1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 19
Текст из файла (страница 19)
При подстановке пределов следует иметь в виду, что Вш хе "* = О. Сопоставив полученные выражения, найдем, что А=2 1/Л. Доля молекул, длина свободного пробега которых меньше Л, — -~е Йх 1 — е =0,63. адг, 1 (,г1 '-1 к л3 о Доля молекул, длина свободного пробега которых лежит в диапазоне от Л до 2Л, = — ~ е-! г(х = е' — е 0,23. ЬФо 1 -мл л3 Таким образом, примерно 63% от общего числа молекул обладают длиной свободного пробега, меньшей Л, н 23%— длиной свободного пробега, лежащей в диапазоне от Л до 2 Л.
Заалча 8.7. Температура оксида азота ХО Т = 300 К. Определить долю молекул, скорость которых лежит в интервале от с, = 820 м/с до ио = 830 м/с. Анализ. Рассматриваемый газ находится в равновесном состоянии, и, согласно Максвеллу, относительное число молекул, скорость которых заключена в интервале от о до и + Йи, — -/(о, Т) бо, 4лг Ф где /(и, Т) — функция Максвелла; Йо — настолько малый диапазон скоростей, что в пределах его заведомо Ди, Т) = сопэ1.
В условии задачи требуется определить долю молекул, скорости которых лежат в диапазоне /оо ио — о, 10 м/с. Если в этом пределе функцию Максвелла можно с достаточной степенью точности считать постоянной, то искомая величина может быть рассчитана по приближенной формуле — /(пп Т) Ьо.
Ь1У. 12$ б)У/Р/- /(о. Т) б . где Кзк известно, о, -,')гйТ/, -,мгвт~~ , - ДИТ/, - мгвт~~. (2) о, =~2Я7(р 410 м/с. — ~/(и, Т) ди. К (3) Лг//г/ /(и, Т) Ьо. (4) 127 12З )(к г) Такое приближение соответствует тому, что на рис. 49 заштрихованная площадь приравнивается площади прямоугольника с основанием Ьи и з, з+аи и высотой, равной значению Рис.
зэ /(и,, Т). Следовательно, прежде всего надо найти значения функции Максвелла при и о, и и = и и выяснить, какую погрешность дает использование равенства (1). Функция Максвелла, как известно, имеет вид /(и, Т) -„. — е (2) — наиболее вероятная скорость молекул. Ре ежзвве. Для облегчения расчета найдем сначала наиболее вероятную скорость по равенству (3): Тогда (см. (2)) /(ппТ) 4,03 10'с/м; /(и,Т) - В,уб 10-4 /, . что при использовании в1 цжжения (1) допус кается ошибка, относительная величина которой /(и„Т) -/(из, Т) з- — '-'-~- — ~ — - о.от.. *. ж.
С ледовательно, с указанной степенью точности можно использовать равенство (1). Тогда доля молекул, скорость которых лежит в заданном интервале, ЬФ/Ф /(игГ~Ьи = 4,0 10 ', т. е. 0,4%. Зазача 8.8. Кислород нагревают от температуры Т, 240 К до Т 480 К. Рассчитать для каждой из указанных температур значения функции Максвелла при скоростях: а) о = и;, б) о и,+200 м/с; в) и-о,— 200 м/с; г) и -2и,. Попояучен- ным значениям построить графики функции /(и, Т) для каждой из температур. Определить, во сколько раз изменяется при увеличении температуры доля молекул, скорость которых находится в интервале: 1) от 100 до 200 м/с; 2) от 700 до 800 м/с.
