1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 17
Текст из файла (страница 17)
1 1„« Зи« Био 7: ' 1+ — — + — — + — — + из/ео 2 ео 8 е«82 ео Тогда выражения для.модуля имлульса и кинетической энергия примут вид 1 ио 3 ио 5 и' Р о Зео Зе«32«о о(1 из Зи«5 ио К иооео~- — + — — + — — + ..., (Зео Зе«82«о ' Вывод Формулы « ~%+ Р»ео Ео можно предложить в кв. чеетзо сами«тол«олькой аодвчя.
110 т ео Здесь Š— полная энергия движущейся части- 1 — ио/ео цы, Ео и»ос' — энергия покоя етой же частицы, Выражения (1) — (3) позволят, очевцдно, ответить на все поставленные вопросы. Однако предварительно надо выяснить, прн каком отношения и/е н в пределах какого времени действия данкой постоянной силы можно испольэовать выражения (2), чтобы относительная погрешность расчета не превышала заданной величины. В выражениях (3) сомножитель (1 — и'/е') по можно представить в виде степенного ряда.
по формуле бинома Ньютона: нли, учитывая выражения (2), получаем: 1 и« 3 „« 5 „о Р =Рв 1+ — — + — — + — — +... ° 2 ео 8 е" 32 ео ( Зио био К-К„(1, н~ 4.а 1бе« Из этих выражения видно, что прн использования формул механики Ньютона относительная погрешность при расчете импульса н кинетической энергии Р— Ря 1 из Зи« ЗР— — +- — +... Рв Зе' Зе« «-«8, Зи' 5 и' ЗК- ~= — + — — +,... (5) «я 4ео 16е Очевидно, что искомое значение и/е может быть определено, если в правой части каждого из уравнений (4) н (5) оставить только первое слагаемое. Реиееяме.
По условию, погрешность не должна превьппать 6%, причем использование формулы (5) прн расчете дает более жесткое ограничение на допустимые значения и/е, что видно из сравнения коэффициентов при ио/ео в вырюкениях (4) и (5). Согласно выражению (5), отношение — 4 ~-Ь« - 0,28. и 4 е ЗЗ При таких значениях и/е как для расчета импульсе„так н кинетической энергии можно использовать выражения (2). Прн и/е, превышающем найденное значение, следует пользоваться выражениями (3).
Чтобы найти время действия силы, в течение которого можно работать в рамках механики Ньютона, воспользуемся выражением (1), записанным в скалярном внде, что допустимо вследствие сонаправленности векторов р и Г. Разделив правую и левую части выражения (1) на и»ое, получим, что при заданной степени точности можно пользоваться уравнениями механики Ньютона, если — «0,28. и Ре е мое Подстановка в зто неравенство числовых значений Р, и»о и е показывает, что 1 < 2,8 с. До истечения времени г* 2,8 с, согласно выражениям (2), импульс частицы и ее скорость увеличиваются пря- 111 с/с 1,О а/сс 400 о,в 0,2 20О о,в В В 10ас а) 2 4 Е В 10ас б) О 30 Во а с' 0 30 Во ос б) а) Рас. 45 Рис. 46 — — +1 (6) Х=зо ' +1 (7) 112 и/с ..
о,в о,в 0,4 02 мо пропорционально времени действия силы Е, кинетическая энергия — прямо пропорционально квадрату этого времени. При 2 > Рэ импульс по-прежнему прямо пропорционален времени ц а для расчета скорости и кинетической энергии следует пользоваться выражениями (3). „а Из выражения (3) для импульса найдем— сс рс + зососо Используя уравнение (1) в скалярном виде, получаем Выражение (3) для кинетической энергии после подстановки уравяения (1) в скалярном виде примет вид Равенства (6) и (7) дают зависимость от времени относительной скорости о/с и кинетической энергии частицы, движущейся под действием постоянной силы при отсутствии начальной скорости. Результаты расчета по формулам (6) и (7) для различных значений с (а также по формулам механики Ньютона для с < гэ 2,8 с) приведены в таблице.
Для упрощения расчетов при времени, большем гс, киистичвжая энергия выражена через энергию покоюцейся частицы: Е зо со 14,4 10 " Дж. Поэтому и при малом времени кинетическая энергия, хотя и рассчитанная по формулам механики Ньютона, выражена также через Е„: Графики зависимости этих величин от времени приведены на рис. 46, а.
6 для интервала времени 0 — 10 с, а на рис. 46, а, 6 — для интервала времени 10 — 60 с. Пунктиром псзсаээн ход графиков при использовании формул механики Ньютона дла вРемеви с ) гс. На Рис. 46, 6 отложено (К/Ес) 10', Глава П р и/зТ, (2) ш, сш,ш сш, 11б 114 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 8 8.
Основы молекулярно-кинетической теории идеального газа Задачи этого параграфа охватывают следующие вопросы: молекулярно-кинетическая трактовка давления, кинетическая энергия хаотического движения молекул, распределение молекул по длинам свободного пробега и скоростям, расчет средних значений этих величин и явления переноса. Следует обратить внимание, что и основное уравнение молекулярно-кинетической теории, и выражения для средней длины свободного пробега и коэффициентов переноса могут быть выведены, исходя из упрощенной модели идеального газа.
В атой модели: 1) действительное распределение по составляющим скоростей заменяется предполо. жением, что молекулы движутся только в трех взаимно перпендикулярных направлениях; 2) распределение молекул по модулю скорости заменяется предположением о равенстве модуля скорости у всех молекул. Первое из этих предположений как бы исключает столкновения молекул. Однако в процессе установления равновесия существенная роль принадлежит именно столкновению молекул. После того как равновесное состояние установилось, столкновения уже не могут изменить ни распределения скоростей„ ни давления, ни температуры, ни других характеристик системы.
