1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В песок попадает снаряд массы т, = 5 кг, летевший вдоль рельсов. В момент попадания скорость снаряда о 400 и/с и направлена сверху вниз под углом а 37 к горизонту (рис. 17). Найти скорость плат- Зазяча 3.3. После абсолютно упругого соударения тела массы т„ двигавшегося поступательно, с покоившимся телом массы т, оба тела разлетаются симметрично относительно направления вектора скорости первого тела до удара (рис.
18). Определить, при каких значениях гас. 18 я - т,/т, это возможно. Рассчитать я для двух случаев: угол 6 между векторами скоростей тел после удара равен я/8 и я/2. Анализ. Происходит абсолютно упругое соударение двух тел. Конкретные условия, при которых происходит соударение, — направление и модуль вектора скороств первого тела т, до удара, наличие других тел, взаимодействующих с данными, форма соударяющихся тел — не оговорены. Очеввдво, аадача может быть решена только в предполо» женин, что на тела т, и т никакие другие силы, кроме сил, возникающих прн ударе, не действуют. Это предположение ве накладывает никаких особых требований на условия, в которых происходит удар: средние силы, возникающие при ударе, настолько велики и притом кратковременны, что действием других сил на каждое иэ тел за время удара можно пренебречь.
Если рассматривать не каждое из тел в отдельности, а систему тел т„т„то силы, возникающие при ударе, будут внутренними, а свстема— замкнутой в течение времени удара. Импульс такой системы постоянен: р, ра, т1т, тп + тпз, где и, и к, — скорости тел после удара. Поскольку удар абсолютно упругий, кинетическая энергия системы также постоянна: (2) К, Кз. Так как тело т, до соударевия двигалось поступательно, то после удара тела сохранят поступательное движение, если выполняются следующие условна: 1) отсутствуют силы трения между соударяющимися телами (а в случае сколыкения цо горизонтальной плоскости— .также между телами и плоскостью); 2) удар центральный: центры масс соударяющнхся тел лежат на линии удара, т.
е. на прямой, проходящей через точку соприкосновения соударяющихся тел, нормально к поверхностям этих тел в точке их соприкосновения. В этом случае линия действия свл, возникающих при ударе, проходит через центры масс тел, поатому после удара тела движутся поступательно. Следует отметить, что если соударяющиеся тела — шары, то удар всегда центральный. Для поступательного движения уравнение (2) имеет внд тгп /2 т~и /2 + тзц /2. (8) Решение. Чтобы от уравнения (1) перейти к скалярным соотношениям, введем оси координат. В проекциях на оси ОХ и ОУ р, О, рс„т,и, з)п (6/2) — т,к э$п (8/2); р,„тгоо рз„т,и, соз(8/2) + тдиз соз (8/2) и уравнению (1) соответствуют скалярные соотношения О т,и, з(п (6/2) — т и зш (6/2), (4) т1о, т,и, соз (8/2) + т и, соэ (6/2). (б) Иа уравнения (4) следует, что т,и, т1и . Подставляя это выражение в (б) и (8) при замене т, = т,/и, получаем: т,и, 2т1и, соа(9/2), тгоз т,и, '(я + 1).
(6) Уравнения (6) образуют систему, совместное решение которой 4созз (9/2) л + 1, (7) Если тело т, обладает меньшей массой, чем покоившееся тело тм то О ( я < 1. В этом случае (см. (7)) , Е 1 1 Е /2 — с соэз — ь —, — < сов — <— 4 2 2 2 2 2 Следовательно, утоп, обрааованный вектором скорости любого из тел после удара и вектором ч, удовлетворяет условию я е — > — >— 3 2 4 Если тело т, обладает массой большей, чем т, то я > 1 и В 1 В я соз 2 2' 2 4 34 86 ЬУ = (т, + гйа) ЫЬ, Ы? - — (пг, + гйа) иа/2. рис. г9 37 Кроме того, из выражения (7) очевидно, что наибольшее значение й, при котором возможен симметричный разлет тел, й 3. При этом соз' (О/2) 1, 6/2 О, т.
