Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 53
Текст из файла (страница 53)
5 19. Осреднение быстрых вращений Рассмотрим важный в приложениях метод интегрирования специального класса обыкновенных дифференциальных уравнений. Приложения его столь разнообразны, что имеет смысл начать с абстрактной постановки задачи. Пусть имеется система уравнений г =,г(г), г(0) = 47 ! > 0 (1) б) г(0 чо) чо1 '!' чо в) г(7(«о) но) !го ~но (2) описывающая некоторое физическое явление «в главном» (факторамн, мало влияющими на эволюцию системы, пренебрегаем). Известно общее решение — функция г(г, о ) (точнее, вектор-функция, но размерность г в дальнейшее явно входить не будет).
И наконец (это существенное предположение, выделяющее узкий, но важный класс задач), пусть все траектории (1) периодичны с периодом Т(ц ), своим на каждой траектории. Итак, нам известна функция г(1, Чо), удовлетворяющая соотношениям а) г!(т, Со) = Лг(г, Оо)), 1т' г, О„ пгиелижеииые методы вычислительной»и»яки 1ч. н 262 Если бы начальные данные были заданы в момент га, общим решением (в силу независимости / ат г) была бы функция е(/ — га, са). Систему (1) будем называть «невозмущенной», ее решение — «не- возмущенной траекторией». Пусть более полное описание явления, учитывающее влияние малых сил, приводит к системе, именуемой в дальнейшем «возмущенной»: (3) х = /(х) + еР(х), х(0) = дш е « 1.
Нас интересует это более адекватное действительности описание явления. Здесь е — малый параметр, функции /, Р, Т будем считать «гладкими», т.е. они сами и их используемые в выкладках производные суть величины 0(1) (без этой оговорки предположение е «1 не имело бы смысла). Система (3) не имеет явного решения и возникает вопрос; нельзя ли узнать что-либо о траектории (3); испалъзуя ее близосп к «интегрируемой» системе (1)? Если нас интересует ограниченный отрезок времени (например, три-пять периодов), ответ очевиден и ничего интересного в задаче нет.
Из общего курса дифференциальных уравнений известна теорема о непрерывности решения задачи Коши по правой части, т.е. х(г, %>) = е(г, Се) + 0(е). (Для этого периодичность г не нужна.) Но что произойдет за «болъшой» интервал времени? Как «накопятся» последствия малого возмущения е Р(х) за время порядка 1/е? Здесь очевидного ответа нет. Изложенная ниже достаточно сложная теория позволяет производить соответствующие расчеты. Речь идет о теории малых возмущений на больших временах. В задаче имеется малый параметр е и большой параметрг — время процесса О(1/е).
Именно это последнее обстоятельство определяет нетривиалъный характер проблемы, решение которой удается продвинуть за счет использования важного свойства невозмущенной системы (1)— периодичности всех ее траекторий. Что касается «согласаванности» параметров е и г ю 0( 1/е), то она связана не с существом задачи, а просто с тем, что удается построить аппарат решения задачи (3), работакиций эффективно именно на временах О(1/е).
В частных случаях удается распространить его действие иа времена 0(1/ез), а иногда и на весь интервал 10, м ]. В некоторых ситуациях удается построить метод, работающий на временах О(1/~е ), и это тоже представляет интерес. Содержательные примеры. Рассмотрим пример, исторически положивший начало развитию и применению метода осреднения, Движение планет Солнечной системы достаточно точно описывается системой уравнений вида «х,.
-3?'- — — /,(х~) + ~ ег? Рц(ха х ), 1= 1, 2, ..., /. (4) l 263 асгзлннннн выстгых нгхщзний 9 19) Здесь 1 — число планет, ! — номер планеты, х, — шестимерный вектор, описывающий состояние планеты-точки в фазовом пространстве, У; — сила притяжения Солнца, действующая на 1-ю планету, зы РП(хн х2) — сила взаимного тяготения 1-й и )-й планет, е,, — соответствуюший малый параметр. Невозмущенная система х,=/,.(з,.), ~ 1, 2, ..., 1, (5) имеет известное решение — движение по эллипсам. Каждая планета имеет свой период Т, и, строго говоря, то, что будет излагаться ниже, неприменимо к данному примеру. Хорошую и эффективную теорию удается построить для одночастотной задачи, когда все компоненты невозмущеиной траектории имеют общий период.
Обобщение этой теории на многочастотный случай (а именно таким является Солнечная система) связано с принципиальными и до настоящего времени еще не преодоленными трудностями. Тем не менее именно для расчета движения планет впервые без строгого обоснования («эврисгически») стали использоваться методы осреднения, которые берут начало в трудах классиков небесной механики, в частности Гаусса. Второй пример задачи (3) — расчет движения искусственного спутника Земли. В этом случае 2 — сила притяжения Земли, «Р— малые силы, связанные с нестрогой сферичностью Земли, с сопротивлением крайне разреженной на высоте орбиты спутника атмосферы, с притяжением Луны и т.п. Наконец, третий пример — дрейф электрона в «скрещенных» магнитном и слабом электрическом полях. Может показаться, что для современного специалиста, вооруженного мощными ЭВМ, нижеследующее особого значения не имеет.
