Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Из (156) следует Рз = р,. Соотношение (15в) автоматически выполняется. На этом разрыве, называемом коитактнььи, имеют место следующие факты: ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОЕОЙ ДИНАМИЕИ 295 контактный разрыв совпадаст с какой-то траекторией, так как его скорость .0 совпадает со скоростью газа и; скорость и и давление р на контактном разрыве не рвутся; плотность на контактном разрыве рвется произвольным образом. Если два сорта газа граничат друг с другом, находятся при одном н том же давлении и движутся с одной и той же скоростью и, никаких событий в среде не происходит. Просто граница раздела движутся с той же скоростью, что и весь газ. Пусп и, че 0.
В этом случае рвутся все функции: из-ь ин р ~ Р„Р2 ~ р,, Такой разрыв называют ударной волной. Итак, мы имеем три примера точных решений уравнений газовой динамики. Константное решение: и(г, х), р(д х), е(1, х) = сонэк Чистый контактный разрыв: (ип рн еп х> и,г, и(г, х), р(с, х), е(Ф, х) = ~ '(из, Рм ез, х < и11 Прн этом Р,(е„р,) = Р (е, рз), так как контактный Разрыв часто разделяет вещества с разными уравнениями состояния.
Чистая ударная волна: (и,, р„е,, х> 0г, и(г, х), р(Р, х), е(1, х) = ~ '(из, рм ез, х <.0п Значения и„р„е, произвольны (разумеется, р, > О, е, > О). Произвольно и значение 0. Значения из, р, ез находятся из трех соотношений Гюгонио. Очевидно, в ударной волне можно поменять местами значения с индексами 1 и 2, условия Гюгонно будут выполнены. Если р, < рз, ударную волну называют волной сжатия, в противоположном случае — волной разрежения. Это относится к волне, идущей вправо (О> О), когда р, есть плотность до прохождения волны. Волна разрежения в природе не реализуется. Ее существование отрицается на основании как физических, так и чисто математических соображений.
Физическая аргументация состоит в том, что, как показывает анализ, при прохождении газа через ударную волну сжатия энтропия скачком растет, а прн прохождении через. ударную волну разрежения — падает. Поэтому физика признает лишь ударные волны сжатия. С математической точки зрения различие в этих формальных решениях уравнений газовой динамики вносится анализом устойчивости. Волна сжатия устойчива относительно малых возмуще- 296 ПРИБЛЮКЕИИЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬИОЙ ФИЗИКИ [ч. и ний. Волна разрежения неустойчива, она не может долго существовать и быстро «разваливается». Что же произойдет, если мы зададим в начальных данных кусочно-постоянные значения, соответствующие ударной волне разрежения? Оказывается, существует еще одно обобщенное (и уже устойчивое) решение уравнений.
Чтобы дать о нем представление, рассмотрим еще более общую ситуацию. Пусть в начальных данных заданы кусочно-постоянные значения и,, р„е при х > 0 и и, р, ез при х < О. Можно ли найти точное решение уравнений газовой динамик в этом простом случае? Оказывается, да.
Решение этой задачи (так называемой задачи о распаде произвольного разрыва в начальных данных) было найдено в сороковых годах Н. Е. Кочиным. Чтобы качественно описать его, нам понадобится еще одно «чистое» решение уравнений газовой динамики. Цеитрированная волна разре:кения. В уравнения газовой динамики входят только производные по Г и х первого порядка. Поэтому они инвариантны относительно преобразования подобия независимых переменных г аг', х= ах'. Точнее, если и, р, е(г, х)— решения уравнений, то и функции и', р', е'(г', х') ш и, р, е(аг', ах') удовлетворяют уравнениям. В самом деле, ди/дх' а ди/дх, ди'/дг'= а ди/дГ', Видно, что функции и', р', е' уравнениям удовлетворяют.
Мы рас- сматриваем безграничную задачу Коши с данными (иы ры е,, х»0, (из, рз, ез, Поэтому функции и', р', е'(О, х') имеют точно такие же значения. Таким образом мы имеем бесконечное множество (при любом а» 0) решений одной и той же задачи Коши. Неявно опираясь на единственность ее решения, мы получаем тождество и, р, е(аг, ах) = и, р, е(г, х). Зто возможно лишь в случае, когда решение зависит не от двух переменных г, х, а лишь от одной автомодельной переменной $ = х/г.
Итак, и, р, е(г, х) = //, я, е(х/г). Уравнение газовой динамики становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые допускают достаточно обозримый анализ. Зти уравнения выводятся после замены операторов а д аВ ~ д а д а~ аа «В ВГ Г дС' ах д~ ах Г Иц' одноме~ ныо ггявнония гюозой динямнки 297 Использум уравнения в форме (14), после простых преобразований получаем систему уравнений для автомодельиого решеним: Р'=~и', и'= — ВУ', — М+Ри'=О (штрих — символ производной по ~). Для уравнения состояния Е = РУ!(у — 1) они легко интегрируются: ч-щ .~п Р(с) "о чзтд +О о т 21о -~ ! (1б) и($) = ~ — — о ц~~ Од~+~>. В результате мы имеем общее решение с двумя произвольными постоянными.
