1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В первом случае в этой неинерциальной системе на каждую муфту помимо сил тяжести и нормальной реакции стержня действуют центробежная сила инерции Р,„и сила Кориолиеа Р„. Центробежная сила инерции Р„= та,'г, (1) где г — радиус-эектор муфты (муфта рассматриваетея кэы материальная точка),' проведенный от оси вращения вдоль стержня. Эта сила сообщает муфте отыосительную рвдиальыую скорость ч'.
Вращающий момент атой силы равен нулю. Сила Кориолиеа Р„= 2тч' ха. Эта сила, направленная перпендикулярно вектору ч', изменяет силу нормальной реакции стержня, ио вследствие отсутствия треыия никак не влияет на характер относительного движения муфты. Легко видеть, что сила Кориолиеа изменяет только режим работы двигателя: чем дальше отойдут муфты от оси. вращения, тем больше тормозящий момент сил Кориолиса и тем большую мощность должен развивать двигатель, чтобы поддерживать постоянной угловую скорость вращения. Таким образом, движение муфты вдоль стержня происходит под действием только центробежной силы инерции, следовательно, скорость ч' этого движения может быть найдеыа либо с помощью второго закона Ньютона, либо из соотношения между изменением кинетической энергии и работой, которую совершает при радиальном движении каждой муфты центробежная сила инерции. Тогда ЬК = т (е')'/2 = А (2) Во втором случае, когда двигатель отключен, сила Кориолиса создает вращающий момент, тормозящий движение всей системы.
Угловая скорость при этом изменяется и появляет- 1'з > /1а! гэаа где,/, и 7, — момеыты иыерции всей системы соответственно в начале и в конце радиального движения муфт, Отыосительную скорость о' каждой-из муфт можно найти из закона сохранения энергии системы: з Г * т(е)з К К' ' = — '+2 —. 2, 2, 2 (4) Следует обратить внимание на то, что кинетическая энергия системы Кэ может быть запиеаыа как сумма кинетических энергий вращательного движения и поступательного движеыня муфт только потому, что ось вращения проходит через цеытр масс всей системы.
Решение. 1. а сопле = а,. Рассчитаем работу, совершенную силой инерции, действующей на каждую из муфт, с учетом выражения (1): зиз А„= ~та,'гбг - — '(~', -(,') Эта работа положительна. Подставляя выражение (б) в (2), получим о'= а,Д -~' 0,98 м/с. 4.сборник зала ~ ба ся еще одна сила инерций Р тг х —, которая также вли- Ф яет на угловую скорость вращения системы. Решение задачи в неинерциэльиой системе получится крайне громоздким. Для наблюдателя, стоящего иа Земле, т.
е. в инерциальпой системе отсчета, сэязаниой с Землей, на рассматриваемую систему действуют внешние силы — тяжести, нормальыой реакции, — не создающие вращающего момеыта относительно вертикальной оси и не совершающие работы. Следовательно, момент импульса и кинетическая энергия системы должны оставатьея постоянными, (Очевидно, последнее утверждеыие справедливо при отсутствии трения в оси машины.) Тогда угловая скорость а (к тому моменту, когда муфты подойдуг к концам стержня) может быть найдена из закона сохранения момента импульса системы: ез а и — виз х, 4а ~и' «аз' ааз,бс' — — — о' —, ба Ь ба 4 ' жо бо - о,'х б а ) (о,~а а 1.(,7,? ) 2еа «'а (6) В начальный момент 4',,У + 2ваа~.
(7) (8) - х — х Ьх. «а 1 ВВ Если искать решение исходя ив второго закона Ньютона, то уравнение движения муфты вдоль оси Х, направленной по стержню от оси вращения, имеет вид где х — мгновенное расстояние от оси вращения до муфты. Чтобы исключить переменную г, аапишем и тогда решение задачи сведется к решению дифференциаль- ного уравнения с учетом начальных условий. 2. Перепишем уравнение (3) в скалярном виде л «Гаса»а')а.
Подставив зто выражение в (4), после несложных преобразований получаем К тому времени, когда муфты подойдут к концам стержня, момент инерции системы возрастет: Т )'»+ 2ю(~~. Подставляя вырвкения (7) и (8) в (6), находим о = «а, ' ',(Я-)аа) - 0,25 м/с. У» + Взад $7. Элементы енециальной теории относительности Задачи этого параграфа имеют иллюстративный характер, т. е. представляют собой выводы, основанные на применении преобразований Лоренца, некоторых основных положений специальной теории относительности (сокращение длин, изменение промежутков времени, относительность понятия одновременности событий и т.
п,). Во всех задачах рассматриваются две системы отсчета, названные «ракетой» и.«лабораторией», движущиеся друг относительно друга. Обе системы отсчета перекрываются, т, е. существует область пространства, общая для обеих систем, и все события происходят именно в пределах етой области. Оси координат Х, а, 2 лабораторной системы параллельны соответствующим осям Х', У', 2' системы «ракета» и у' у; з' - з, Скорость ракеты относительно лабораторной системы во всех случаях направлена в пололаительнуао сторону оси Х: ч» и«а.
