Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Схемы второго порядка размазывают границу существенно меньше, но они не монотонны. С. К. Годунов доказал, что среди явных схем второго (и выше) порядка аппроксимации не существует монотонных. Разработчики раз постных схем прикладывают определенные усилия для создания схем, в которых оба дефекта — размазывание и немонотоиность — были бы возможно меныпими, В частности, автором в 1962 г, была предложена схема, в которой использовалась схема «против потока» (18) (первого порядка) или схема (19) — в зависимости от «локальных диффереициальнмх свойств решения», т,е.
з зависимости от величины г)ю р" +, — гр" ~-р", р: р Если эта величина не очень велика (Ч < 3), в данном узле (яг, и) используется схема второго гюрядка, в противном случае — первого. Этот прием позволил устранить осцнлляции в профиле р" и сохранить размазывание разрыва, характерное для схемы второго порядка. Такие схемы теперь называют «гибридными». На рис. 31, 32 показаны резулътаты расчета задачи о движении контактного разрыва. Представленные на момент времени г = 35 (т.е. разрыв прошел 35 счетных точек) результаты получены по следующим схемам; нгнвлижвнныв мвтоды вычислительной еизики (ч.
п а) по схеме первого порядка (разрыв сглаживается, с ростом времени ширина размазывания растет, как т'г; см. рис. 31); б) по схеме второго порядка (появляются паразитические осцилляции, но ширина зоны размазывания разрыва уменьшается); в) по «гибридной» схеме первого и второго порядков (см. рис. 32а); г) по схеме третьего порядка (разрыв выражен резче, но видны, хотя и не очень значительные, осцилляции); д) по «гибридной» схеме первою, второго и третьего порядков (см. рис 32б; кружки — «гибридная» схема третьего порядка).
Видно, что «гибридность» позволяет устранить осцнлляции, сохраняя ширину размазывания, характерную для схемы наибольшего используемого порядка. Р Р Однако в наиболее ооо Точное о шенне сложных ситуациях при решение расчетах двумерных те! чений (в ~, х, у) на сет! ках с относительно уме- 1 ренным числом точек н 1 при сложной деформации 2о 2з зо зз «о ш зо зю «о т первоначальной формы контактных границ такие а) б) методы проблемы ие решают. В этих случаях используются так называемые методы типа Р1С (см.
з 23). Отметим только, что создание и развитие таких методов существенно связано именно с проблемой расчета контактных разрывов. гнс. 32 Характеристические схемы. Схема «против потока» и ее уточнение (20) являются примерами так называемых характеристических схем, Поясним простой принцип их конструирования, широко применяющийся и в более сложных задачах. Оператор д/д/+ и д/дх есть производная по 1 вдоль направления ~/г: Ых = 1: и, а уравнение р, + ир = 0 означает, что значение р переносится без изменений вдоль этого направления. Для того чтобы, зная величины рн (еи = О, 1, 2, ...), вычислить значение р„",+1, нужно найти значение р в момент Г„в точке хш — ит.
Так как эта точка не совпадает с узлом сетки, следует проннтерполнровать в эту точку значения и нз ближайших узлов л-го слоя. Используя линейную интерполяцию значений р", и р", получаем схему (14): р"~' = ар" + (1 — а) р",, а = ит/й. одномегныз гг!!зияния гАзовой динлмики зоз Только при условии устойчивости (когда и > О, а ит < Ь) точка к — ит ~ (х „х ) и р"+! вычисляется интерполяцией.
Если эта формула реализует экстраполяцию, она становится неустойчивой. Схема второго порядка (20) получается точно так же, но используется квадратичная интерполяция значений р" „р", р" +!, Если интерполируемые значения не имеют нужного запаса гладкости, формальное повышение точности интерполяции может привести к худшему результату. Схему (20) можно получить и другим способом, который часто используется при конструировании схем повышенной точности. Строится простейшая схема (14) и аккуратно вычисляется главный член погрешности аппроксимации. Для схемы (14) получаем л+! и И Ю 2 гт гт4 Р !!т-! дР4 дР 1 и ( й) дР ~( з4 йз) ! 6 д! дх 2 зх! Заметим, что при прямом вычислении появляется член 0.5тр!!, но в силу уравнения рн — — и~р„„и такая замена произведена.
Теперь главный член погрешности переносится в левую часгь, производная р„„заменяется конечной разностью и получается схема (20), имеющая второй порядок аппроксимации на решениях уравнения переноса. Таким же способом можно получить характеристическую схему третьего порядка. Расчеты по этой схеме представлены на рис. 32б. Характеристические схемы для уравнений газовой динамики основаны на их записи в форме (11).