Некоторые задачи имеют чисто расчетный характер. Задачи такого типа обязательно надо доводить до числового ответа. Молярные массы к газов, встречаюпзвхся в задачах атой главы, приведены в таблице: Заазча 8.1. Смесь азота и гелия при температуре 27 'С находится под давлением р 1,3 10~ Па. Масса азота составляет 70% от общей массы смеси.
Найти концентрацию молекул каждого из газов. Анализ. При данном давлении газ можно считать идеальныы, подчиняющимся уравнению Клапейрона — Менделеева: где и — концентрация молекул; й 1,38 10 м Дж/К вЂ” постоянная Вольцмзна; Т г + 273 'С вЂ” термодинамическая температура. Давление идеального газа не зависит от его природы и, как видно из уравнения (1), однозначно определяется его температурой и концентрацией, т. е. отношением числа частиц к занимаемому объему. Уравнение (1) позволит найти концентрацию молекул смеси и по известному процентному содержанию — концентрацию каждого газа. Процентное содержание газов задано по массе, это значит, что масса каждого из них где ш — масса смеси, с, и сз — процентное содержание соответственно азота и гелия.
С другой стороны, масса кюкдого из газов ш, Увр,/Д/„, ш, ~'в,(~,/)7„, (8) где У вЂ” объем газа; и,— молярная масса; ̄— постоянная Авогадро (р,/Ԅ— масса молекулы). Очевидно, (6) 08. 10м -а 1 р 1 4йт п — — = 2,4. 10з' м ' в р 4 йТ (И'з) = — йТ =10,4 10 "Дж. о . ГЗВТ/ (2) (~ о)л ' (4) 11В Приравнивая правые части выражений (2) и (3), можно найти отношение концентраций.
Решение. Концентрация смеси [см. (1)] я р/(йТ). Приравняв правые части уравнений (2) и (3), получим: е,т — Уи и,/Д7, е т 7/и и /Д7, откуда и,/и, = е,рз/(е,р7) = 1/3. Поскольку л, + и, = и, то Заьача 8.2. Найти среднюю квадратичную скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения н среднюю полную кинетическую энергию молекул гелия и азота при температуре Г 27 С. Определить полную энергию всех молекул 100 г каждого из газов. Анализ.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы любого газа однозначно определяется его тзрмодниамической температурой: ()У ) — йТ, 3 (1) где й = 1,38 10 м Дж/К вЂ” постоянная Больцмана. Однако средняя квадратичная скорость молекул газа зависит ст массы его молекул: где тз — масса одной молекулы. Средняя полная энергия молекулы зависит не только от температуры,но н от структуры молекул — от числа )степеней свободы: (Я"з) )йТ/2.
(3) Полная кинетическая энергия всех молекул, равная для идеального газа его внутренней энергии, может быть найдена как произведение (Й;) на число Ф всех молекул: где т — масса 'всего газа, отношение т/р определяет число молей, а Ԅ— постоянная Авогадро. Выражение (4) с учетом уравнения Клапейрона — Менделеева позволит рассчитать полную энергию всех молекул газа.
Решение. Согласно равенству (1), (Я~ ) = 6,2 10 " Дж, причем средние энергии поступательного движения одной молекулы и гелия,н азота одинаковы. Для расчета средней квадратичной скорости выражение (2) удобно несколько преобразовать, умножив чнспятчль и знаменатель на А7,. Тогда э„-,[ЗВТ /р, где В = 8,31 Дж/(моль. К).
Для гелия о„, = 13,7 10' м/с, для азота о„, = $,17 ° 10' м/с. Для расчета средней полной энергии молекулы [см. (3)] надо знать число степеней свободы молекулы. Гелий — одноатомный газ, следовательно, 1 = 3, тогда (Я' ) = (Я' ) = 6,2 '10 м Дж.
Азот — двухатомный газ, следовательно, 1 = б н Полная энергия всех молекул после подстановки вырюке-' ний (3) н (5) в (4) равна Я' = — йТ вЂ” )т" — — ВТ. т 1 т 2 В з 2 и Для гелия Гт = 93,6 кДж; для азота )т = 22,3 кДж. Зазача 8.3. Сосуд, содержащий некоторую массу газа, движется со скоростью и. На сколько увеличится средний квадрат скорости теплового движения молекул при остановке сосуда для одноатомного и двухатомного газов7 Теплоемкость, теплопроводность и масса стенок сосуда пренебрежимо малы. Анализ.
Прн движении сосуда все молекулы газа участвуют однонременно в хаотическом (тепловом) движении и направленном двнжении со скоростью и. При остановке сосу- да молекулы по инерции некоторое время сохраняют свою неправленную скорость, но затем в результате соударений друг с другом и со стенками сосуда газ придет в равновесное состояние, при котором молекулы его не обладают направленной скоростью. При этом установится максвелловское распределение молекул по скоростям с некоторым значением среднего квадрата скорости (эг) . Чтобы выяснить, насколько это значение больше того, что было до остановки сосуда ((ог)г), надо найти прирост средней кинетической энергии Л()ого) хаотического движения одной молекулы в результате остановки.
При движении сосуда результирующая скорость с, и кинетическая энергия поступательного движения любой молекулы соответственно равны: м,о, м,„„г с ч+и, — '= — '+ +тчп. 2 2 2 Здесь ч, — скорость хаотического движения молекулы. Для нахождения средней кинетической энергии поступательного движения молекулы выражение (1) надо просуммировать по всем молекулам и затем разделить на общее число Ф молекул: 1ф о,' 1А~~о,' и' а и — Д вЂ” + — а — + — '1 — чч . (2) г'г'Й 2 П . 2 2 Ф Вследствие хаотичности теплового движения, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
