1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 14
Текст из файла (страница 14)
89 Ззаяча 6.2. Тонкий однородный стержень длины 1, находящийся в вагоне, может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один иэ его концов. Вагон начинает двигаться горизонтально с ускорением а направленным перпендикулярно оси вращения стержня. На какой максимальный угол от вертикали отклонится стержень в начале движения вагонау Каков период его колебаний относительно положения равыовесияу Анализ. Для наблюдателя, ыаходящегося в вагоне, стержень совершает только вращательное движение вокруг неподвижной оси. Как только вагон начнет двигаться с ускорением ээ, на стержеыь будет действовать сила инерции Ä— та, приложенная, очевидно, в центре масс стержня, Эта сила создаег вращавнций момент относительно оси, и стержеыь ыач- нет отклонятъся от вертикального положения.
что, в свою очередь, вызовет появление вращающего момента силы тяжести, направленного в сторону, противоположную оси ОЕ (рис. 40). В пер„".» вые мгновения момент силы инерции заведомо болъше, Рнс, 40 чем момент силы тяжести, и, следовательно, стержень приобретает некоторую угловую скорость, которая нарастает, хотя угловое ускорение при этом уменьшается.
При некотором угле а отклонения от вертикали моменты сил инерции и тяжести скомпенсируют друг друга. Это положение является положением равновесия: М»»» + М» (Ц Поскольку моменты обеих сил зависят от угла отклонения стержня от вертикали, уравнение (Ц позволит найти угол о», соответствующий положению равновесия. При а = а стержень уже приобрел угловую скорость, следовательно, он пройдет через положение равновесия.Но теперь уже момент силы тяжести будет больше, чем момент силы инерции, т.
е. угловое ускорение стержня направлено так же, кзк момент силы тяжести, — против оси ОЯ, тогда как угловая скорость, приобретенная стержнем, направлена так же, как момент силы инерции, т. е. по оси ОЕ.Движение стержня станет замедленным и при некотором угле а, отклонения от вертикали стержень остановится, а затем начнет движение в обратном направлении. В процессе перемещения стержня от вертикального положения до а, суммарная работа сил тяжести и инерции обращается в нуль, так как и в началъном, и в конечном положениях кинетическая энергия стержня равна нулю: (2) Работа каждой из этих сил зависит от угла о, и, следовательно, уравнение (2), записанное в явном виде, позволит найти а,. Предоставленный самому себе стержень при полном отсутствии трения совершает незатухающие колебания около положения равновесия.
Если угол а, — о, соответствующий максимальному отклонению от положения равновесия, мал, то колебания стержня будут гармоническими и их период можно найти. Для этого следует рассмотреть стержень в некотором промежуточном состоянии, когда угол его отклонения от положения равновесия равен и, и найти в атом положении угловое ускорение е = Йтр/ог'. Решение. В проекции на осъ ОЯ моменты сил инерции и тяжести: 1 М„, - — /„( соз а, (3) »а )' М~~ па /» 2 ~ соэо.
ба = /» 2 зш а»» » о А, - ~ М ба — ш(( — (э1па ба = шб — (соэ а, — Ц. »ж ) т»» 2~ 2 » » Подставим эти выражения в (2): /„( з1п а, + шя( (соз а, — Ц - О, откуда„учитывая, что /» тз, получаем а»/2- (1 — соз а,)/з(п а, или Фб (а,/2) = а»/31 а, - 2 агс13 (о»/3). (5) Заменим векторное равенство (Ц скалярным соотношением: Подставляя сюда выражения (3) и (4) при а а» и учитывая, что /» = шо„получаем та»( соа а — шл( э1п о О, (6) 1 М - — -шя(эш а, 2 где а — некоторый щюмежуточвый угол отклонения от вертикали. При переходе из вертикального положения (а - 0) в положение, соответствующее максимальному углу отклонения (а а,), каждая из рассматриваемых сил совершит работу: 90 откуда 12 .= ./2, .- 12(о,/З).
(7) Рассмотрим теперь стержень в некотором промежуточном положении„когда угол его отклонения от вертикали а а +~р. В этом положении ыа стержень действуют сила тяжести н сила инерции, создающие вращающие моменты. Основное уравнение динамики вращательного движения, записанное в проекции на ось ОЯ, примет вид ~ — = ша — соз (а, + ~Р) — тл-з1п (а, + ~р). бар 414 42 2 Раскрыв соз (а, + ~р ) и зш (а, + у ) по формулам тригонометрии с учетом, что момент инерции стержня У т('/3, получим бар З вЂ” [соз ф (а соэ аэ — э' з1п аэ)— 414 2~ о — мп ~р (а з1п а + З соэ аэ)). Коэффициент при соз ~р, как следует из уравыеыия (6), равен нулю.
Коэффициент при з1п у после подстаыовки и,Я$+ я', „... 1Я1+ чг равенства (7) примет вид з 13/3 а, зш а, + я соз а, - (/а,', + д ) Тогда зч З[' Ф 41 2) ' пз+д ) зш~р. Получеыыое дифференциальное уравыение будет уравнеыием гармонического колебания, если в пределах точности расчета зш ~р = ~р, (8) В этом случае 4'~р (пэ+э / Ч. 412 21 Следовательно, угол <р изменяется со временем по гармоническому закону, причем постоянный коэффициент, стоящий в правой части, равен квадрату циклической частоты и пери- од колебаний р 2 ~2~~ [3(4 к ) ] . (9) М мал ый у [ . (5) и(7)1 1Ч = Газ Фа (и /э)' При точыости расчета порядка 2% равенство (8) справедливо, если 1р„< 9', соответственно ар/л < $8 9' 0,158, т. е.
