1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 16
Текст из файла (страница 16)
событие В происходит раньше, чем А. При изменении направления движения ракеты на противополвкное (о „= — о ) событие А для наблюдателя в ракете произойдет раньше, чем В, так как Ф»' — 1,' > О. Если ракета движется в положительном направлении оси Х, то Ьу = г«' — 8,' = — 1,45 мкс, 102 т. е.
событие В, зафиксированное наблюдателем в ракете, опережает событие А на 1,43 мкс. Интересно отметить, что иэ выражения (2) следует, что часы в системе «ракета», координаты которых в лабораторной системе положительны, отстают от лабораторных часов и тем больше, чем больше координата Х. Часы в системе «ракета», координаты которых в системе «лаборатория» отрицательны, опережают лабораторные часы. Полученный результат можно проверить, используя инвариантность пространственно-временнбго интервала в.
В лабораторной системе вхз — (Ьх)'. В системе «ракета» (в' )' - с»(йб)« — (Лх)«. Подставив выражения (1) и (3) в (4), получим ъ» ( ~) "» (вх)» « Д:«Ф -4~ (4) Расстояние между событиями, измеренное в системе, в которой оба события происходят одновременно, называется собственным. Собственное расстояние всегда минимально. 103 Зааача 7.3. В системе «ракета», движущейся относительно лаборатории со скоростью о» - 0,4с, в точке с координатами х' - у' х' = 0 в момент г', произведена световая вспышка (событие А). С помощью системы диафрагм узкий пучок света направляется вдоль оси У'..Через промежуток времени М' 0,10 мкс световой сигнал„отразившись в зеркале„возвращается в исходную точку (событие В). Какое время и какое расстояние между событиями А и В измерит наблюдатель в лабораторной системе? Каковы траектория н скорость светового сигнала для этого наблюдателя? Аналиа Координаты и время сбоях событий в лабораторной системе легко могут быть рассчитаны на основании преобразований Лоренца, так как пространственно-времени»~м координаты этих событий в системе «ракета» заданы, причем х', х,', - О.
Событие В является следствием события А, зто значит, что они связаны между собой некоторым процессом. В данном случае — это процесс распространения и отражения светового сигнала. Для наблюдателя в системе «ракета» свет распространяется по оси У', а после отражения от зеркала — про- А(»») А(«»+ «) тив оси У'. На рис.
44 стрелками показаны направления распростра- о — — о —— нения сигнала. Если не учитывать времени отражения, то можно предположить, что отражающее зеркахх й х»,«, Х ло находится на оси У' на расстоянии Ьу' - ей('72 от начала коорди- Гис. 44 наг. Для наблюдателя в лаборатории все процессы в системе «ракета» происходят медленнее, чем в лаборатории, и продолжителькость процесса, ограниченного событиями А и В, больше, чем промежуток времени ЛУ. Проекция скорости световою сигнала о„, измеренная этим наблюдателем, меньше, чем с. Проекция скорости этого же сигнала о„равна скорости ракеты. Световой сигнал пройдет по траектории, представляющей собой ломаную линию, показанную на рисунке. Очевидно, скорость распространения светового сигнала по этой линии равна с.
Решение, Найдем пространственно-временнйе координаты событий А и В в лабораторной системе отсчета: х,= х«+сэ ' ха+ "«1«о+а») » хэ "о/е 1- э«/е В лабораторной системе события А и В происходят в точках, находящихся друг от друга на расстоянии э« у Ах=хе — х =.т --13м. 44''1 1- с»/е» Время событий." ' + х' /еэ Ф«+ М'+ э«х' /еэ « ,1,= 1 .и/е~ ' ' 1 о~/с* Промежуток времени между событиями А и В для наблюдателя в лаборатории М' ЬФ' (э — 1« = ~ 0,11 мкс.
~/1 "«/е Время между двумя событиями (связанными причинноследственной связью) будет наименьшим в той системе отсчета, в которой оба события локализованы в одной точке. Время между событиями, измеренными в такой системе, называется собственным. Собственное время может существовать только для тех событий, которые разделены времениподобным интервалом [э' с«(Ьг)» — (Лх)' > 01. Очевидно, что промежуток времеви М между событиями А и В в лабораторной системе в данном случае связан с расстоянием Лх соотношением Ьх ойа (2) 104 Таким образом, найдя расстояние Ьх из соотношений Лоренца, Ьг можно было рассчитать и по равенству (2). Проекция скорости светового сигнала о„= 2Ьу/Ьг, где Ьу — ордината зеркала в лабораторной системе (ординаты зеркала в обеих системах одинаковы, Ьу Лу' сЬУ/2). С учетом выражения (1) о„ с»)1 - о'/с' . (3) Это же значение о„можно было получить из формулы преобразования скоростей о,, где о' = О, и' с, Горизонтальная составляющая скорости (4) о, = о,„ Полная скорость светового сигнала о, Я+~.
