Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Элементарная теория малых возмущений. Начнем с теории, позволяющей рассчитывать движение возмущенной системы на ограниченном интервале времени. В этой теории используется малость возмущения и известное решение невозмущенной системы. Речь идет о стандартной в таких вопросах технике. Решение ищется в виде ряда Пуассона по степеням е: «(Г~ йо) Хо(Г> Чо) + а Х~(Г чо) + ег Хг(Г До) + "' (12) где коэффициенты Х, Х„Х, ...
подлежат определению. Подставляя конструкцию (12) в уравнение х =/+ ЕР, имеем Хо+ЕХ,+аХг+...= =/(Хо+ аХ, +егХг+ ".) + БР(Хо+ БХР+ егХг+ "). (!3) Разлагая правую часть (13) в ряд Тейлора, получаем хг Хо + аХ, + а Хг+ ... хх /(Хо) + /х(Хо) Х2 + /хх(хо)Х~Х~ + + а /х(ХВ)Хг+ ...
+ а Р(ХЕ) + е Р„(Х )Х, + .. Обычная техника приравннвания членов при одинаковых степенях а дает последовательные уравнения (для ео, е', ег соответственно) Х, = /(Х,), Х,(а) = йш Х, =/.(Х,)Х, + Р(Х,), Х,(0) = О, (14) Хг =/х(ХВ)Х2+ г/' (Хо)ХХ, + Р (Хо)Х„ХБ(0) — 0 Начальные данные Коши к уравнениям (14) получены точно таким же образом из начальных данных х(О) = Хо(0) + а Х,(0) + аг Хг(0) + ...
= Оо. Мы не будем здесь расшифровывать формального выражения /„ЕХ,Х, (/„„— вектор, днфференцируемый дважды по вектору х). Не будем выписывать и членов более высокого по е порядка. Это достаточно сложные выражения, в которых появляются /„х и т.п. Обратим внимание на специфику уравнений и опишем процедуру их решения. Уравнение дле функции Хо — это просто уравнение (1), Оно нелинейно, но мы предполагаем; что его решение нам известно.
ОЕРеднение ВыстРых ВРАЩЕний $ г91 267 Итак, ХВ(г, 49) = Е(г, дь). Следующее уравнение — это уравнение для определения Х,. Оно является линейным неоднородным уравнением с переменными коэффициентами. Матрица /„(Х ) может рассматриваться как известная функция от к Ее точное значение есть А(Г) = /,1е(1, дь)). Правая часть этого уравнения — тоже известная функция времени Р1е(г, дз)). таким образом, задача коши однозначно определяет функцию Х,(~, оь). Уравнение для Хз(», аз) имеет ту же структуру, что и уравнение для Х„отличаясь лишь правой частью. Но после определения ХВ, Х,(Г) правая часть этого уравнения вычисляется и может считаться известной.
Все последующие уравнения для коэффициентов формального ряда имеют одну н ту же структуру: Хе =А(Г)ХВ+ Аь(~), ХА(0) =О, (15) где Я» — сложное выражение из производных /, Р' по х и функций х,(~), х,(е), ..., Х„,(г). Таким образом, функции Х, Х„Х, ... могут быть вычислены последовательно. Конечно, фактическое вычисление этих функций является сложным делом.
Прежде всего мы сталкиваемся с резким возрастанием сложности аналитических выражений ири последовательных дифференцированиях по х, причем сложность зависит от выбора переменных. Удачный их выбор может существенно упростить процедуру, и этому уделяли большое внимание классики небесной механики. В настоящее время проведение таких громоздких, но алгоритмическн четко определенных выкладок все чаще поручается ЭВМ. Что касается решения уравнения (15), то эта проблема имеет достаточно эффективное решение. Решение уравнения в вариациях. Теорема Пуанкаре. Последовательное решение цепочки уравнений (14), определяющей коэффициенты ряда Пуассона, в принципе является чисто технической задачей.
