Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 56
Текст из файла (страница 56)
наличие в ЙВ зависимости от «быстрого» переменного т/е существенно осложняет дело. Рассмотрим процедуру численного интегрирования уравнения (19) с малым шагом ЕЕ (при этом е[Е = о/Б может быть очень большим! ): З(т + е!е) = н(т) + ~ Я(д(т'), т'/е[ Лет'. Упростим эту формулу, заменив ее приближенной. Воспользуемся тем, что на интервале (т, е + А[ величина д изменяется на О(ЕБ); поэтому В»а 9(т + Ь) = д( е) + ~ Й»(д(т), т'/е] е[т'+ О(еье), Е[( + Е1) = Е[( ) + ЕДРИ( )) + О(Е1'), где Б+Ь Р(е/) = — ~,У(д, т'/е) е[т', т.е. функция Р(З) получена операцией усреднения по явно входя- щему времени функции Я(~у, Е)... осгеднеиве Быстгых ВРАшений й 191 277 Вышеприведенные выкладки приводят к уравнению в медленном времени в том случае, если существует не зависящий от т и Ь предел (20) В этом случае мы получаем уравнение в медленном времени, содержащее только медленно меняющиеся переменные: д, = Р(д).
Существование предела (20) типично при периодической или почти периодической зависимости Я(д, г) от к Но согласно (19) функция У'(д, е) = е '(г, д) Г(е(1, 9)). Отсюда ясно, какую роль играет периодичность невозмущенного движения в получении замкнутых уравнений в медленном времени. Простейшая двухчастотная задача. До снх пор мы изучали наиболее простой случай, когда в невозмущенной системе был только один, общий для всех компонент, период Т(ц).
Как отмечалось, наличие в задаче разных периодов (хотя бы двух) сильно осложняет ситуацию. Некоторое представление об этом даст следующий анализ. Рассмотрим задачу о малом возмущении периодического движения периодической силой. Имеется невозмущенная система (1) и ее общее рещение е(е — ~», д«), периодическое с периодом Т(д„). Предположим, что возмущенная система описывается уравнением х = У(х) + е Р(х, г). Возмущающую силу Р будем считать и- периодической по Г (период силы постоянен).
Окрестность точки резонанса. Пусть в некоторой окрестности точки д имеет место «почти резонанс». Существуют некоторые, не очень болыпие целые числа»л и л, такие, что л Т(ц) — тл = 71(9). При этом «рассогласование» 7)(д) мало в окрестности д, т.е. ~ 71(д) ( ~ п. Это может быть величина, сравнимая с е или ч'е, — в зависимости от этого теория движения «в медленном времени» будет иметь ту или иную точность. Можно построить ряд Пуассона, позволяющий рассчитывать возмущенное движение на конечном отрезке времени (период или несколько периодов). Если мы непосредственно используем стробоскопический метод (первого порядка точности, для простоты), то ничего хорошего не получится, Прежде всего заметим, что члены ряда Пуассона теперь надо обозначить Х,(г, ещ д„), так как в возмущенную систему явно входит время. Рассмотрим последовательность моментов г стробоскопии и положений х(е) в эти моменты: д»+, = д» + е Х~(Ф»+ Т», 1», д») + О(е~), е»»ц = г» + Т», 27З пгизлнжзнныв методы вычислитвльноя»изикв ~Ч.
П где Т„= Т(ц„), дя =х(1«). Эти разностные соотношения, однако, нельзя рассматривать как процедуру приближенного интегрирования некоторой системы дифференциальных уравнений «в медленном времени» (считая з шагом интегрирования).
Дело в том, что аргументы гь+ Ты 1« за один шаг меняются на О(1); такого же порядка, следовательно, и изменение Х, за один шаг. Если бы система была точно резонансной (я) шО), то мы имели бы одночасготный случай: нужно только рассматривать «большой» период пТ = тп. Это замечание подсказывает и путь анализа «почти резонансной» ситуации: надо использовать стробоскопический метод с таким большим периодом.
Итак, рассмотрим последовательность моментов г и положений системы о„ш х(ям гр, я,>): ох+~ = дь+ з Х~(1« + пты гы дя) + 0(зз), я«+~ = гя+ птя. (21) (22) Введем функцию у(й, Ю„Чя) — х(8+ и, 1я+ и, д ). Тогда у(г, г„д ) = ш х(г, 8в, дв). Доказательство состоит в том, что для функции у проверяются условия (21), (22), определяющие функцию х однозначно. Опустим зти простые выкладки, в которых используется и-периодичность Р по и Так как мы используем ряды Пуассона в моменты = ~„+ п Т(д„), то.в рекуррентном соотношении остаются только два существенных аргумента: ~ и д . В этом случае рекуррентное соотношение можно записать в виде Чя .1 ЧФ + з У(1« + птя Чя) + 0(зз) положив л»(1, д) = Х,(г, 1 — п Т(е), д).
В силу доказанной выше инвариантности возмущенной системы относительно сдвига времени на и, У' является и-периодической по 1 функцией. Это, впрочем, почти очевидно н без доказательства. Строя ряды Пуассона в точках (г, дя) и (г + и, д ), мы будем иметь дело с одними и теми же объектами: траектория невозмущен- В дальнейшем нам будет полезно следующее почти очевидное утверждение. Утверждение б. Система х=у(х) + з г"(х, 1) инвариантна относительно сдвига времени на л. Уточним аналитический смысл этого утверждения.