Подставив выражения (3) и (4) в (б), получаем о, = с. Полная длина, ломаной линии, пройденной световым сигналом, 1 с Ьг = 330 м. (б) 10Э Зааача 7.4. В системе отсчета «ракета», движущейся со скоростью о, О,бс, под углом у' = 30' к оси Х' расположен неподвижный метровый стержень. Параллельно стержню летит частнца со скоростью о' = 0,4с. Под каким углом <р ориентирован этот стержень для наблюдателя лабораторной системы? Какова скорость частицы для этого наблюдателя? Аяалнэ.
Рассмотрим стержень и частицу с точки зрения наблюдателя в лаборатории. Стержень движется поступательно с горизонтальной скоростью о„и, - О,бс. Вследствие этого стержень в юризонтальном направлении сжат, в'вертикальном направлении размеры его неизменны. Следовательно, длина стержня для наблюдателя в лаборатории будет меньше, чем для наблюдателя в ракете, угол ~р наклона стержня к оси Х больше, чем <р'. В отличие от стержня частица относительно ракеты движется и горизонтальная составляющая ее скорости отличается от о,' о'соэ ~р'.
Причем если о,' > О, то, очевидно, о«> о'. Для о = 0,8с Тогда (6) (3) ),, — р,,г = (т,'*)'. (7) (4) Ка- Еа — пгосг = 0,36 лг с'. бр/Ю = Р, и = рас'/Е„. (5) р(г)- Рк 109 108 р =-т Е ,/1 — и'/с' ' 1 - и'/с' Выражения (2) и (3) совместно с законами сохранения (1) позволят рассчитать скорость и массу покоя вновь образовавшейся частицы. Кинетическая энергия частицы может быть найдена нз соотношения яьс' К Е Ео ' згос ° 1- о'/с' По существу, в теории относительности при любом характере соударения тел (конечно, при отсутствии внешних воздействий) всегда справедливы законы сохранения импульса и сохранения энергии.
Но в зависимости ог характера соударения уменьшается или увеличивается масса покоя тел, составлявших систему до и после соударения. Соответственно увеличивается или уменьшается кинетическая энергия системы. Взаимодействие или удар, при котором масса покоя системы, а следовательно, и кинетическая энергия не изменяются, называется абсолютно упругим ударом. В рассматриваемом случае при малых скоростях по законам классической механики кинетическая энергия системы обязательно уменыпается. Предполагая, что это остается в силе и при больших скоростях, приходим к выводу, что масса покоя частицы, образовавшейся в результате неупругого соударения, больше, чем сумма масс покоя соударяющихся частиц, причем тем больше, чем больше начальные скорости частиц.
Решение. Из выражений (3), записав предварительно модуль импульса, легко получить, что Используя законы сохранения (1) и выражения (2), нахо- дим 41 — ог/сг ' " ' ~ г/1 - оо/ог 4 8 рз = р, '= — лоос, Ез Е, = — згос . Подставим выражения (6) в (5): и - 0;5с (зто значение на 25'/о больше того, что дал бы расчет скорости, проведенный по законам классической механики). Очевидно, что вектор и должен быть сонаправлен вектору ч. Из выражений (3) сле- дует Подставляя выражения (6) в (7), находим лго 2,31 лг .
Масса образовавшейся частицы больше, чем сумма масс покоя частиц, составлявших систему до соударения. Соответственно кинетическая энергия системы в результате соударения уменьшается. Используя уравнение (4), найдем, что до взаимодействия частиц их кинетическая энергия К, = 0,67 ш,сг. После взаи- модействия Заьача 7.6. Частица массы зго - 1,6 ° 10 го г начинает двигаться под действием постоянной по модулю.и направлению силы Р 4,8 ° 10 'оН. Как будут изменяться со временем импульс частицы, ее скорость и кинетическая энергия, если время действия силы не ограничено7 Построить графики зависимости этих величин от времени.
Точность расчета должна быть порядка 6/о. Анализ. По законам как классической, так и релятивистской динамики, откуда в случае постоянной силы Р и при отсутствии началь- ного импульса получим Таким образом, если частица начинает двигаться под действием постоянной силы, импульс ее прямо пропорционален времени действия силы и сонаправлен вектору Р. При отно- сительно малых скоростях импульс и кинетическая энергия соответственно равны ио Ро рз вооч Кн 2 2,' Индекс «Н» указывает, что соответствующие формулы принадлежат механике Ньютона. Прн больших скоростях (2) и Р 1- ио/ео (3) т.-ео К " Š— Е, = — и»оео - Е,'+ Р'е' — Е,~ о / о о о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
