1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Очевидно, при расчете величиной т,хэ по сравнению с / можно пренебречь. Тогда, учитывая, что / т,Ь'/3, по формуле (6) находим а — = 2,1 с 2щрх а,ь'/э Чтобы определить, при каком условии не возкикает горизонтальная сила реакции оси, следует перейти от векторного равенства (1) к скалярным соотношениям, определив импульсы системы до и после удара.
До удара р, тр. Проекции на горизонтальные осн Ог и ОЯ: рэ = щр, р„= О. После удара рз = т,пе + щ,п, где п, — скорость центра масс пластины. Проекции на те же осн Тогда векторному равенству (1) соответствует одно ска- лярное Раг рэ = (~~) /ьк Очевидно, (У„) (а следовательно, н (Р)) равна нулю, если р„„рэ. Переписывая зто условие в явном виде„получаем Это равенство и есть условие, при котором не возникает горизонтальной реакции оси и импульс системы не изменяется. Перепишем его в виде Правую часть этого равенства можно выразить иа уравнения (5), согласно которому Подставив выражение момента инерции пластины в (10), цолучнм щр + т,и = вие Ь'/(Зх). Тогда условие (9) примет внд та Ь/2 та Ь'/(Зх), откуда Если пуля попадает в точку, лежащую на расстоянии х = 2Ь/3 от оси вращения, то горнзонталъная сила реакции оси ве возникает.
Если х > 2Ь/3, то рм > р,,„Следователъно, (Р„) /й > О, т. е. возникающая горизонтальная сила реакции осн будет направлена по осн ОУ вЂ” по движению пули. Как видно нз решения, длина стороны пластины, с которой совпадает осъ вращения, не влияет на результат. Ф б. Механические колебания Этот параграф включает задачи на механические колебания: гармонические (собственные и вынужденные) и затухающие. Если в курсе физики механические колебания изучаются параллельно с электромагнитными, то задачи этого парагра- фа следует решать одновременно с задачами 9 20 гл. 1о". Однако в любом случае важно обратить внимание на те общие закономерности, которые присущи всем колебательным процессам незавнснмо от нх природы.
Если речь идет о механических колебаниях, то качественный анализ явлений следует, как всегда, начннать с анализа снл, действующих на тело нлн систему тел. Здесь рассматриваются лишь одномерные колебания, н для нх описания достаточно одной координаты. В зависимости от характера движения зто может быль либо линейная, либо угловая координата. В качестве гармонической функция в законе движения можно использовать лнбо синус, либо косинус. Выбор гармонической функции обычно определяется начальнымн условиями. Заьачэ 5А. Матернзльння точка совершает гармонические колебания вдоль осн Х. По прошествпн времени о, = 0,1 с от начала двнження смещение точки от положения равновесия х, = б см, скорость и,„62 см/с, ускорение а,„— 640 см/со.
Определнты 1) амцлнтуду, циклическую частоту н начальную фазу колебаний; 2) смещение, скорость н ускорение в начальный момент (Г = 0). Аналнз. Закон двнження матернзльной точки в общем виде известен: х- Хозш (оп+ а ). Законы нэменення скорости н ускорения со временем могут быть найдены последовательным дифференцированием по времени уравнения (1): (2) х = и„Х в соз (юГ + ао), х а — Х О)о эш (аг + ао) (3) Подставляя в уравнения (1) — (3) заданные значення времени, координаты, скорости н ускорения, получаем трн уРавнения, содержащие в качестве неизвестных Х„в н ао Совместное решение такой системы позволит найти все искомые величины. После того как будут найдены этн величины, подстановка в те же уравнения времени о 0 позволят найти начальные смещение, скорость н ускоренне.
Ревознне. Подставнв в уравнения (1) — (3) значения ги хп а,„н а, получим: х, = Х, юп (оог, + а,), о, = Х ос сов (юг, + а,), аы = — Хоо' зш (юг~ + ао) Рассмотрим сначала первое н третье нз уравнений (4). Легко видеть, что а,„— х,юо, откуда оо ~/- ~,/х 10,4 с '. Возведя в квадрат первые два уравнення системы (4) (пред- варительно следует второе нэ уравнений разделить на ю) и почленно сложив нх, получаем хо + по /юо ' Хо. Откуд уда амплитуда колебаннй х,-Д 47'-тв ° .
