Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Запишем формальный ряд: х(Т(Г7), д) = з(Т(я), 7) + е Х,(Т(7), о) + ез Х. (Т(ГР), д) + ... Вводя обозначение Р,(д) = Х,.(Т(д), д), получаем используемую в дальнейшем формулу х(Т(Г7), 9) = р + е Р,(д) + ез Рз(9) + е~ Рз(9) + ... Обрывая ее на каком-то члене, имеем формулу соответствующей точности. «Остаток» ряда Пуассона заменим выражением О(ее), считая, что зта величина равномерно (во всем интересующем нас диапазоне изменения д) оценивается следующим образом: 'еО(е~)е ж С» Б~.
Равномерность приведенной оценки является, конечно, следствием равномерности оценок тех или иных производных функций /, Р. Эту сторону проблемы мы не будем оформлять с должной строгостью, но о ней все-таки стоит помнить. Полученные для ряда Пуассона оценки не позволяют применить его для расчета влияния возмущения на больших временах. Подобные оценки сверху, как неоднократно подчеркивалось, грубы, они получены без использования конкретных свойств /(з). Но, может быть, более аккуратные оценки привели бы к другим выводам, тем более что в рассматриваемой ситуации есть принципиальные доводы в пользу обязательного наличия у /, определенных положительных свойств? Имеется в виду следующее.
Предположение о периодичности траекторий невозмущенной системы есть свойство, близкое по существу к нейтральности системы, т.е. к неотрнцательности матицы йе/,(г) =0.5(/, +/;), ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОЛЫ БЫИИГЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ (ч. и гтг (Из этого в з 7 удалось получить в аналогичном вопросе ослабление влияния экспоненциального множителя в оценке.) Тем не менее ряд Пуассона для расчета на далекие времена не годится. Это следует, в частности, из простых примеров.
Так, для системы у = — х + ехэ, х(0) = а, у(0) = О, х= у, ряд Пуассона в первом приближении дает х (!) = а соз ! — — Ба ! яп ! + — Баз соз 3!. 3 з . ! ' 1 в зг Слагаемое (3/8)еиз! з!и ! при ! = О(Б ') есть О(!), что противоре- чит известному интегралу энергии 0.5уг + 0.5хг + 0.25ех4 = сопл! = 0.5аг + 0.25еа4.
Содержащие степени ! члены ряда Пауссона типичны. Они сильно снижали ценность этою аппарата в небесной механике, где получили специальное название «секулярные» члены (т.е. «вековые», влияние которых растет с ростом времени). Борьба с такими членами в конце концов привела к разработке методов осреднения. Теперь мы имеем в своем распоряжении технический аппарат, с помощью которого можно обосновать стробоскопический метод.
Обоснование стробоскопнческого метода. Для исследования возмущенного движения рассмотрим моменты !о, !З, !г, ... стробоскопии и положения системы в зти моменты времени !!о~ а! = х(!! чо) '?г= х(!г1 ао) Эти величины связаны соотношениями (ограничимся пока самым грубым приближением) ах+! = 4/„+ Б РЗ(г/„) + О(ег).
Вводя уравнение в медленном времени: а(к/!Бт — Р,(0) (к(0) = чо приходим к разностным.соотношениям для Яе = Щ/4«): .ДЕ 4. ! = Д» + е Р! Яь) + О(Б ) (разумеется, при соответствующей гладкости Р,). Итак, для величин а и Ц мы имеем разностиые уравнения, отличающиеся друг от друга только членами О(ег).
Из теорем об устойчивости разиостных уравнений (см. в 7) получаем следующие утверждения. ОСРЕЛНЕНИЕ БЫСТРЫХ ВРАЩЕНИЙ 5 191 273 Утверждение 3. Пусть ЙдР /дП и С и е С(1. Тогда имеем оценку ٠— ~уе!~ < О(е)ес"'. Эта оценка имеет ценность при к = О(е '). Утверждение 4.
Пустьматрица ке(дР/дЦ) а-аз< О. Тогда ~)Д вЂ” дД ц О(е) при всех Й> О. Иными словами, если траектория Ц(т) уравнения в медленном времени асимптотнчески устойчива, аппарат осреднения работает при всех г > О. Переидем к более точным (по е) вариантам теории. Используем два члена ряда Пуассона. При этом разностные соотношения для де примут форму де» ~ не+ е Р~(~7е) + е Рг(ц) + О(е ). Уравнение в медленном времени следует уточнить таким образом, чтобы аналогичное оютношенне для его решения (а это просто отрезок ряда Тейлора) давало тоже самое разностное соотношение с точностью до О(ез). Естественно взять это уравнение в виде — = Р~(Д) + Е Ю(Д), где ЯЩ) — подлежащая определению поправка. Разложение Д(йе + е) в ряд Тейлора по е дает ЯЕ,,=0 +Е~ +Р~ +О(Е)= = Д» + Е [Р~(ДЕ) + Е Я(ЦЕ)) + — — Р~(ЦЕ) + О(Е ).
Здесь мы использовали соотношения а =Р+" а-=й(Р(а~+ "(а) — ",-ЬР(а>+О() Совпадение разностных уравнений для ге и Яе с точностью до О(ег) будет обеспечено при ®)+г аа Ре(ц) =Рг(а Итак, получено уравнение в медленном времени, имеющее второй порядок точ1еостн: Ж=РЮ)+' ~Рг(0) г зо МФ . Относительно связи не с Це при использовании решения этого уравнения можно высказать утверждения, аналогичные утверждениям 1 274 пгиелижеииые методы вычислительной «изики 1ч. и и 2 с заменой в них О(е) иа О(е~). Кроме того, справедливо следующее специальное утверждение.
