1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для всех трех случаев )~,/У, 1/2. Решение. Прн изобарном процессе объем прямо пропорционален термодинамической температуре, следовательно, (Т /Т)1 .= (У'/У)пз Г2 и искомое отношение числа ударов г,/з, /2/2 = 0,7. Число ударов, испытываемых стенкой сосуда, убывает меньше чем вдвое вследствие увеличения скоростей молекул. При иэотермическом процессе Т,/Т, = 1, следовательно, гз/з, = »«,/'»«, 1/2. Число ударов убывает вдвое. 133 137 При адиабатиом процессе объем и термодинамическая температура связаиы соотношением Т Угл - Т У'-'.
1 1 3 3 Для двухатомиого газа (у 1,4) (Т,/Т;)пе (У,/У )1~"13 О,ЗТ и искомое отиошеиие г,/г, 0,44. Здесь число ударов умеиьшается более резко, чем при изотермическом процессе, так как одновременно увеличивается объем и уменьшается скорость молекул, Заэача 9.4. Двухатомиый идеальный газ, занимавший при давлении р, = 3 10 Па объем У 4 л, расширяют до объема б л, при атом давление падает до значения р 10' Па.
Процесс происходит сначала по адиабате, затем по изохоре. Определить работу сил давления газа, изменение его виугрекией зиергии и количество поглощенной теплоты при атом переходе. Анализ. Как следует из условия, газ участвует в двух процессах (рис. 5б): а) адиабаткое расширение из состояния 1 в некоторое состояние Ь, в котором объем У У,, давление р иеизвестио; б) изохориый переход из состояиия 1. в состоя.иие 2. Чтобы определить характер изохориого процесса— иагреваиие или охлаждение, — надо найти промежуточное значение давления р .
Согласно уревиеиию адиабаты, Р р /р, (У,/~ )" ° (1) Газ двухатомиый, следовательио„у - (1 + 2)/1 - 1,4. Таким образом, 1Ш р -3 102~-'~ >р - 1О'. ~33 Последнее иеравеиство показывает, что при изохориом переходе из состояния 1 в состояиие 2 давление газа уменьшается Рзс. 55 1ВВ (рис. 55) и, следовательно, процесс 12 есть процесс изохориого охлаждения (р/Т сопз$ при У сопзФ). Чтобы найти работу А„и количество поглощенной теплоты 91 при переходе из состояния 1 в состояние 2, надо рассмотреть каждый из указаииых процессов отдельно. При этом А А, +А, 2е =2е11+4) Изменение внутренней зиергии ие зависит от процесса и в любом случае ЬУ вЂ” — К(Т вЂ” Т ). 2 1н м 2Р 2 1' Неизвестные значения Т,, Т, и э2/(2 можно найти из уравиеиия Клапейрона — Менделеева. На участке 11.
количество поглощенной теплоты Я, - О. Работа газа А, может быть определена по изменению виугреиией энергии 22У1 с испольэоваиием уравнения Клапейроиа — Менделеева и уравнения адиабаты. На участке Ь 2 работа газа Ам О,.количество поглощенной теплоты ж С2(Т Решение. Работа газа при адиабатиом процессе (3) 2 т А — ЬУ вЂ” — ЩТ вЂ” Т ). 2 Р Используя уравнение Клапейрона — Менделеева для состояиий 1 и 1, получим А1,= 2(р1~ -ргУ2).
Из уравнения адиабаты (1) Е12- —,(р2У2- р2У,) - — 1О5О Д . р, р1(У1/У2)1 1,7 " 10' Па. Тогда А, 450 Дж. Учитывая, что А О. находим А - А, 450 Дж'. При изохорисм процессе моляриая теплоемкость С„= (1/2)К. Подставив это выражеиие в уравнение (3) и используя уравиеиие Клапейрона — Менделеева для состояний Ъ и 2, полу- чим Поскольку Я О, общее количество теплоты 9м — а,а - -1050 Дж. Знак минус показывает, что газ отдавал теплоту окружающим телам.