Часть задач посвящена простейшим вопросам релятивистской динамики. Зааача 7.1. Наблюдатель, находящийся в лабораторной системе, пытается измерить длину стержня, покоящегося в системе «ракета» и расположенного вдоль оси ОХ. Скорость этой системы относительно «лаборатории» составляет 0,7 скорости света. Как можно провести зто измерение7 Какой результат получит наблюдатель, если в системе «ракета» длина стержня 1» - 1 м? Анализ. Чтобы измерить длину стержня, наблюдатель, находюцийся в лаборатории, должен определить в один и тот же момент га координаты концов стержня, движущегося в его системе отсчета. Допустим, что в указанный момент один конец пролетает мимо часов, находящихся в точке с координатой яв а второй конец в этот же самый момент пролетает мимо часов, находящихся в точке с координатой х .
Очевидно, что для етого наблюдателя длина стержня Значениям координат х, и х, соответствуют координаты х,' и х,' в системе «ракета» и х,' — х,' (,. Время (по часам наблюдателя в ракете), когда определялись эти координаты, г~ не играет роли, так как относитель- %» — но ракеты стержень неподвижен, г, т. е. координаты х,' и х' не зависят от времени. х Переход от одной системы отсчет' та к другой может быть осуществлен 1 «« на основании преобразований Лорен) г, ца.
Поскольку время 1,' и 1' измере- нЕ«я координат х,' и х' неизвестно, х Рис. «3 то следует переходить от координат системы «ракета» к координатам системы «лаборатория», значения которых соответствуют одному и тому же моменту 1,. Второй способ измерения длины 1„заключается в том, *по наблюдатель в лабораторной системе должен по одним и тем же часам зафиксировать моменты 1, и 1, прохождения обоих концов стержня (рис. 43). Тогда (2) 1« Орггй Здесь ЬЕ = гг — Е„ср = 0,7с — скоРость Ракеты, где с— скорость света в вакууме.
Если часы, по которым наблюдатель в лаборатории измеряет время, находятся в точке с координатой х, то в системе «)шкета» этой координате в момент 1, .соответствует координата х,', в момент Ег — координата х,', причем х,' — х,' = Ер. Переходя от координат х,' к х, можно найти результат измерения, полученный наблюдателем в лаборатории.
Решение. 1«й способ. Иэ преобразований Лоренца хг - гргг (3) ~-4/"' " 7-;/" гДе, согласно способУ измеРенив, г, = Ег. ВзЯв Разность выРа- жеяий (3), получим 2-н способ. Из преобразований Лоренца х' = '7= ''.- х - срг х,' = 1 Ррг/сг ~1 с»г/ где х — координата точки, в которой находится часы наблюдателя в лаборатории. Разность этих выражений 7-ср/с* Тогда (см. (2)) длина стержня, измеренная наблюдателем в лаборатории, 1„(х' — х,') /1 — оД/с~ = 1«,~Ъ вЂ” орг/сг = 0,71 м.
Как видно, оба способа приводят к одному и тому же результату. Зээлча 7.2. В лабораторной системе в точках с координатами х„и х х„+ Ер одновременно происходят события А и В. На каком расстоянии 1' друг от друга зафиксирует этн события наблюдатель в системе «ракета», если расстояние 1 - 1 км, скорость ракеты о = 0,4с? Какое время зафиксирует между этими событиями наблюдатель, находящийся в системе «ракета»? Что изменится, если ракета будет двигаться противоположно направлению оси Х7 Анализ.
Обозначим 1, — время, когда в лабораторной системе отмечаются события А и В. Тогда событие А в этой системе обладает пространственно-временньгми координатами х,и 1, событие  — координатами х и Г,„ В системе «ракета» событие А обладает пространственно-временными координатами х,' и 1,', событие  — координатами х' и 1'. Значения координат каждого из событий могут быть найдены путем перехода от системы «ракета» к системе «лаборатория» с помощью преобразований Лоренца. Решение.
Согласно преобразованиям Лоренца, х ,' х -с хв -рргз х,' = =-г-. 1- сг/сг ЕЕЕЕ- сг/сг Взяв разность этих выражений, найдем, что расстояние между точками, в которых происходят события А и В. измеренное наблюдателем в ракете, откуда 101 еоо Е„= Е„ГРО/сй < 1«. ~х- х~ ЕŠ— г /с «Е Расстояние «',х, разделяю|цее события А и В в любой системе, движущейся относительно лаборатории, больше, чем это же расстояние, измеренное в лабораторной системе, в которой оба события одновременны, причем зто расстояние не зависит от направления скорости т«.
Проведем расчет по выражению (1): у 1,1 км. д-4/" Моменты времени, в которые в системе «ракета» наблюдатель зафиксирует события А и В, также могут быть найдены из преобразований Лоренца: « — х г«/с~, « — х /сх - ~/" ' — ~/' (2) Тогда (3) При любой скорости ракеты события А и В в этой системе не будут одновременными. Если Ьх = хх — х,) 0 и ракета движется в полвкительном направлении оси Х, то Ф' — Ф,' < О, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