Аиялвз. Независимо от характера процесса начальное и конечное состояния газа можно считать равновесными. Следовательно, в каждом из этих состояний молекулы распределены по скоростям согласно закону Максвелла, От. носительное число молекул д)У/Д1, скорость которых лежит в интервале от и до и + би, Функция Максвелла имеет вид /(р, Т) у — зе 4 сз „зй 7„" иЗ Таким образом, первая часть сводится к непосредственному расчету значений функции Максвелла по формуле (1) при заданных скоростях и температурах и к построению графика по полученным точкам. Относительное число Л1у/1у молекул, скорость которых лежит в диапазоне от и, до и и, + Ьо, в общем случае может быть рассчитана по формуле и В случае, когда интервал Ьи настолько мал„что изменением функции Максвелла можно пренебречь, т. е. /(пи Т) = /(и„Т), доля молекул может быть найдена по приближенной формуле (см.
задачу 8.7) В условии интервал скоростей Ьи 100 м/с настолько велик, что использование формулы (4) невозможно. Однако расчет ЬК/)У по формуле (3) сложен и записанный интеграл. в явном виде не берется, приходится пользоваться численными методами интегрирования.
При невозможности использования ЭВМ решение задачи может быть проведено прибли- 2,6 я 2,0 1 ' 1,6 1,0 О,б О 200 400 600 300 1000 и, м/с ЬЖр 1 Ф, ЭГ, 3' Рис. 50 123 Ьсбормм зацач 129 женно графическим методом: относительное число молекул, скорость гсоторых лежит в диапазоне от и, до и, численно равно площади, ограниченной графиком функции Максвелла, осью абсцисс (осью скоростей) и ординатами /(и,, Т), /(и„Т). Таким образом, расчет может быть приближенно проведен после построения графиков /(и, Т).
Ретвекке. Для облегчения вычислений найдем сначала по формуле (2) наиболее вероятные скорости для каждой из заданных температур: и, 350 м/с; и„,= 500 м/с. Используя выражение (1), определяем функции Максвелла: а) /(и, 7;) 2,40 10'с/м, /(и. Т,) 1,70 104с/м, если б) /(и Т,) 132 10 зс/м; /(и, Тг) 1,20 10 вс/м, если и и,+200м/с; в) /(и,Т,) 0,06 10 ~ с/м;.
/(и,Т,) = 1,14 ° 10 э с/и, если и = и, — 200 м/с; г) /(и, Т,) = 0,47 10 'с/м; /(и, Т,) = 0,33.10 тс/м, если и 2и,. ГраФики /(и, Т,) и /(и, Т,), поетроенные по полученным значениям с учетом того, что при и 0 и и — со /(и, Т) = О, изображены на рис. 50. Как видно нз графиков, в заданных диапазонах скоростей функция Максвелла действительно изменяется довольно резко, что и не позволяет испольэовать приближенную формулу. Рассчитаем отношение площадей, ограниченных графиком функции Максвелла и соответствующими ординатами (площади находятся по числу клеточек на рис. 50 в соответствующих диапазонах). В диапазоне скоростей от 100 до 200 м/с 3 амит 195 В диапазоне скоростей от 700 до 800, м/с При увеличении температуры от Т, = 240 К до Т, - 480 К доля молекул, скорость которых заключена в диапазоне от 100 до 200 м/с, уменьшилась примерно в три раза, доля молекул, скорость которых лежит в диапазоне от 700 до 800 м/с, увеличилась примерно в три раза.
Заавча 8.9. На высоте й = 20 см над горизонтальной трансмиссионной лентой, движущейся со скоростью и, 70 м/с, параллельно ей подвешена пластинка площадью Я - 4 см'. Какую силу надо приложить к этой пластинке, чтобы она оставалась неподвижной7 Вязкость воздуха при нормальных условиях т)„= 1,7 10 с кг/(м. с). В условиях опыта температура г = 27 'С, давление атмосферное (рис. 51). Анализ. Влагодаря явлению внутреннего трения на слой воздуха, примыкающий к пластинке (адсорбировэнный пластинкой), со стороны движущихся слоев действует сила трения.
