда имеет контактную границу, т.е.
при х < О одно вещество с коэффициентом теплопроводности х„при х > 0 другое вещество с коэффициентом теплопроводности и . Рассмотрим разностную схему, в которой по каким-то причинам удобно поместить контактный разрыв в «целую» счетную точку, а температуру и определить в полуцелых. Это бывает в задачах, в которых, кроме теплопроводности, учитываются и другие процессы, т.е, уравнение для и входит в более сложную систему, например в систему гидродинамики с теплопроводностью (см. 3 22). Если счетная точка, в которой определена температура и (и другие термодинамические параметры), совпадает с контактным разрывом, возникают сложности с уравнением состояния.
Следуя й 11, построим в пространстве (х, г) сетку с узлами (иг, л), приписывая им координаты х, Г„(х +, — — хм + Ь„,+ Пг), Введем сеточную функцию и" +,~, считая ее определенной в точке х + и = 0.5(х + х +,), Разностная аппроксимации строится так: — и +! ю П -П ~»т +иг ~~+~ « " +ш где П вЂ” аппроксимация теплового потока хи„через границу х . Если в точке х свойства среды непрерывны, для П имеем очевидную аппроксимацию: П =(х„/Ь )(и" «пг — и"„, ) (явная схема), П =(и /й )(и"+.,',~ — и" 'пв) (неявная схема).
нвляняйноз л»знениз твплопговодностн йгц Разберем вопрос о том, как следует поступать в точке т = О, в которой рвутся к и и„, т.е. и„„Ь(х) (Ь(х) — дельта-функция), и, стало быть, не выполняются предположения, на которых базируется стандартная техника построения разностных аппроксимаций. В подобных ситуациях необходимо привлечь более точную информацию о дифференциальных свойствах искомого решения. В данном случае следует ислользовать физические предположения о процессе распространения теплоты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
