Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 58
Текст из файла (страница 58)
И наоборот, если для любого Г имеет место ф (Я Фх — Д сй) = О и Г Я, Ц имеют производные, то почти всюду Я, + Д„О. Проверка того, что функции и, р, е являются решениями уравнений газовой динамики в обобщенном смысле, носит не очень обозримый характер (нужно проверить соотношения (3) для всех Г), но зато не требует дифференцируемости этих функций. пгввлнжвнные методы вычислительной»изики Другие формы уравнений мы получим, ограничившись простым, но очень важным в приложениях случаем идеального газа. Этот термин связан с конкретной формой уравнения состояния е= — ~-, или р= (у — 1)ер, г/ где у — постоянная.
С учетом этого соотношения преобразуем уравнение (5) для е в уравнение для р: ~ + и ~ + "/р — =О. д/ дх дк (б) Используя еще одну термодинамическую величину — адиабалдическую скорость звука с =т/ур/р (она может быть выражена через любую пару термодинамических величин, принятых за «основные»), получаем уравнение в форме р, + ир„+ сзри = О. (7) Выведем уравнение «для энтропии». Вычтем уравнения (5) и (1б), умножив нх на р и рlр = (/ — 1)е соответственно.
Умножая результат на 1/(ре), группируя отдельные члены (члены с и„, очевидно, взаимно уничтожаются) и вводя в качестве термодинамической величины энтропию идеального газа 5 = 1п (ер' д) = 1и — Е-, д/ 7 т — 1' получаем уравнение «для энтропииы 5,+и5„=0, илн д/+и — д 5=0. (8) Из него следует вывод: энтропия сохраняется вдоль «траектории частицы», т.е, на траектории уравнения Х = и(/, Х), Х(0) = Хв.
Сформулируем это важное обстоятельство более аккуратно. Прежде всего подчеркнем, что вышеизложенные выкладки были проведены формально, в предположении, что используеыые производные существуют. Другими словами, все эти уравнения равносильны (из одних следуют другие) только в случае классических решений. Пусть мы имеем классическое решение уравнений газовой динамики.
Обозначим траектории частиц более аккуратно Х(/, Х„), Имея решение и(б х), р(/, х), е(/, х), р(/, х), мы имеем и энтропию 5(/, х). Тогда Я(/, Х(/, Хд)) =5(0, Хд). В частности, если в начальных данных энтропия была постоянной, она остается постоянной всюду (изоэнтропическое течение) и одно уравнение оказывается уже пройнтегрированным. Еще раз подчеркнем, что все это справедливо лишь для гладких решений.
Ударные волны (разрывы), которые могут возникнуть при сколь угодно гладких начальных данных, приводят к изменению энтропии, одномзи!ые !т»знания гА»евой дан»маки 6 го1 Обозначая через (Ы/!(!)+ оператор дифференцирования по направ- лению Нх: а!! = (и + с): 1, можно записать это уравнение в виде [г) +,— ', (',)р-о. (10) Такие же выкладки с заменой с на — с дают аналогичные уравнения. В результате система уравнений газовой динамики принимает так называемую характеристическую форму: — 8=0, ~ и+ — — р=О, — п+ — ! р=О, (11) где (г(/Ж) д = Йг/! + и и/пх.
Систему (11) можно сделать более прозрачной, если предположить течение изоэнтропнческим. В этом случае вся термодинамика определяется одним переменным параметром, в качестве которого удобно взять скорость звука с. Выражение 0р/(рс) становится, очевидно, дифференциалом некоторой «новой» термодинамической переменной, которую мы сейчас вычислим, а уравнения газовой динамики становятся (внешне) совсем простыми. Изоэнтропичность означает, что р(!, х) = А рт(1, х), А = сопз!.
Тогда сз = Ау рт '. После несложных преобразований получаем — г(р = — Нс, ! 2 рс т — 1 После внесения множителя 1/рс под знак дифференцирования уравнения (11) принимают следующую форму: Ф)'-' О, или — Я~ =О, О, илн —, Я =О. а) — + и — =О, нлн дз дЯ д! дх дл+ дд' б) — + (и+с) — = д! дх (12) в) + (и — с) — „ дд дд Здесь использованы новые переменные: Я+ = и + 2с/(7 — 1) и й = и — 2с/(7 — 1). Онн называются римановмма инвариантами, так как в изоэнтропическом течении их значения сохраняются на Римановы инварианты.