Пластинка будят неподвижна, если приложенная сила Р и сила трения Р скомпенсированы: Р— Р г Г. м~ и Сила трения может быть найдена по уравнению Ньютона: Р = ц! Ь/бх! Я, (1) где Йи/с)х — производная скорости и направленного движения слоя по координате х, причем ось ОХ перпендикулярна плоскостям трансмиссии и пластинки и направлена от трансмиссии к пластинке. По условию задачи, давление атмосферное, зто значит, что длина свободного пробега молекул много меньше расстояния Ь, поэтому вязкость может быть рассчитана по формуле т) - -(и)) р = — ~ — —, — —.
3 3" хв 42~Ытв Рта Здесь (и) — средняя скорость теплового движения молекул; 1 — средняя длина свободного пробега; р— плотность газа. *Р Как видно, вязкость зависит только от природы газа (эффективного Ь диаметра с( молекул, молярной массы °, „° в) и температуры. Поэтому во всем пространстве между трансмиссией и Рис. 51 ««ис 52 пластинкой ч = сопз1 и значение ч при заданных условиях связано со значением Ч, при нормальных условиях соотноше- нием ч ~ч. =,~т/тз (2) где Т = 300 К1 т . 273 К. Выражение (1) может быть применено к любому промежуточному слою площадью Я, расположенному между трансмиссией и пластинкой.
Из закона сохранения импульса следует, что сила трения, действующая на любой иэ этих промежуточных слоев, должна быть одинаковой, следовательно, би/бх сопз1 и значение этой производной может быть определено из граничных условий. Решение. Равенство (2) позволяет определить вязкость неравновесном состоянии, давление его не может быть рассчит«шо ни по уран нениюсо оя ия, никос новномуурав нению молекулярно-кинетической теории. Начальное давление соответствует вакууму, т. е. такой высокой степе- О ни разрежения, когда молекулы сталкиваются только со стенками сосуда и практически не сталкиваются друг с 7Г другом Это утверждение можно проверить, рассчитав длину свободного пробега по формуле ч- ч~т/т. (3) Поскольку производная бо/бх сопз1, ее можно заменить отношением изменения скорости До к приращению координаты Дх.
По условию, Ди - — и«, Дх ««. Тогда — - — -'-. «Ь и (4) «)х а Как и следовало ожидать, производная «(ю/««х <, О. Подставляя выражения (3) и (4) в уравнение (1), получим «т и, Р г =Ч~ — Я 28 ° 10зН. ю- о.~т,7 Заавча 8.10.
Между стенками дьюаровского сосуда находится воздух при температуре 1«17 'С н давлении р« 0,03 Па. Расстояние между стенками сосуда 1 0,8 см, площадь наружных стенок Я 1800 см' (рис. 52), В сосуд наливают жидкий воздух, находящийся при температуре 1, — 183 'С. Определить: 1) давление воздуха, находящегося между стенками дьюаровского сосуда; 2) количество теплоты„которое будет подводиться к внутренней стенке за 1 с. Эффективный диаметр молекул воздуха приближенно равен эффективному диаметру молекул азота: «Е 3,7 10 «э м. Температуры внутренней и наружной стенок дьюаровского сосуда считать постоянными по времени.
Анализ. Воздух между стенками дьюаровского сосуда, после того как в сосуд налит жидкий воздух, находится в 1ЗО 1 ) з72«1«(а) ' где (л) — средняя концентрация молекул, равная концев- рзции в нач'льном с ояиии. При достижении ва уума дли на свободного пРобега должна быть равна (или бол ше) рас- стоянию 1 между стенками сосуда. этом случае для определения давления надо подсчитать изменение импульса дР молекул, которые за неко рый межуток времени Д1 Ударятся о стенку (например, о холод ную внутреннюю стенку). Средняя (за выбранный ток времени) сила (Е), действующая на стенку, равна и 1 тивоположна средней силе (1' ), действующей на м которая меже~ быть определена по второму закону Н она.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