В конце концов это обычная задача Коши, с которой «все ясно», существуют хорошие стандартные программы и можно «пробить» задачу мощью современных компьютеров. Однако речь идет об интегрировании задачи Коши на очень большом интервале времени, и здесь остро стоит вопрсх об оценке накопления вычислительных погрешностей. Надежно выделить на этом фоне влияние малого возмущения не так-то просто. Нужно учитывать и то, что з расчетных формулах численного интегрирования типа х„,„= х„+ т Дх„) + зт Г(х„) (б) при достаточно малом й величина зтР может выйти за пределы точности машинного представления х.
В таком расчете возмущение просто игнорируется. Не следует забывать и «экономическую» сторону: при интегрировании шаг т должен быть таким, чтобы погрешность аппроксимации была существенно меньше возмущения «г". Пусть, для опреде- в<н<нн<нанон<н лн<о<лм манн нн«ланой лнтнкн 1ч. и 264 ленности, это достигается прн т ш 1т0 тТ (Т вЂ” период невозмущенной системы), Если а очень мало и время 0(1/е) содержит, допустим, 104 периодов (а это не такой уж нереалънмй случай), прямое интегрирование может оказаться на пределе возможностей ЭВМ. .'„Отробоскопический метод.
Качественные соображения, Приступим к' предварительному качественному анализу движения возмущенной системы, который приведет нас к разработке аппарата асимптотического интегрирования на большом внтервале времени. Существуют разные подходы к построению такого аппарата. Мы предпочтем так называемый стробоскопический метод нз-за его простоты и наглядности.
Рассмотрим траектории а(ут <у„) и «(<, чн) систем (1) и (3), стартующие из одной и той же точки д . Через время Т(д ) траектория а(у, чо) возвратится в ту же самую точку <у, траектория х(у, да) попадает в точку д„лежащую в О(а)-окрестности д, Однако нам нужно более точное соотношение: дт ш «(у (до) Чо) Чо+ а Р(до) + 0(е ). (7) В дальнейшем мы докажем его и опишем методы вычисления функции Р(ч).
Пока же примем зто соотношение и достаточно естественное предположение о гладкости функции Р(<у). Обоснование (7) будет резулътатом не очень сложной теории малых возмущений на конечном интервале времени, равном только одному периоду Т(до). Применим тот же аппарат,'рассматривая траектории, стартующие в момент вРемени Ут = т(ч„) из точки д, (котоРав известна с точно-' стью до О(аз)).
ТРаектоРив а(т — У„дт) чеРез вРемв Т(У,) веРнетсв в точку д„а траектория х(т — т„дт), являющаяся продолжением траексоРии х(0 до), попадает в точкУ да= — х(Т( Ут), дт) = х(тт, до), где 1з = Т(чв) + т(д, ), и для нее имеем чт = <у, + а Р(дт) + 0(а~).
Продолжая далее, получаем последовательность моментов времени уа и положений возмущенной траектории д ш х(та, дн), связанных соотношениями д, = <уз+ а Р(до) + 0(е ), тт = то+ Т(до)< д =дт+ аР(у,) + 0(е ), т = тт+Т(у,), (8) Ча+т — — Ча+ а Р(де) + 0(е ), та+т — — уа+Т(Че). 6 цй ос»зли«низ зыстгых вг»щения 1) «01 Наличие «лишнего» слагаемого О(»з) не принципиально. Точнее, если известно решение (9), введем на оси т сетку с шагом» н обозначим Д» = Д(т»), т» = йе.
Тогда величины Д будут удовлетворять разностным уравнениям а„, = а» +» Ра,) + О(» ) (10) — тем же самым, что и уравнения (8) для д» (конечно, О(е») у ник разные, но это не существенно). Таким образом, кривую д(т) можно приближенно вычислить, интегрируя уравнение (9), именуемое уравненым в мед««ином времени. Однако нужно еще установить связь между «медленным временем» т и физическим временем 1. Она следует из соотношений т»,,=т +», 1„,=1 +т(ч»), й 0,1,2,..., которые можно рассматривать как приближенное интегрирование дифференциального уравнения й= -, 'та(т)), (!1) т.е.
грубо говоря, время т меняется в » ' раз медленнее времени 1. Изменению медленного времени т на «шаг» » соответствует изменение физического времени на Т(9) = О(1). Следовательно, если будет установлена близость величин Д» и д» для й м з ', то тем самым, зная (Кт), мы получим информацию о траектории х(1, дв) Рисунок 27 дает качественную иллюстрацию этой конструкции. Попробуем соединить точки се, ц„..., 9», ... некоторой плавной линней д(т), где т — пока просто параметр. Она «устроена» гораздо проще тРаектоРии х(1, йо) — ик можно сРавнить с прямой н спиралью соответственно.
х( Итак, следя не за всеми положению»и точки х(1, цо), а «высвечивав» ее только в 3 специальные дискретные моменты времени т (это и есть стробоскопия), мы получаем существенно более простую кривую д(т), которая несет достаточную информацию о траектории х(1, до). Вопрос в том: как найти кривую д(т)? Внимательного взгляда на разностные соотношения (8) достаточно, чтобы возникла следующая догадка. Точки д» можно получить в процессе численного интегрирования (методом Эйлера с шагом») дифференциального уравнения Я=Р(Ц), 0(0) =9« (9) 266 нгиалиженные метОды Вычислительной Фнгики 1ч. и за а ' периодов, т.е. за физическое время О(а '). По существу выше были изложены все основные идеи метода осреднеиия. Перендем к их оформлению с технической стороны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
