Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Интеграл по этой узкой «ленте» при очень малой ширине Л = еяТ/!з почти совпадает с интегралом по линии, умноженным на Ь. При «обмотке» «лента» заполнит ячейку яТ (площади перекрытий и пустот стремятся к нулю при е-»0). Отсюда и следует (25). Ряд Пуассона в специальном случае. При построении метода осреднения для многочастотных задач мы заинтересованы в использовании ряда Пуассона на возможно большем интервале времени. Это требует улучшения стандартных оценок за счет привлечения дополнительных предположений о функции у.
Рассмотрим одно из таких уточнений, в котором используется предположение А = 0.5(У,(е) + Т';(е)) ж О. В известном смысле можно говорить о том, что траектории невозмущенной системы «нейтральны», или «не неустойчивы», н что матрица у, не имеет собственных чисел в правой части плоскости комплексного переменного, но может иметь их на мнимой оси. Оценим расхождение траекторий возмущенной и невозмущенной систем за время ! = О(е '). Утверждение 7.
В рассматриваемом случае для траекторий систем х = Т(х) + е Р(х), е = У(е), х(0) = г(0) = д,, справедлива оценка Цх(!) — Б(!) !! П О(е!). Доказательство. Имеем уравнение — (х — з) = У(х) — У(е) + е Р(х), (х — е) ~, В = О. И гзг ививлижвнныв методы вычислительной «изики 1Ч, И Введя гг(~) вв (х — г, х — г), вычислим и оценим производную: 2гг = 2(х — г, х — г) = 2(/(х) — /(г), х — г) + 2 а(Р(х), х — г). В Ц 7 в аналогичном случае (прн А и 0) было показано, что (/(х) — /(г), х — г) 4 О. Предположим, что ЦР(х) Ц и В при всех х. Оценивая обычным образом (Р(х), х — г) < Вг, получаем г ~ «В, откуда и следует утверждение. Теперь перейдем к оценке первого приближении по ряду Пуассона х,(Ф) = г(Ф) + а Х,(Ф). 11ля х, имеем уравнение х, =/(г) +/,(г)(х~ — г) + а Р(г), х,(0) = рв.
Преобразуем уравнение для х так, как это делалось раньше, но с более подробным представлением членов О(аг): х = /(х) + а Р(х) = /(г + (х — г)) + а Р(г + (х — г)) = = /(г) + /,(г) (х, — г) + О (Ц/„Ц Цх — гЦ') + + а Р(г) + а 0(ЦР,Ц Цх — гЦ). Таким образом, уравнение для разности имеет вцд — (х, — х) =/,(г)(х, — г) + О(Ц/„„Ц Цх — гЦг) + а 0(ЦР,Ц Цх — гЦ). используя А и 0 и оценку Цх(а) — г(1) Ц и Ваг, получаем Цх (г) — х(1)Ц и агат 0(Ц/„Ц) + аггг О(ЦР Ц). (2б) Из оценки (26) непосредственно вытекают два следующих утверждения.
Утверждение 8. На временах г = 0(1/ага) первое приближение по ряду Пуассона сохраняет точность 0(ч а). Это утверждение следует из оценки первого члена правой части (2б). 'Отметим любопытное обстоятельство. При а = 0(1/а) оценка погрешности первого приближения 0(1/а) хуже оценки «нулевого» приближения 0(1). Это — действие пресловутых «секулярных» гленов: уточняя решение при малых О они ухудшают его при больших. Утверждение 9. Пусть невозмущенная система линейна, т.е.
/„„= О. Тогда первое приближение имеет погрешность 0(а) на временах ~ ~ О(1/~Ге) и погрешность О(~Ге) на временах О(1/ Зм) Это утверхщенне следует из оценки величины аг Р. Оно представляет интерес, например, для задачи, в которой невозмущенная система распадается на несколько гармонических осцилляторов (задача об эволюции слабо связагшых осцилляторов). звз одномзгныь ггАвнзння гАзовой днньмнкн а зо1 5 20.
Одномерные уравнения газовой динамики и их численное интегрирование Уравнения газовой динамики сами по себе представляют большой интерес, так как ими описывается очень важные явления. Вместе с уравнениями теплопроводности, распространения электромагнитных волн н т.п. эти уравнения входят в описания большого числа сложных явлений, интересующих современную физику. Развитие вычислительной физики в значительной мере определялось задачами газовой динамики, Необходимость их эффективного решения стимулировала разработку многих новых вычислительных конструкций, которые затем успешно использовались н в других областях.
Поэтому спецналксту в современной вычислительной математике нужно знать основные математические факты газовой динамики, чтобы понимать возникающие вычислительные трудности и способы их преодоления. Ниже мы опишем необходимый минимум знаний в этой области. Мы начнем с одномерной газовой динамики. Уже этот простой случай содержит характерные трудности, связанные с необходимостью расчета разрывных решений — ударных волн, контактных разрывов. Для расчета одномерных течений газа были разработаны эффективные методы, специальные приемы, которые в дальнейшем обобщались на случай более сложных (двумерных и в настоящее время даже трехмерных) течений газа. Перейдем к формулировке задачи. Будем рассматривать модель, в которой состояние среды (газа) описывается следующими функциями, зависящими от двух независимых переменных 1 (время) и х (пространственная координата): и(г', х) — скорость газа, р(г, х)— плотность, р(Г, х) — давление, е(г, х) — внутренняя энергия (удельная).