Характеристики. Следующая форма уравнений также оказывается очень полезной как при аналитических исследованиях, так и при конструировании приближенных методов. Сложим уравнение (1а) с умноженным на 1/(рс) уравнением (7). После очевидной группировки членов имеем [и, + (и + с) и„] + — [р, + (и + с) р„[ = О. (9) ИРНБлижвнныв мвтоды Вычислнтзльной Физики (ч. и траекториях уравнений Х- = иж с в том же смысле, в каком энтропия сохраняется на «траекторин частицы». Нетрудно видеть, что через значения новых переменных о, Я , Я+ можно вычислить все остальные величины (и, р, е, ...), описываюшие течение газа. Теперь уравнения «интегрируются» почти очевидным образом (5(0 х), Я (ц х), Я+(ц х) постоянны вдоль траекторий систем): Х =и — с, Х»=и+с. (13) К сожалению, и и с сами суть функции 3, Я,.Я+, поэтому «явного» решения мы здесь не получили.
Однако интересен частный случай — газ с показателем аднабаты у = 3. В этом случае уравнения интегрируются «до конца» (так как Я- = и» с) и семейства траекторий х (1, хз), х»(г, х») суть просто семейства прямых (вдоль линий этих семейств сохраняются значения их наклонов'.), Случай у = 3, как ни странно, реализуется физически. Ему соответствует газ, известный под названием «продукты взрыва». Но нам интереснее другое: этот случай позволяет пояснить механизм образования разрывных решений из гладких начальных данных. Здесь он особенно прозрачен. В самом деле, проинтегрируем уравнения газовой динамики.
Имея начальные данные б(0, х) = 5 = сопз1, Я (О, х) = Я,, (х), Я+(О, х) = Я+ (х), находим траектории Х, Х+. Дополняя уравнения (! 3) начальными данными Коши Х-(О) = ХВ, получаем Хя(г, Х;-) = Х;; + Я,*,(Х;-) и Для того чтобы иметь «явное» решение уравнений газовой динамики, нужно уметь вычислять в каждой данной точке (~, х) значения Я (г, х), Я+(й х). Решим (относительно Х,, Х») систему нелинейных уравнений: х=Х +Я (х )0 х=Х +Я+(х+)к Тогда Я-(0 х) = ЯВ(ХВ), Я»(1, х) =Я+(Х,') (3(Г, х) = ББ, так как течение изоэнтропическое). Все было бы хорошо, если бы отображение (К х)=ХВ,Х» было взаимно однозначным, т.е. через каждую точку (К х) проходило бы только по одной прямой из семейств линий Х,*, + Я,*,(ХБ )П К сожалению, этого нельзя гарантировать никакой гладкостью начальных данных.
Если, например, ЯБ+(х') > Я,+,(х") при х' < х", линия одномзгиыз гглвнзння глэозой диплмнкн х'+ Я+(х')1 догоняег линию х" + Яо(х")1, н в момент времени 1=(х' — х)I(Я<+,(х) — Я,,(х )) они пересекутся. В этом случае описанный выше аппарат интегрирования уравнений газовой динамики отказывает. А что можно сказать о решении уравнений газовой динамики, о течении газа, которое этн уравнении описывают? Что случается с течением в этот момент? Ответ прост: в течении образуется разрыв — так называемая ударная волна. Мы еще вернемся к этому в дальнейшем. Семейства линий ХО(1, ХЯ), Х (1, ХО ), Х+(1, ХО ) играют большую роль в газовой динамике, хотя в общем случае они не определяются явно начальными данными (как в случае продуктов взрыва), а могут быть найдены либо после того„как проннтегрированы уравнения газовой динамики, либо процессом совместного интегрирования уравнений газовой динамики и уравнений этих линий.
Они называются характеристиками: Хо — это энтропийная характеристика, Х вЂ” левая звуковая характеристика, Х» — правая звуковая характеристика. Эти термины связаны с тем, что по этим характеристикам распространяется «звуковой» сигнал: ~ с — скорость звука относительно газа, и ь с — скорость звука относительно геометрического пространства, в котором газ движется со скоростью и. Краевые задачи для уравнений газовой динамики. Характеристики позволяют разобраться в правильной постановке краевых условий в конкретных задачах. Для того чтобы решение было полностью определено, уравнения следует дополнить заданием начальных данных и краевых условий.
И дополнить так, чтобы не возникло противоречие (т.е. чтобы решение существовало) н чтобы постановка задачи была полной (т.е. решение должно быть единственным). Несколько слов о физическом смысле характеристик. Пусть имеется некоторое решение и(1, х), р(1, х), е(1, х) уравнений (1). Рассмотрим решение, которое прн 1 = 0 отличается от невозмущенного малым искажением функций и(0, х), р(0, х), е(0, х) на очень малом локальном участке. Тогда и в последующие моменты времени возмущенное течение будет мало отличаться от невозмущенного, но начальное финитное возмущение распадется на три финитных возмущения римановых инварнантов, распространяющиеся со скоростями и — с, и, и + с соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