Чтобы найти начальную фазу, подставим найденные зна- чення Х, н оо, нацрнмер, в первое нз уравнений (4). Так как начальную фазу принято выражать в долях к, то эапншем уравненне (1), введя период колебаний Т 2к/оо 0,6 с. Тог- да юг, = 2яГ,/Т 2х/6 н (4) хо Хоз1п (2к/6 + а ), 2Я/6 + ао агсз)п (х1/Хо) згсз1п 0,64„ откуда х(0) = — 2,7 см; о„(0) = 76 см/с; а,(0) = 289 см/с'. Ззлачз 5.2.
Матернэльная точка совершает гармонические колебания вдоль осн ОХ с периодом Т н амплитудой Х За к акое время, считая от начала движения, она пройдет расо. стояние з = Хо/2; Х, (рнс. 32)2 Начальная фаза: 1) ао = 0; 2) я/2. 2я/6 + ао 40' = 2я/9, а — х/9. По найденным значенням Х, н а определим и„(0), и„(0) н а„(0) — координату, скорость н ускоренне точки в начальный момент времени. Для этого подставим в уравнения (1)— (3) значенне г 0: 70 Анализ. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону х-Х,з)п (сог+а). (1) «(г 4 7/4) з +г« «Ос т/3) Если а, = О, то [см.
(1)] в начальный момент точка находится в положении равновесия, т. е. х(0) = О. Путь, пройденный точкой эа время $ < Т/4 (рис. 32, а), ««О э +г« г«с. ээ з = х(Ю). (2) (3) Очевидно, уравнение (3) справедливо до тех пор, пока $ < Т/2. т. е. пока точка движется в одном направлении. Чтобы найти время г, кадо в равенства (2) и (3) подставить ааданные значения з и аакон движения (1).
Реюеквз. 1) пе = О. Подставим в уравнение (2) поочередно а, Х,/2 и эх= Хм Если при этом х(Ф) выразить иэ уравнения (1), то, учитывая, что аэ = О, получим: Х, з)п ют, - Х,/2, Х, зш юг, - Х„ откуда [При г > 7/4 точка, дойдя до х = Х„начнет двигаться к началу координат, т. е. в сторону, противоположную начальному движению, и тогда выражение (2) будет несправедливо.] Если а и/2, то [см. (1)] в начальный момент движущаяся точка находится в крайнем положении„т. е.
х(0) = Х, скорость точки и, = О. С возрастанием времени координата х уменьшается, а путь, пройденцый точкой (рнс. 32, б), з - Х, — х(г). 2) аз = х/2. Подставим з, = Х,/2 и вэ Х, поочередно в уравнение (3). Если выразить х(г) из уравнения (1) с учетом, что а и/2, получим: Хд- Хрз)п (О)г, + к/2) Х«/2, Х вЂ” Х э1п (ск, + к/2) Х„ откуда «к, + н/2 - би/6, с, к/(3ю) Т/6, юг, + и/2 - к, Г, = к/(2ю) = Т/4.
Когда точка начинает движение иэ крайнего положения, то расстояние Х, колеблющаяся точка, как и в первом случае, проходит за время г Т/4, но теперь первую половину пути точка проходит аа время Ф, = Т/6, а вторую — эа время Г~ — Г, 7/12, т. е. вдвое быстрее. Заалча 5.3. Тонкий однородный стержень длины 1 = 1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии х = 20 см от его середины (рис. 33). Определить период колебаний стержня, если максимальный угол отклонения от положения равновесия <р ~ 8'. Как зависит период колебаний от расстояния х2 Построить примерный график зависимости 7(х).
Анализ. Твердое тело совершает колебания около положения равновесия. Определить период его колебаний можно только в случае, если колебания гармонические. Так как стержень вращается относительно закрепленной оси, то его колебания будут гармоническими, если угловое ускорение стержня е д~ф/ЙФ'и угловое смещение ф от положения равновесия связаны со- отношением 6'Ф/б~ — («Р. (1) Т 2к/(о 2х/~/Ь.
(2) г«с. зэ вг, - к/6, г, = х/(бю) - Т/12, озг, - к/2, г, - к/(2ю) - Т/4. Таким образом, начиная двигаться иэ положения равновесия [х(0) = О], колеблющаяся точка проходит расстояние з Х, за время г, Т/4, причем первую половину пути колеблющаяся точка проходит эа время г, Т/12, вторую — за время Г, — Ф, Т/6, т. е. вдвое медленнее. В этом случае коэффициент пропорциональности Ь равен квадрату циклической частоты оР возникших гармонических колебаний, а период колебаний М жях юп <р.