Величины е, р, р не являются независимыми: онн связаны соотношением, называемым уравнением состояния. Это уравнение мы будем употреблять либо в форме р= Р(е, р), либо в форме е = Е(р, р). Иногда используются н другие величины, однозначно вычисляемые через любую пару термодинамических переменных (е, р), (р, р), ... (энтропия, энтальпия и т.д.). Используя этн термодинамические оютношения, газовая динамика, таким образом, ограничивается списанием явлений, протекающих в условиях локального термодинамического равновесия. Время свободного пробега молекул и его длина считаются бесконечно малымиь по сравнению с временами и длинами, на которых происходят заметные (с точки зрения газовой динамики) изменения основных величин, описывающих состояние газа.
ПРИБЛИКЕИИЫЕ МЕТОДЫ ЕЫЧИСЛИТЕЛЪИОЙ ФИЗИКИ 1ч. и Уравнения газовой динамики имеют вид законов сохранения импульса, массы и полной энергии соответственно: а) — + и — + — — =О, ди ди 1 др а! ах р ах б) де!+Пах +Ра„=О, в) — !1е+ — ) + и — !е+ — ) +- — =О, иг! а ( и'! ! д(ри! а! ~ г) ах ~ г) р ах Эти дифференциальные уравнения для четырех функций и, р, е, р замыкаются уравнением состояния р = Р(е, р). Уравнения газовой динамики допускают разные формы записи; они эквивалентны, если предположить непрерывную дифференцируемость функций. Из них мы отметим важную для дальнейшего дивергентную форму уравнений: а) д! (Ри) + ах (Ри + Р) =О, а а а! + ах (Ри) = О' (2) в),З, Р е+ г +;!х Ри е+ г+ Уравнение (2а) есть сумма (1а) и (1б), умноженных на Р и и соответственно. Уравнение (2б) прямо получено из (1б), Уравнение (2в) есть сумма (1а) и (1в), умноженных на (е + иг(2) и р.
Каждое из этих уравнений имеет форму Л,+О.=О, где Я, Д вЂ” функции от и, р, е, р. Именно это обстоятельство служит основанием для термина «дивергентная форма уравнения». Она очень важна, так как из нее непосредственно следует запись уравнений в так называемой интегральной форме. ПоСлЕДияя приводит К ОПРеделению обобщенных решений уравнений газовой динамики В газовой динамике нельзя обойтись классическими решениями.
Напомним, что зто функции, имеющие непрерывные производные и удовлетворяющие уравнениям в прямом смысле этого слова. При этом несущественно, в какой форме записаны уравнЕния. Многие задачи газовой динамики классических решений не имеют. Необходимо рассматривать функции, имеющие на некоторых линиях в пространстве (й х) разрывы не тодько производных, но н самих функций.
В этом случае понятие «решение» должно быть соответствующим образом обобщено. гзз ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Обобщенные решения уравнений газовой динамики. Пусть функции и(й х), р(е, х), е(О х), р(у, х) являются классическими решениями уравнений, записанных в днвергентиой форме. Тогда они удовлетворяют и уравнениям в интегральной форме. Выведем их. Рассмотрим в плоскости (й х) произвольный замкнутый контур Г, ограничивающий односвязную, для простоты, область й. Вычислим О=)$ (Я +(')„) ~йс(х= ф (Яс(х — Ягй), ЧГ.
(3) и Г Равенство нулю интеграла по любому замкнутому контуру Г есть интегральная форма уравнений. Таким образом, классические решения являются и решениями уравнений в интегральной форме. Однако зта интегральная форма может быть принята за основную, определяющую. Итак, абобщеннымн решениями уравнений газовой динамики назовем функции и(г, х), р(С, х), е(Ф, х), р(й х)удовлетворяющие интегральным соотношениям (3). При этом иг 1 ри, Я(р,и,е)= Р'~ ~ Д(р,и,е)= Ри' ри е+ — "+ — "~. 2 р (4) Другие формы уравнений газовой динамики. Разные формы записи уравнений подчеркивают тот или иной аспект описываемого ими явления.
Эти формы используются для построения разностных аппроксимаций и приводят к отличающимся разностным схемам, казкдая из которых может оказаться предпочтительной при расчете какого-то специального класса течений. В дальнейшем мы специально коснемся этого вопроса еще раз. Нам потребуется другая форма уравнения энергии. Из (1в) вычтем (1а), умноженное на и: — + и — + — — =О. ае ае р ан аг ах раз (5) Эта недивергентная запись уравнения для внутренней энергии часто оказывается полезной по соображениям, которые мы подробно обсу- дим в $ 22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