при аэ < 0,158я 1,55 м/С'. Очевидно, что при больших значениях а, вырюкеыия (5) и (7) остаются в силе, ио'колебания маятника уже нельзя считать гармоническими и выражение (9) будет несправедливо. Зваача 5.3. Мотоциклист движется по горизонтальной плоскости, описывая окружность радиуса Е 90 м (рис. 41); коэффициент трения колес о почву в = 0,4. На какой угол а от вертикали должен отклониться мотоциклист при скорости о = 15 м/с? С какой максимальной скоростью может он 1 ехать по заданной окружности? 4калкз. Будем рассматривать мотоциклиста н мотоцикл как единое твердое тело. На мотоциклиста при его движении действуют: сила тяжести; сила нормальной реакции; сила тяги двигателя; сила трения, направленная по касательной к траектории; сила трения, направленная к центру окружности.
Поскольку при движении по окружности радиального перемещения у мотоциклиста нет, последняя сила — сила трения покоя. Если мотоциклист движется с постоянной скоростью, то сила тяги двигателя и сила тренин, направленные по касательыойк траектории, взаимнокомпенсируютдругдруга. Сила тяжести приложена к цент- ру масс, сила нормальной реакции и радиальная сила трения покоя Г приложены к нижней точке каждого иэ колес и создают вращающий момент относительно воображаемой горизонтальной оси, проходящей через центр масс мотоциклиста. Ось эта вместе с центром масс движется рис.
41 тй + Р~ + У + Р) - О. (2) относительна Земли по криволинейной траектории (окружности) и обладает нормальным ускорением. Следовательно, система отсчета, связанная с центром масс мотоциклиста, неинерциазьна, и в ней на мотоциклиста, помимо всех пере. численных сил, действует еще центробежная сила инерции Гм Х Гм, = — ~т,а„, ~т/э~г„ где т, — масса каждой материальной точки; а,„— ее нормальное ускорение, направленное к центру окружности; г,— ее радиус-вектор, проведенный иэ центра окружности. Размеры мотоциклиста малы по сравнению с радиусом его траектории, поэтому можно считать, что радиусы, описываемые каждой материальной точкой окружности, одинаковы, т.
е. г, В, следовательно, одинаковы и линейные скорости всех точек. Тогда и, = мВ, Р, = ииээВ. В этом случае центробежная сила инерции приложена в центре масс (как и сила тяжести) и ие создает вращающего момента относительно рассматриваемой оси. Условие равновесия мотоциклиста сводится к тому, что сумма моментов снл трения г и нормальной реакции Х относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс, равна нулю: М +М, О.
(1) Если раамеры мотоциклиста сравнимы с радиусом В, то центробежные силы инерцяи, действующие на отдельные точки мотоциклиста, тем больше, чем больше радиус г, описываемой окружности. В этом случае точка приложения результирующей Рм будет расположена ниже центра масс и вращающий момент относительно рассматриваемой оси окажется отличным от нуля. Тогда условие равновесия (1) несправедливо. Уравнение (1) позволит найти угол ц отклонения мотоциклиста от вертикали, так кзк моменты обеих сил (см.
(1)] зависят от этого угла. В рассматриваемой неинерциальвой системе мотоциклист неподвижен. Следовательно, сумма всех сил, действующих на мотоциклиста, равна нулю: Поскольку центробежная сила инерции зависит от угловой скорости движения, уравнение (2) позволит найти ее возможные значения. Решение. Моменты сил трения и нормальной реакции будут скомпенсированы, т. е. равенство (1) выполняется, если результирующая этих сил проходит через центр масс, т. е. если / — Р,„= О,  — тб О.
(4) (б) Из равенства (4) найдем = тмэВ то'/В. (б) Подставим выражения (5) и (6) в (3), учитывая, что о о;. (б а = о,'/(дВ) 0,255; а 14'. Как уже отмечалось, / есть сила трения покоя, следовательно, / 4 в)т' = дтпл и равенство (4) можно записать в виде Р„- / < 'эти или то~/В 4 Йту. Окончательно о,/йбВ = 19 м/с. Зааача 6.4. На центробежной машине укреплен гл|щкий горизонталь ный стержень длины 21э 1 м, ось вращения вертикальна и проходит через середину стержня (рис. 42). На стержень надеты две небольшие муфты массы т 400 г каждая. Муфты связаны нитью длины 21, = 20 см и расположены симметрично относительно оси вращения.
С какой радиальной скоростью подойдуг муфты к концу стержня, если пережечь нитьу Рассмотреть два случая: 1) машина Рнс. 42 (ба //№ (3) Равенство (2), записанное для проекций на оси: горизонтальной, направленной к центру описываемой окружности, и вертикальной, — примет вид вращается с постоянной угловой скоростью а, = 2 рад/с; 2) до перакигания нити двигатель отключается и система предоставляется сама себе. Момент инерции вращающейся станины и стержня Уэ = 0,02 кг м'. Анализ. По условию требуется определить скорость муфт относительно вращающегося стержня. Поэтому кажется естественным вести решение в неинерциальыой системе отсчета, жестко связанной со стержнем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