Это следует из теоремы Пуанкаре. Теорема 1. Пусть известно полное решение е(~, ЕВ) невозмущенною уравнения (1). Тогда решение уравнения в вариациях /,!.(бе,)) у+я(1), «(0) — 0, (16) сводится к дифференцированию и взятию квадратур. Доказательство. То, что е(Г, ОВ) является полным решением задачи (1), означает выполнение тождеств (2а) и (2б). Что касается решения линейной системы (16), то, как известно, нужно прежде всего иметь фундаментальную систему решений однородного уравнения — матрицу Ч'(г), каждый столбец которой удовлетворя- пгивлижвнныв матовы вычислитвльной оизикн 1ч. и 288 породному уравнению в вариациях, т.е. Ч' должна быть решением уравнения — = /,[х(С, до) [ Ф, Ф(0) = Е.
(17) Утверждение 1. Ф(1) = з (С, до). В самом деле, дифференцируя по до тождество (2а), получаем (меняем порядки дифференцирования по Г и д ) — з (1, По) = /,[г(Г По)[ г (Г ао). Дифференцируя по д тождество (2б), имеем ,(О, а) = †," = Е. Утверждение доказано: х (г, до) удовлетворяет уравнениям (17). Используя обозначение А(Г) = /,[х(0 до)[, сформулируем следующее.
утверждение. Утверждение 2, Вектор-функция Ф(г) =Ч'(г)а (где а— произвольный вектор) является решением задачи Коши ~р = А(г) ~р, 1р(0) = а. В самом деле, 1р= Фа. Но Ф= АЧ', следовательно, мы имеем ~~ = АЧ'а = АФ. Кроме того, Ф(0) = Ч'(0)а = а. Утверждение доказано. Решение неоднородного уравнения (16) можно найти методом вариации произвольных постоянных. Ищем решение в виде у(1) = ч~(г) а(г), где а(г) — подлежащая определению вектор-Функция. Подставим зту конструкцию в (16): Фа + Ч~а = А%а+ 22.
В силу Ф = АФ имеем Ч'а = Я, т.е. а = Ч~ — '(1) д(г). Это уравнение интегрируется в квадратурах: с а(1) = $ Ч' '(т) Я(т) Ыц у(!) = Ф(Г) $ Ч' '(т) А(т) агт. о о Подводя итог, получаем «явное» выражение для решения зада- чи (16): ! «(Г) = х (1 ~2о) 1 х (т Чо) н(т) пт. (18) о Итак, мы рассмотрели проблемы, связанные с вычислением формального ряда Пуассона. Обсудим содержательный вопрос: что дает ряд Пуассона для описания траектории возмущенной системы? В частности, нельзя ли его использовать для оценки х(0 ч ) на большом интервале времени? 269 ОСРЕДНЕНИЕ БЫСТРЫХ ВРАЩЕНИЙ 5 191 Оценка ряда Пуассона.
Рассмотрим частичные суммы ряда Пуассона, опУскаЯ аРгУмент Р/р: хр(г) = Хр(г) = е(Е), х,(/) = Х,(С) + ВХ,(/), хз(/) = Хр(/) + БХ,(/) + Б Хз(/), Оценим их уклонение от траектории х(/). Начнем с оценки хр(Г) — х(Т). Теорема 2 . Решения систем уравнений хр=/(х,), хр(0) = др, х=/(х) + БР'(х), х(0) = др, УдовлетвоРЯют неРавенствУ Р(/) кв Цх(Р) — хр(/)Ц «(В/с)ес', где С вЂ” константа Липшнца функции /,  — оценка функции Р: ЦР(х) Ц «В, Будем предполагать, что условие Липшипд и ограниченность Р выполнены «всюду», хотя на самом деле достаточно потребовать этого лишь в некоторой окрестности множества точек х, пробегаемых траекторией х(г).
Доказательство. Вычитая уравнения для х и х, получаем уравнение для их разности: р~ (Х Хр) /(Х) /(Хр) + ЕВ(Х) (Х Хр) [ Р р — 0 Выпишем УРавнение длЯ Рз(/) ш (х — хр, х — хр): 2гг = 2(х — хр, х — хр) «2Цх — хрЦ Цх — хрЦ « «2Р(Ц/(х) — /(хр) Ц + БЦ г(х) Ц) «2Р(СЦ х — хрЦ + БВ). Итак, имеем оценку (дифференциальное неравенство) Р «Сг+ БВ.