Изменение внутренней энергии [см. (2)1 /!аУ, = 1(р Š— ра~т,)/2 = — 1500 Дж. Зааача 9.5. Двухатомный идеальный газ, занимавший при давлениир,=2 104 Па объем г, 6 л,расширяетсядообъема вдвое большего, чем начальный. Процесс расширения происходит так, что рра совз1, где /а = 1, 2. Найти изменение внутренней энергии газа и работу, совершенную газом при расширении. Рассчитать молярную теплоемкость газа прн этом процессе. Акалкэ. Качественный анализ происходящего процесса удобнее всего провести, сравнивая график этого процесса в координатах р, )г с изотермой и адиабатой при расширении из одного и того же начального состояния до одинакового конечного объема (рис.
5б). В рассматриваемом процессе коэффициент )а > 1, следовательно, график располагается ниже иэотермы — это значит, что процесс 1 2 сопровождается понижением темкературы (/1Тм < 0) уменьшением внутренней энергии (ЬУм < 0). С другой стороны, коэффициент в < т С/С следовательно, график этого процесса должен располагаться выше графика адиабаты. Это значит, что убыль внутренней энергии ~ ЬУ„~ меньше, чем убыль внутренней энергии при адиабатном процессе (~ ЬУ„) < ( ЬУад ~); Работа А,больше, чем работа, совершаемая газом при отсутствии теплообмена (А;, > А ). Поскольку при адиабатном процессе~ ЬУ ~ =А, то ~ /1У„~ <А„.
Р Это значит, что количество теплоты, необходимое для проведения данного расширения, емое газу количество теплоты, и часть его внутренней энергии. Изменение внутренней энергии, как обычно, ааУ, = — — К(Т вЂ” Т,), 1 эа причем. входящие в это выражение неизвестные величины можно найти из уравнения Клапейрона — Менделеева н уравнения процесса. Работа рассчитывается по формуле А„- ~р бУ, (2) при этом р(у) задано уравнением процесса. На основании первого начала термодинамики ~м - Аи+ 11У *. (3) (4) Я = — С(Т вЂ” Т), и 1а 1 а получим молярную теплоемкость процесса. Правда,' она может быть найдена и непосредственно из дифференциального уравнения первого начала термодинамики, уравнения состояния н уравнения данного процесса.
В настоящей задаче используется первый способ. Решение. Согласно выражению (1), ЛУ = — ~ — ДТ,- — Кт,~ = (р) -р) ). (5) а 2(, а ! 2 га Конечное давление газа по заданному уравнению процесса ЕСЛИ ПОЛУЧЕННОЕ ДЛЯ ДаННОГО ПРОЦЕССа ВЫРажЕНИЕ агм ПРЯ- мо пропорционально разности температур ЙТм Т, — Т,, то теплоемкость газа постоянна (процесс политропный). Тогда, сравнив выражение (3) с равенством ам = А„— ! ЬУ„~ > О, гвс. 56 141 140 т. е. газ при таком процессе получает теплоту, а температура его при атом понижается — теплоемкость газа отрицательна.
Таким образом, на совершение газом работы против внешних сил расходуется и сообща- Р,=Р,(у;/у;)а = 8,7 10а Па. Рассматриваемый газ — двухатомный (1 5). Изменение его внутренней энергии (см. (5Ц ЬУм = — 400 Дж. Чтобы найти работу, подставим в равенство (2) выражение для давления. Согласно уравнению процесса, рУа = сопзФ = = р,г",». Отсюда р раУ,а/У'. Поскольку р„и %; — фвксиро- Чтобы найти Йу/ЙТ, продифференцируем вьсрюкение (5) по переменной Тс 2У(ЙУ/ЙТ)Т вЂ” Скс Тс откуда ЙУ 1 ЙТ 2Т (6) Подставим выражение (6) в (4): Н 1+1 С = — В+ — = — В. 2 2 2 Искомая малярная теплоемкость постоянна, причем С < < С < С . Рассматриваемый газ — одноатомный (с = 3).