Для вычисления величин в узле (л + 1, л!) из него проводятся три характеристики, в точках их пересечения с линией 1 = Г„интерполируются величины из узлов (л, лг'). В лагранжевых переменных скорость контактного разрыва равна нулю, и нет проблемы его размывания. Именно это обстоятельство делает лагранжевы переменные весьма удобными и популярными при построении расчетных методов решения задач гидродинамики.
К сожалению, это свойственно только одномерным задачам газовой динамики (задачи в г, х). При переходе к двумерным задачам использование лагранжевых переменных оказывается весьма трудным и во многих случаях просто невозможным. Подробнее об этом см. в з 23. Расчет ударных волн. Искусственная вязкость. Перейдем к проблеме численного решения задач с ударными волнами.
Будем использовать уравнения в массовых лагранжевых координатах в дивергентной форме (14). Разностиая аппроксимация дифференциальных уравнений основана на предположении об определенной гладкости искомых решений. Когда этой гладкосги нет, нужно вводить соответствующие усложнения вычислительной схемы. [1 н пгивлижзииыз мвтоды вычислитвльиоя»ивики Расчет ударных волн основан иа предложенном фон-Нейман м и Рихтмайером приеме — на введении в уравнения искусстве)1ной вязкости. Она вводится таким образом, чтобы уравнения мало йскажались вне зоны ударной волны.
Сама же ударная волна при.этом «размазывается» на пренебрежимо малую ширину. Таким образом мы заменяем уравнения газовой динамики на слабо возмущенные, но уже не имеющие разрывных решений уравнения. Конкретно, новые уравнения имеют вид «,+(р+я)„=О...— «.=а, (21) где д — малая искусственная вязкость. Нейман и Рихтмайер предложили очень удобную конструкцию (она наиболее популярна и чаще других используется в расчетах): « = Й («. — 1«.!)«; (22) Здесь в — малый параметр, выбор которою мы в дальнейшем уточним.
Очевидно, о вь О, если и„с О. Это условие выделяет те участки течения, на которых происходит сжатие вещества (плотность растет: из и„< 0 следует и, с О, т.е. р, > 0). Наоборот, там, где течение сопровождается «разрежением» (и„> О, я = 0), вязкость «выключается». Ударная волна — зто как раз участок течения, на котором происходит ударное, скачкообразное, сжатие вещества. Достоинства неймановской искусственной вязкости проще всего продемонстрировать, сравнив точные решения простых модельных задач для исходной системы уравнений (14) и для уравнений с вязкостью (21). Эти простые решения относятся к важному классу автомодельных решений, в которых характерные особенности реальных решений (в данном случае, ударные волны) проявляются, так сказать, «в чистом виде», без взаимодействия с какнми-то гладкими течениями.
Забегая вперед, опишем результат. Оказывается, решением исходной системы будет ударная волна — «ступенька», движущаяся с постоянной скоростью, а решением системы уравнений с искусственной вязкостью (21) будет движущаяся с той же скоростью «размазанная ступенькав, причем ширина зоны размазывания фиксирована, она зависит, разумеется, от величины в.
Вие зоны «размазанной ударной волны» все функции и, и, р, е для обеих систем уравнений совпадают. Итак, рассмотрим следующую ситуацию. Пусть имеется решение уравнений (14) типа чисюй ударной волны, т.е. ~«п ип е„х> й1, одномввныв гелвнвния глзовой диялмякн зог й зо1 где Р— скорость ударной волны, и выполнены соотношения Гюгонио (в массовых лагранжевых переменных): а) — Ри, + р, =С,= — Ри + рч, (23) б) Ри~+ и~ Сг Риг+ иг г1 «г) в) — Р е, + —.'! + Р,и| = Сз = — Р ~ег+ г'! + Р,и,. Построим аналогичное решение для уравнений с искусственной вязкостью.
Это решение будем искать в классе автомодельных решений типа бегущей волны», т.е. когда все функции и, е, е зависят от одного аргумента $ = х — Рк Уравнения в частных производных (14) превращаются в обыкновенные после замены операторов д/д/ = — Р ЫИ$, д/дх = г/И$. Выписывая эту систему и интегрируя ее один раз, мы получаем систему «первых интегралов»: — Ри + (р+ д) =О ~ — Ри+ р+ е= С,, (23*) — Ре — и =О~Ри+и=С г' „гг / г'~ — Р е+ г~ + ~(р+ ч)и1 =О ~ -Р~е+ — ) + и(р+ ч) = Сз Так как мы не решаем какую-то определенную задачу, а просто конструируем нужное нам решение, постоянными интегрирования можем распоряжаться так, как нам будет удобно, В частности, здесь Сы Сг, Сз — те же самые, что и в соотношениях Гюгонио (23).
Дальнейшие выкладки будем проводить для идеального газа: е = ри/(у — 1). Руководящей идеей последующих преобразований является стремление получить уравнение только для и(г,), остальные переменные будем исключать через зл Следующие ниже выкладки оправданы лишь при и„( О, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
