Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 61
Текст из файла (страница 61)
В силу атомодельности решения задачи о распаде произвольного разрыва на линии х = х,„(т.е. $ = сопв1) все функции постоянны. Обозначим их ич, р, е . Тогда второй интеграл есть Д(и~, р, е ) т. Формально схему Годунова можно записать в виде л"+' — л" К+!и™»+ 2+ а ! а 0 ю+1 « Следует иметь в виду, что «поток» Ц вычисляется решением задачи о распаде разрыва. Она сводится к решению системы нелинейных уравнений. Это относительно «дорогая» операция (ведь она проводится при всех т, л). Значительные усилия прилагаются к тому, чтобы снизить ее трудоемкость. В частности, используется то, что в большинстве узлов (и, т) величины слева и справа от к мало отличаются друг от друга, Разработанная в середине пятидесятых годов схема до сих пор применяется в расчетах; при этом она, разумеется, обобщается и совершенствуется.
Расчет контактного разрыва. Проблемы расчета течения, содержащего контактный разрыв, рассмотрим, используя известное нам точное решение уравнений газовой динамики типа «чистый контактный разрыв». В этом случае из всех уравнений газовой динамики нетривиально только одно: р, + ир, = 0 (здесь и = сопз!).
Будем решать его методом сеток. Построим равномерную сетку с шагом /! по х и т по и Узлы сетки х = л!/!, г„= пт. Приближенное решение ищем в виде сеточной функции р" . Используем простейшую явную схему (предполагая и~ 0): (р" ' — р" )/т + и(рч — р" !)//! = О. (18) Как известно, эта схема устойчива при условии Куранта ит//! « 1 (см. 3 12).
(Заметим, что такая схема весьма популярна при расчете задач в эйлеровых координатах: во все уравнения в этом саучае пгнвлнжвнныв методы вычислительной еизикн !ч. и входит характерный оператор «субстанциальной производной» з/д~ + и д/ах.) При и < О используется аппроксимация с шаблоном, ориентированным в противоположную сторону (против потока): (р"+' — р" )/т + и(р"„», — р" )//с = О. Когда решается полная система уравнений газовой динамики, функция и(д х) может менять знак. Соответственно, и разностные формулы строятся в точках (л, сн) в зависимости от знака и". Что же получается оооо при расчете контактного разрыва по такой о ~решение д схеме? Происходит неприятное явление. В ! расчете контактный разрыв размывается, !о его «ширина» растет с ростом времени.
На рис. 31 показана характерная картина расо о чета: точное решение («ступенька») и прито зз зо з«4о еч т ближенное. Это явление особенно неприятно в тех Рис. 31 задачах, в которых контактный разрыв раз- деляет среды с разными уравнениями состояния. Нужно знать достаточно точно границу между разными газами, чтобы пользоваться в данной точке нужнмм уравнением состояния.
На рис. 31 представлены результаты, полученные в вычислительном эксперименте. Но для того чтобы бороться с «размазыванием контактного разрыва», нужно иметь хоть какую-то теорию. Этим мы сейчас н займемся. Заметим, что излагаемый ниже аппарат имеет достаточно общее значение, не ограничивающееся только задачей о контактном разрыве. Он может применяться при построении разностных схем, лучших в том нли ином отношении (смотря по тому, что нам нужно в задаче). Исследование дисперсионного соотношения для разностной схемы. Подчеркнем, что этот аппарат, строго говоря, работает только в случае линейных уравнений с посгояннымн коэффициентами.
Он применяется для линеаризованных моделей реальных уравнений, однако полученные в линейной модели рекомендации затем используются и в реальных задачах. Хорошо известно, что такое дисперсионное соотношение для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В нашем случае для уравнения р, + ир, = О дисперсионное соотношение появляется, когда мы ищем решение вида ех<ер+ы', где цк) = -и/сг. Оказывается, разностные уравнения (линейные, однородные, с постояннымн коэффициентами) имеют решения того же вида, но, конечно, с другой функцией Х(/с), зависящей от вигов т, /е и вида разностной схемы.
Найдем дисперснонное соотношение для напи- зо~ одномвгныв жевания гАзовой динлмвки санной выше схемы, полагая р" = е"~«М'+и'»". Подставляя эту функцию в разностное уравнение, после очевидных преобразований получаем соотношение (е"' — 1)/т + и(1 — е на)/Ь = О. Из него легко вычислить дисперсионное соотношение для схемы «против потока»: Х(/с, Й, с)= — !и 1 — и — „' +и — „'е '"" Естественно оценивать качество разностной схемы по степени совпадения дисперсионных функций для дифференциального и разностного уравнений.