Тогда С = 16,6 Дж/(моль К). Количество теплоты, поглощенное газом при нагревании, 4)м = ~ЬЯ вЂ” С(Т, — Т,) = 2,1 кДж. (р + а/Ъ")(сс — Ь) ВТ, где У = )с — малярный объем. к Работа, совершаемая газом, 2 А„= ) р сПк. с (2) Зааача 9.7. Один моль углекислого газа, занимавший при темпеРатУРе Ф, 127' С объем Ус = 0,5 л, РасшиРЯетсЯ изотермически до объема У = 2Ус. Определить начальное давление газа, работу при расширении, изменение внутренней энергии газа и количество поглощенной теплоты. Анализ. Как известно, при нормальных условиях 1 моль идеального газа занимает объем Ъ; 22,4 л/моль, в то время как, по условию задачи, 1 моль газа при температуре Т, (аначнтельно большей, чем Т, 273 К) занимает объем 0,5 л.
Это заставляет предполагать, что давление газа много больше атмосферного, т. е. газ нельзя считать идеальным. В таком случае давление газа следует рассчитывать по уравнению Ван-дер-Ваальса, которое для моля имеет вид ЙХ - — р'ЙУ - (а/)с')Й)к (при Й)к ) О, т. е. при расширении, работа сил притяжения отрицательна). Тогда изменение потенциальной энергии Й));= — ЙА' (а/)с')Й)к. Изменение кинетической энергии всех молекул си Й)У = — — ВЙТ, к 2сс Таким образом, изменение внутренней энергии Й(/ = ЙВ' + сИУ вЂ” сЬ' + — — ВЙТ а С и к к 1 Г 2 и при переходе из состояния 1 в 2 Л(/ - ~ — Й + — В(Т - т).
г а 1 и .) Ссс 2 Сс \, Количество теплоты, полученное газом, найдем из первого начала термодинамики: (3) 44, = ссс/, + А„. (4) Решение. Согласно уравнению (1), давление газа ЛТ а р 1' Ь (5) Внутренняя энергия реального газа складывается из суммы кинетических энергий всех молекул и потенциальной энергии взаимодействия молекул, обусловленной силами притяжения между ними. Учет сил отталкивания в уравнении Ван-дер-Ваальса сводится к введению поправки Ь, постоянной для каждого газа. Согласно молекулярно-кинетической теории, это соответствует аппроксимации молекул твердыми шариками фиксированного размера.
Поэтому естественно, что силам отталкивания, развивающимся при непосредственном столкновении, не может соответствовать какая-либо потенциальная энергия. Учет сил притяжения сводится к учету дополнительного давления р' а/к ~, под которым находится гаэ Ван-дер-Ваальса. Изменение потенциальной энергии взаимодействия молекул равно работе сил притяжения, взятой с обратным знаком. При расширении газа работа сил притяжения 144 14б Постоянные Ван-дер-Ваальса для углекислого газа: а - 0,36 Н м'/моль!; Ь = 4,3 10 'м'/моль. Подставив эти значения в уравнение (б) для )г 6 10 ' м'/моль„получим р, 67 ° 10' Па. Подставим выражение (б) в (2); !'! А ] — 4У вЂ” ~ — сУ.
Г ЛТ .]~ -ь После интегрирования У-Ь а а А ВТ 1п -з — + — — — 2,1 кДж. гд у,-ь у При расчете изменения внутренней энергии (см. (3)] второе слагаемое обращается в нуль (изотермический процесс). После интегрирования первого слагаемого (1 1] ддУ а~ — - — ~ 0,4 кДж. гг Я Я Количество теплоты, поглощенное газом [см. (4)], Я! 2,б кДж. Интересно сопоставить полученные результаты с тем, что дэл бы расчет цри исцользовавии модели идеального газа. Для такой модели р — 66.'10! Па' д)Т дд 1 д!У 0; Я А НТ)п у 2,3 кДж. ! Как видно, давление на стенки сосуда данного реального газа меньше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