М, - — тдхд. (3) 42 Я бгэ 70+ тх %' (5) 75 Во все время движения на стержень действуют сила тяжести жя и сила реакции оси. Вращающий момент относительно оси создает только сила тяжести. Как видно иэ рисунка, момент силы тяжести Если ввести ось 2, то проекция момента на эту ось отрицательна. По условию задачи, угол ~р < 8', следовательно (с точностью до 1%), з1п ~р <р (на рисунке угол ~р для наглядности показан большим). Тогда В положении, показанном иа рисунке, <р > О, тогда как М, < О.
При отклонении стержня в противоположную сторо- ну ~р < О, проекция момента силы М, > О. Таким образом, момент силы, действующей на стержень (следовательно, и угловое ускорение), прямо прспорционален угловому смещению и поворачивает стержень к положению равновесия, что является условием гармонических колеба- ний. Период колебаний, а также характер зависимости периода от расстояния х можно определить из основного уравнения динамики вращательного движения и уравнений (1) — (3). Решение. Согласно основному уравнению динамики вра- щательного движения и равенству (3), бэ,р 7 — = — юпхт. а1' (4) Здесь 7 — момент инерции стержня. По теореме Шттсйнср, 7 - 7э + юх', где Хс - гл('/12 — момент инерции относитель- но оси, проходящей через центр масс стержня. Подставляя выражение 7 в уравнение (4), получаем СРавнивая уравнение (5) с (1) и (2), находим, что период колебаний стержня Т 2я)~ 2я 7э + мхе 1 /1З+" = 1,58 с.
(6) 1( явях зх Рассмотрим теперь характер зази- т, с симости Т(х). По условию, х изменя- 1,з ется от О до(/2. При т-0 Т- сс, т. е. стержень находится в состоянии беэ- 1.З различного равновесия и не совершает колебаний. 1,7 Чтобы определить характер графика т(х), надо найти точки экстремума, 1 с для чего вычислим первую производную: 1,5 откуда бТ/бх = 0 при х 7/ч12.
Тогда Т(77~/12) Т = 1,52 с, Период Т монотонно убывает при возрастании х от 0 до 1/ч'12. При наибольшем значении х 1/2 период колебаний [см. (ОЦ Т 1,63 с. График зависимости Т(х) приведен на рис. 34. Зазлча 5.4. К вертикальной невесомой пружине, верхний конец которой закреплен, подвешен груз массы ю 0,1 кг. Жесткость пружины я 40 Н/и. Определить период вертикальных колебаний системы, которые возникнут, если вывести груз из положения равновесия. Определить амплитуду колебаний и начальную фазу, если в момент г - 0 груз оттянуть вниз на расстояние х, 10 см и сообщить ему начальную скорость и, = 3,5 м/с, направленную вниз (вверх).
Анализ. Задача практически состоит из двух самостоятельных частей. Анализ ее и решение также будут содержать легко прослеживаемые две части. Период колебаний можно определить только в случае, если груз, движущийся поступательно, совершает гармонические колебания. Это значит, что ускорение грува должно быть прямо пропорционально его смещению от положения равновесия и направлено в противоположную сторону.
В процессе движения на груз действуют две сильк тяжести и упругости пружины. Сила упругости пружины однозначно определяется растяжением или сжатием пружины, т. е. сме- щением еенезакрепленногоконца. Если ввести ось ОХ (рис. 35), то координата х груза равна смещению конца пружины от прямой АХ вЂ” уровня, на котором находил- А' ся конец пружины в положении равновесия. Тогда полное растяжение пружины равно х + зс и сила упругости /2 " — й(х + зс)2 (1) где зз — растяжение пружины, при котором груз находился в положении устойчивого равнове. сия, когда (2) Поскольку обе сцлы (тяжести и упругости) направлены вдоль осн ОХ, уравнение движения для груза мояаю ааписать сразу в скалярном виде: шх = шл — й(х+ в,).
Раскрывая скобки и учитывал равенство (2), получаем шх = — йх. (3) Это и есть дифференциальное уравнение гармонического колебания, которое позволяет однозначно определить период колебаний. Амплитуду колебаний Хз можно найти, рассматривая изменение энергии при переходе из положении, в котором система находилась в момент х О, в положение, при котором х Хе Полная энергия системы состоит иэ кинетической энергии груза, потенциальной энергии груза в поле тяготения Земли (пружина невесома, поэтому речь идет толъко о грузе) и потенциальной энергии упругой деформации. Посколъку диссипативных снл нег и никакие внешние силы на систему груз — пружина не действуют, полная энергия системы при рассматриваемом переходе остается постоянной: ЬК+ ЬУ, + ЬУ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