Пусть х(ц гв, чя) — общее решение системы, т.е. х (' 'о Оо) =Лх(' 'о ~о))+ с Й~Ф 'я Чо) 1) х(1о го Оо) = Оо я ~ 1о '7о. 279 осгехненнв выстгых вгАщвннй 5 191 ной системы вообще не реагирует на такой сдвиг по времени, а сила г к-периоднчна. В результате рекуррентное соотношение можно переписать в виде д„, = се+ е 9'(ге + пТ вЂ” тк, ае) + О(ез). Вводя рассогласование фаз В(д), имеем Че»~ = не + е э»(/е + Ч(че), Че) + О(е ). Теперь осталось учесть еще одну «медленную переменную» — фазу ае„., — — а» + 7)(де), в теРминах котоРой цепочка Разностных УРавнений запишется в форме а«+~ = не + Ч(че) /е+, — — ее + и Т(це), ае», = ае + е ~" (ае ае) + О(еа) Так как мы предполагаем рассогласование 71(9) малым (сравнимым с е или 7/е), то поставленная цель достигнута: в цепочке разностных уравнений все аргументы за один шаг.
изменяются медленно (а на О(е), а на 7)). Можно перейти к уравнениям в медленном времени т: йг пд> Ж' е Случай несоизмеримости периодов. Пусть периоды Т(д) и к «несоизмеримы», т.е. пТ««тк при любых целых числах т н и. Практически нет особой разницы между несоизмеримостью и «резонансом»: пТ ж тк прн очень больших значениях т и и. Разумеется, понятие «большие т и и» должно быть согласовано с величиной е. Но в чисюй теории все обьекты фиксируются, а величина е считается настолько малой, насколько этого требует доказательство оценки. В этом смысле„конечно, термин «несоизмеримость» нужно понимать буквально, как он трактуется в теории чисел. Для задачи о возмущении Т-периодического решения малой кпериодической силой из (19) имеем следующее «разностное» соотношение с шагом Ь (малым для медленного времени, но большим с точки зрения «физического» времени): а(е+ Ь) = а+ ~ е '(9, т'/е) Г(е(д, т'/е), т/е) йе'+ О(еэ).
(2З) Напомним, что здесь 9= д(т) (эта величина остается постоянной при интегрировании). !ч. и пгявляжявные методы вычислятвльноя онзяки Нас будет интересовать оценка интеграла, который можно записать и в терминах физического времени г = тй: 1+Фб е ~ з 1(э, Т) 'Р[з(гТ, г'), г'[ 1й'. (24) Обратим внимание на то, по в подынтегральную функцию г' входит тремя разными способами. Первые два вхождения г' связаны с решением невозмущенной системы, по этим г' подынтегральная функция Т-периодична, Третье вхождение 2' связано с зависимостью г" от 2, по этому аргументу подынтегральная функция л-периодична. Подынтетральную функцию можно записать в виде функции Еа, р), игнорируя аргумент д, который при интегрировании остается постоянным. Итак, речь идет о приближенном вычислении интеграла от двояко-периодической функции (3 на линии а = р г' е [г', г + Ьй).
Интервал интегрирования большой в том смысле, что на нем укладывается большое число периодов (как и, так и Т, которые мы считаем величинами одного порядка). На рис. 28а изображена плоскость (а, р), разделенная на прямоугольники Т Х к, и линия интегрирования. В силу свойств Д(а, р) можно ограничится только одним прямоугольником, отождествив точки его противоположных сторон. Такой прямоугольник называют тором. Изображая линию интегрирования на торе, при ее выходе на границу прямоугольника скачком следует перейти на противоположную сторону.
р Образ линии на торе образует Зв так называемую обмотку тора. Если периоды соизмеримы, то через зя время лТ=лбп линия на торе замкнется. Если периоды несоиз- К з б 4113 Т 2Т а а 2Т ЗТ 47 Г б Рис 2З мернмы, линия равномерно заполняет тор. При достаточной длине линии (т.е. если е достаточно малая величина) среднее значение Д вдоль линии почти совпадает со средним значением по тору: 1+Фб б г а 1 Ц(г', г') Иг т ~ 1 Ц(а, р) да1ср (25) с о о (в пределе при е 0 эти величины совпадают). 2з! ОСРЕДНЕНИЕ БЫСТРЫХ ВРАЩЕНИЙ 9 !9! Интеграл в правой части (25) вычислить легче, чем интеграл на линии. Поясним это.
Пусть Я(а, р) — простая функция, для наглядности обращающаяся в нуль на границах прямоугольника. Функция на линии Ц(!', Р) показана на рнс. 28б. Это сложная функция: вычисление интеграла по линии с помощью какой-либо квадратурной формулы требует большого числа узлов (порядка О(е ')). Обозначим среднее значение Я(а, р) по тору Р(д). (Напомним, что Д зависит от д). Тогда уравнение в медленном времени принимает вид ддРБ(т = Р(д). В случае резонанса среднее значение Д вдоль линии а = аз + 0 р = ! превращается в среднее по периоду тТ = ля, но зависит еще н от начальной фазы а .
В случае несоизмеримых периодов эта линия «равномерно» (при достаточно большом й!'Б) покрывает тор независимо от того, в какой точке (а, рВ) она начинается. Замечание. Смысл соотношения (25) можно пояснить так. Построим около линии а= р параллелограмм малой ширины И. Подберем Л таким образом, чтобы площадь параллелограмма равнялась пТ, т.е. Ь(Ь/е) = яТ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