Отсюда утверждение теоремы получается с помощью леммы, полезной и в других вопросах. Л е м м а 1 (Гронуола). Если гладкая функция Р(/) ж 0 удовлетворяет неравенству Р ж Сг + А (Р(0) = О), то г(Р) «(А/С) ес'. Доказательство. Введем функцию Я(/) как решение дифференциального уравнения Я = СЯ + А (Я(0) = О). Очевидно, Я(Г) = (А/С)(ес' — 1) «(А/С)ес' Покажем, что Р(Г) «В(Г). Это есть простое следствие (при Р(г) = я(г)) соотношений — [Р(г) — Я(г) [ «О, [Р(0) — Я(0) [ = О.
поэтому функция Р(/) не может обогнать в росте А(г). 270 игивлижвииыв мгтоды вычислитвльиой физики ~ч, и Из доказанной теоремы следует, что траектории возмущенной н невозмущеиной систем в-близкн друг к другу. Но крайне неприятный множитель ес' ограничивает действие этого утверждения такими временами, для которых ес'~<1/в. Это соотношение выполняется для любого ~ при достаточно малом в, однако ~ н в в оценку входят «неравноправно» (г линейно, ~ экспоненциально). Поэтому полученная оценка теряет смысл при! = О(!п г). Правда, она получена при очень грубой информации о функции /: используется только условие Липшица или, что более или менее то же самое, ограниченность Ц/„Ц. В $ 7 мы видели, что привлечение некоторых дополнительных свойств матрицы /„ может существенно улучшить оценки подобного рода (см.
ниже утверждение 8). Перейдем к оценке первого приближения по ряду Пуассона, т.е. к оценке Цх, — хЦ. Выпишем уравнение для х,(~): х, = Хв+ вХ, =/(Хв) + в/„(г(Г))Х, + в Р!г(1)1. Поскольку вХ, = х, — хв = х, — г, запишем уравнение в форме х =/(г) + /,(г)(х, — г) + в г'(г).
Уравнение х =/(х) + г Р(х) для х после простых тождественных преобразований примет вид х = /(х) + в Г(х) = /(г + х — г) + в Г(г + х — г) = /(г) + + /'„(г)(х — г) + О(Цх — гЦг) + г Р(г) + г Р,(г)(х — г) + О(вз). Здесь мы использовали уже доказанное (для конечного интервала времени) соотношение Цх — гЦ = О(в). Итак, мы имеем х, =/(г) +/,(г)(х, — г) + в Е(г), х,(0) = дв, х =/(г) + /,(г)(х — г) + г Р(г) + О(гг). Эти два уравнения отличаются друг от друга наличием члена О(вг) во втором, Применяя те же оценки, что и при доказательстве предыдущей теоремы, получаем аналогичную оценку: Цх (Ф) — х(г)Ц ж ест О(гг). Здесь постоянная Липшица (по переменным типа х, х1) правой части относится к линейной правой части, т.е.
по существу совпадает с !(/,(г)(1. разумеется, мы неявно использовали предположение о гладкости функций большей, чем этого требовала теорема 2. Тем же способом можно доказать теоремы об О(вз)-точности второго приближения х (г) и т.д. Так как мы предполагаем исполь- 27! ОГРРДИЕИИЕ БЫСТРЫХ ЕРАШЕИИЙ $191 зовать несколько членов ряда Пуассона только на интервале времени, равном одному периоду, множитель ес' нас не стеснит, и мы ограничимся этими сравнительно грубыми оценками. Подведем итог. Для приближенного решения возмущенной системы х =/(х) + е Р(х), х(РО) д' может быть построен формальный ряд Пуассона е(Г Ге 9) + е Х1~7 79 9) + е Х2(7 — 79 Ч) + "° частичные суммы которого приближают х(~) (при соответствующих требованиях к гладкости / и Р) с точностью О(е), 0(ез)..., Нас интересует смещение за период Т(Г7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