Отметим важное соотношение Сз(г) = т РД)/УД) = ~2. Здесь С есть скорость звука (отлвчие от формулы со= у2о/р связано с тем, что С вЂ” это «массовая» скорость звука, так как мы используем уравнение с массовой лагранжевой переменной), Таким образом, линия $= С, т.е. х = С1, является характеристикой. Заметим, что при с = О решение имеет особенность, которой можно избежать, используя это решение только в интервале Ц', $" 1 при $' < С" с О нли О с г,'с г,", Построим еще одно точное решение типа «центрированной волны разрежения» (для определенности, нддтшей вправо). Пусть и, р„е, произвольны.
Вычислим с" =~/~р~р~ (это будет правая граница волны). Речь идет о непрерывном решении, поэтому нам известим значения У($") = и = 1/р, н У($') ин что позволяет без труда вычислить посюявные Ув, ио в (16). При г, < ф" решение опасывается формулами (16). Левую границу волны О< о,'< $" можно назначить произвольно. Вычислим из (2($'), вз= У(с'), р = РД'). Эта значения определяют константное решение прн г, с г,'. Заметим, что и ударная волна, н контактный разрыв входят в семейство автомодельных обобщенных решений — это константные решения, рвущиеся при некотором значении $.
Теперь можно вернуться к вопросу о распаде произвольного разрыва в начальных данных. Решение является автомодельным и состоит (в общем случае) из контактного разрыва, справа и слева от которого расположена ударная волна нли центрированная волна разрежения, причем возможаы четыре сочетааия: все определяется расположением точек в„р„е, и в, рз, ез. Основаые трудности, возникающие при численном решении уравневай овзовой динамики, связаны с наличиеы разрывов в искомых решениях. При конструировании численных методов обычно выделяют характерные особенности решений, т.е.
строят задачи, в ПРИБЛИЖЕИИЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬИОЯ ФИЗИКИ [ч. н 298 которых наиболее трудные особенности существуют в чистом виде, без взаимодействия с не очень трудными для расчетов гладкими течениями. В таких задачах известно точное решение н качество расчетной схемы оценивается по тому, как оно справляется с решением «модельной задачи». Метод Годунова. Для расчета разрывных решений широко используется метод, основанный на решении задачи о распаде разрыва. Пусть начальные данные являются кусочно-постоянными на некоторой сетке (х ) н о, т.е.
и, р, е(0, х) = (ио + гг, ро+и, ео+пг) при х Я (х, х +,). Оказывается, эта задача имеет точное явное решение. Оно строится так: в ка:кдой точке х нужно решить задачу о распаде разрыва независимо от всех остальных разрывов. Такое решение можно использовать до того момента времени, когда прн каком-то значении Рл правая волна, образовавшаяся от разрыва в точке х встретится с левой волной, идущей от распада в точке х + г Перейдем к описанию схемы. Основными счетными величинами ЯЕЛЯютсЯ н !гг~ Р~~Ф!ле е» Фгп тле л номеР ЕРемеиного слОЯ Ве личина и" +,, например, представляет собой приближенное значение функции и(г„, (х + х +!)/2). Пусть начальные данные и +пг, р +,и, е Фн превращены в кусочно-постоянные на сетке о о о (х ) функции.
Построим точное решение уравнений газовой динамики и определим малое (порядка шгп (х„+, — х )) время т, в течение которого это явное решение существует. Один шаг численного интегрирования соответствует продвижению по ! на г. Для того чтобы сделать второй шаг, нужно и при ! = г иметь кусочно-постоянное решение. Точное решение, конечно, таковым не является. Поэтому оно аппроксимируется кусочно-постоянным с сохранением в пределах каждого интервала основных физических величин: массы, импульса н энергии. Например, (х„+, — х ) р' +н — — ~ р(т, х) с(х.
Аналогично вычисляются ! ! ! ! г Р„+нг ив+!гг рт+!гг(от+!!г+ (и, +г!г) /2!. Однако и, р, е при ! = г являются сложными функцнямн х, вычислять интегралы от них трудно. Это препятствие обходится следующим образом. Рассмотрим ячейку (х, х + ) х (О, г) и запишем уравнения в интегральной форме (3), взяв ячейку в качестве й. В результате одномзгныг.
гк«внзния гАзозой диилмики 299 получим соотношение х +$ ~ Я[0, х[ !/х — ~ Яг, х +!! сй — ~ Я[«, х[ ах+ ~ Ц[/, х [ г/г = О, «„ о (17) где Я[!, к[ ш Я(и(/, х), р(б х), е(/, х)). В (17) третий интеграл есть то, что нам требуется. Первый интеграл вычисляется элементарно, так как Я[0, к[ = Я(и~ +!н» р«+!и» е«+нз) в силу постоянства начальных данных на (х, х +,). Так же легко вычисляются второй и четвертый интегралы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