Утверждение 5. пусть матрица Ве(дР,/дД) иО. тогда имеет а место оценка ~~д — Я«11 м О(е) есе'. С потеРей одного поРЯдка в е оценка сохраняет смысл для й = 0(е е), т.е. на отрезках физического времени длиной 0(е з). Это утверждение следует из теоремы об устойчивости ревностных схем (см. з 7). Строго говоря, прямое их применение потребовало бы предположения неположительности матрицы Ве — (Р + еЯ), но почти очевидная модификация доказаа аО тельства позволяет формулировать предположение в терминах только Р,(0). ' Аналогичным образом можно строить уравнения в медленном времени и последующих порядков.
Они повышают точность аппарата по е, но не снимают ограничений времени, на котором он работает (О(е ') в общем случае). Возможность распространения оценок на большие времена существенно связана с характером получившегося уравнения в медленном времени. Играет роль и его конкретная траектория, В общем случае зто уравнение нелинейно и свойства матрицы дР,(дО могут быть разными в окрестности разных траекторий. Что дает решение уравнения в медленном времени? Предположим, что уравнения (9) и (11) проинтегрированы и известны функции Д(т), е(т), т(е). Пусть задав момент физического времеви д Что можно сказать о точке х(г, до)? Не претендуя на строгость, можно сформулировать такой ответ.
Вычислим е(г) и период т тЯ(т(г))1. тогда в момент физического времени г', лежащий где-то на интеРвале 1г — г(е)1 сто, точка х(г', де) попадает в 0(е)-окрестиость точки Д(т(г)). Этой информации часто бывает достаточно для физических приложений. Иначе можно сказать и так. Если не обращать внимания на величины О(е), то точка Ц(т(г)) определяет положение х(г, до) «с точностью до положения на орбите;невозЫущенного движения, проходящей через точку Ц(т(г))».
С вычислительной точки зрения основное преимущество перехода от описания траектории исходным уравнением х = У+ еР к описанию уравнением в медленном времени Д, = Р,(г2) состоит в том, что траектория Д(т) является гладкой относительно интервалов физического времени тем больших периода невозмущенного движения, чем меньше е. Численное интегрирование уравнения для Д может осуществляться шагом, не зависящим от е и включаиипим в себя сразу много периодов физического времени.
осгеднгнне еыстгых вг»щения 5!91 275 Что касается термина «осреднение быстрых вращений», то он связан с характером вычисления функции Р,(Д) по формуле Пуанкаре: г1«> Р~(Ч) = ) е (У(~у), ~7) е (1, 47) Е(2(1, й)) И1, о т.е. Р, получается специфическим осреднением возмущения Р вдоль траектории невозмущенного движения за его период. В сложных задачах Р,(д) может определяться приближенным интегрированием на интервале времени т(г1). Выбор медленных переменных. Роль периодичности невозмущенного движения. Изложенная выше теория, приводящая к уравнениям в медленном времени, основана на следующих важных свойствах рассматриваемой задачи.
!. Рассматривается влияние малых возмущений на систему, не- возмущенное движение которой считается известным. 2. В случае, когда е(1 — 1, д) — периодическое при всех д движение, удается найти «медленные» переменные, т.е. величины, которые на траектории х(1) за период т(11) изменяются на величины О(е).
Однако роль периодичности невозмущенного движения этим не исчерпывается. Покажем, что медленные переменные всегда есть и их выбор более или менее очевиден (для этого периодичность е не нужна). Существенно то, что периодичность е позволяет построить уравнения для медленных переменных, сформулированные в терминах тех же самых медленных переменных, т.е. уравнения в медленном времени оказываются «замкнутыми». Посмотрим, как далеко можно продвинуться по этому пути„не используя периодичности.
Ради простоты мы фиксируем 1 = О. Общее решение системы (2) будем писать е виде з(1, д). итак, первый вопрос: существуют ли медленные переменные в системе (3) и каковы они? Точный смысл этого вопроса: можно ли найти замену переменных у ° У(х), в результате которой систему (! ) удастся записать е виде у = е Я(у)? Ответ почти очевиден. В качестве «медленных переменных» нужно взять величины, которые на траектории невозмущенной системы остаются постоянными, т.е. любую полную систему первых интегралов системы (!), Таковыми, в частности, являются величины ло. Итак, нужно перейти ог переменных (1, х) к переменным (1, д). Что это значит? Очевидно, осью 1 в новой системе координат (т.е.
линий д = сопя!) будет траектория г(1, д). Для того чтобы точке (1, х) сопоставить точку (1, д), нужно проинтегрировать систему й = / с начальными данными е(1) = х в обратном направлении (от ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ [Ч. 11 Е до нуля), тогда требующееся значение д = е(0). Этим алгоритмом и определяется отображение (Е, х) — (Е, д).
В исходной системе координат траектория х(е) возмущенной системы меняется сильно (так же как и е(Е)), а в системе координат (Е, д) — медленно, Хотя такая замена переменных кажется не очень эффективной, на самом деле все не так уж сложно, если (это очень существенно!) нам известно общее решение е(Е, д). Нетрудно понять, что если мы станем искать решение возмущенной системы в виде х(Е) = е(Е, н(Е)), то д(Е) будут меняться медленно. Получим уравнение для эволюции д(Е). Подставляя х в уравнение (3), имеем е (Е, д(Е)) + е (Е, д(Е)) и =,/(г(Е, д(Е))] + е Р[е(Е, д(Е))).
Но е, = /; следовательно, д= е е '(Е, ЕЕ(Е)) Р(г(Е, е[(Е)). (19) Итак, мы получили (не используя предположения о периодичности е) уравнение для медленно меняющихся переменных. Эта процедура носит название «метод вариации произвольных постоянных». Осталось ввести медленное время е = БЕ и записать систему (19) в виде д, =.ЙВ(д, т/е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