Идеальным было бы их совпадение. Оно обеспечивается условием ит/Л = 1. Этот идеальный случай, к сожалению, практически не интересен. Соотношение их/л = 1 в реальной задаче, когда значение и не является постоянным, а меняется во времени и в пространстве, во всех точках сетки выдержать нельзя. Поэтому связанными с ним преимуществами воспользоваться в практической работе не удается. Разумеется, функции Х(к, л, т) должна аппроксимировать А(к). Параметр Ь есть малый параметр, и аппроксимация, естественно, тем лучше, чем меньше волновое число к (чем глаже по х рассматриваемое частное решение); на сетке с шагом Ь волновые числа й > 2п/л уже не реализуются.
Суждения о качестве разностной схемы можно делать, сравнивая графики Х(й) и Цк, 6, т). Некоторые выводы можно получить, считая кл«1 (в смысле кл ц 0.5, например) и разлагая в ряд Тейлора хотя бы с точностью до второго члена: Ц/с л, т) ж — /ик — — ~1 — и — ~. ил« / т~ 2 ~ ь~' Сравним частные решения дифференциального и разностного уравнений: е м(ть-ило е!Н(ть-«по е — и«(ь-«оп'«2 Сделаем некоторые качественные выводы из полученной формулы. 1. Как отмечалось, малоинтересен специальный случай ит = /с 2.
При и < 0 схема непригодна: решения разностного уравнения отличаются от решений дифференциального множителем порядка «*ь е~" ~» ""', который при к ж 1/л катастрофически (при л, т-»0) растет как с~и~с!л 3. Прн Ь вЂ” ит < О, т.е. ит/л > 1, схема непригодна по тем же причинам. 4.
При и > 0 и ит ч 6 решения отличаются множителем, затухающим при росте ~, причем темп затухания тем выше, чем больше волновое число к (т.е. чем меньше длина волны частного решения зог ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч. и типа еы"). Таким образом в отличие от решения дифференциальною уравнения, в котором все гармоники с течением времени сохранюот свою амплитуду, в решении разностною уравнения происходит затухание коротковолновых гармоник. Эю приводит к тому, что разрыв в начальных данных с течением времени сглаживается. Приведем еше две популярные схемы аппроксимации «уравнения переноса» р, + ир„= О, имеющие второй порядок аппроксимации по т и й, и их дисперснонные соотношения. Схема «квадрат» имеет вид ? +1+„ию + и 1 / +~+„и и+1+ и 1 "+' — "+'~ +" ~ +' +' " О, (19) 2 2 ~ Л ~ 2 г Ее дисперснонное соотношение таково: '"Лгй г)/~1+'иТгй г~~ Асимптотика при ЛА~ 1: 2(Л й т) 2«и+ 1и«з(игтг А2) Другая схема (называемая характеристической схемой второго порядка): и+! и и и и 2 и + + и " ' + и — 1 — и -1 +' ' = О (20) Л имеет дисперсионную функцию ~(,,й,)=~1п(1.1-„~(е-мл 1)+~и« ~1 „«1„П2.«1 Ее асимптотика при ~ ЛА~ ~1 такова: Х(lс, «, т) — 2«и+ — 2«зи(А2 — и222).
1 б В обоих случаях Л(Л, 6, т) совпадает с Х(к) с точностью до О(кз), а не О(кг), как в первом случае (зти схемы имеют второй порядок аппроксимации, а аппроксимация «против поток໠— только первый). Какие же выводы можно сделать из полученных формул? Решения дифц>ереициального уравнения имеют вид волн с «частотой» к, движущихся равномерно вправо со скоростью и > О. Волны (для всех /с) движутся с одной и той же скоростью.
Поэтому график р(г, х), заданный в начальный момент времени, просто движется со скоростью и, не меняя своей формы. Решения разностного уравнения имеют внд ехр 1« х — ','' 1, х=хин зоз одномзгныя гьензния гязовой динямики 1 го! причем -т 1(й, Ь, т) = и 1+ — (Аг- игтг) (для характеристической схемы). Таким образом, каждая элементарная волна движется со своей собственной скоростъю и„= — гУ/с, которая мало отличается от и прп малых частотах х.
Высокочастотные же волны движутся с существенно отличнОй от и скоростью. Заметим, что з схемах второго порядка точности гармоники не затухают с течением времени. Различие в скоростях и приводит к тому, что первоначальный «волновой пакег», определяющий форму начального профиля р», деформируется за счет «рассогласования фаз». В расчетах это сказывается в том, что график р«теряет монотонность. Наличие таких немоиотонностей очень не нравится вычислителям, так же как и сильное размазывание контактной ~ранним. Существует специальный термин моношолная схема. Ясли в начальных данных задана произвольная монотонная сеточная функция р" и разностное решение р", полученное по какой-то схеме, остается монотонным, то схему называют монотонной. Схема «против потока» монотонна, но сильно «мажет» контактную границу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