е. оба тела после удара движутся по направлению вектора т — удар прямой: при 0 я/3 (6/2 я/6) й 2; прн 0 я/2 (О/2 = х/4) й 1. Следует эамстпть, что посла абсолютно упругого косого удара двух тол одинаковой массы, одно на которых до удара покоилось онн всегда раалстаютсн под углом 8 - к/2 друг к другу. Ф Задача 3.4. Пуля массы лг, - 10 г, летящая с горизонтальной скоростью и = 400 м/с, попадает в мешок, набитый ватой, массы йга = 4 кг и висящий на длинном шнуре.
Найти высоту, на которую поднимется мешок, и долю кинетической энергии пули, которая будет израсходована на пробивание ваты (рис. 19). Анализ. Мешок приобретает некоторую скорость и и начинает двигаться по окружности радиуса ( (г — длина шнура) в результате попадания в него пулы. Во все время движения на мешок действуют суммарная сила тяжести (т, + та)а и сила натяжения Т шнура.
Вследствие действия силы тяжести скорость мешка непрерывно убывает до нуля. Зная начальную скорость и мешка, можно найти высоту Ь его подъема кинематическн, однако касательное ускорение и, мешка является функцией угла отклонения а, поэтому решение связано с математическими трудностями. Рассмотрим движение мешка в поле тяготения Земли. Сила натяжения шнура работы не совершает, так как во все время движения она перпендикулярна перемещению.
Следовательно, к движеншо мешка после попадания в него пули можно применить закон сохранения энергии Если применить этот закон к переходу из положения 1 сразу после удара, когда процесс взаимодействия пуля— мешок закончен, в положение П, то Знак минус в выражении для изменения кинетической энергии показывает, что при подъеме мешка его кинетическая энергия убывает до нуля. Несмотря на то что мешок движется по окружности, можно считать, что все точки его обладают одинаковой скоростью и, так как длина шнура велика по сравнению с размерами самого мешка. Тогда закон сохранения энергии примет вид (т, + юа) УЬ вЂ” (т, + та) и'/2 = О.
Для нахождения скорости и надо рассмотреть процесс вза- имодействия мешка с пулей. Ни характер изменения силы этого взаимодействия ео временем, ни само время взаимодей- ствия не известны. Но для системы пуля — мешок эта сила взаимодействия внутренняя н не изменяет импульса систе- мы. В течение кратковременного вааимодействия двух этих тел внешние силы тяжести и натяжения шнура вертикальны, поэтому проекция импульса системы на горизонтальную ось постоянна. Это утверждение справедливо в предположении, что промежуток времени ЛФ взаимодействия мешка и пули мал и поэтому перемещение мешка аа зто время практически равно нулю. Следовательно, р„= рп, лггп (т, + йгг) и. Долю энергии пули, израсходованную на пробивание ваты, можно найти, рассчитав кинетическую энергию системы до и сразу после удара.
Решение. Найдем скорость мешка из уравнения (2): и пгго,/(т, + лга). (3) Подставляя выражение (3) в (1) и производя соответству- ющие преобразования, получаем Ь оайг~/[26 (т, + пса)г) 5 см. Поскольку скорость, полученная мешком в результате вза- имодействия с пулей, известна, то энергия, затраченная на пробивание ваты, т. е. на совершение работы против сил не- упругой деформации, А* = К, — Кл = жууа/2 — (гй, + гйа) и'/2. (4) Подставив выражение (3) в (4), получим оа( А* ) АК ~ ~1- — ' — . 2 ~ юг+ та!' Тогда доля кинетической анергии, израсходованная на эту работу, ~ бК) = 99,75% Х, 3Л,+1Л, Рекомендуется качественно разобрать, что изменится, если мешок с ватой заменить абсолютно упругвм телом той же массы шг Вследствие того что масса тела велика по сравнению с массой пули, последняя отскочит со скоростью, близкой к начальной по значению, во противоположно вапразлеввой, т.
е. изменение импульса пули при упругом ударе вдвое больше, чем при иеупругом ударе. Поэтому'груз и, приобретет скорость вдвое большую, чем и (см. (3)), Высота подъема э этом случае будет э четыре рава больше найденной. Задача 3.5, Модель ракеты движется при отсутствии внешних сил, выбрасывая непрерывную струю газов с постоянной относительно нее скоростью р' 800 и/с (рис. 20). Расход газа р 0,4 кг/с. начальная масса ракеты ш, 1;2 кг. Какую скорость относительно Земли приобретет ракета через время э 1 с после начала движения, если начальная ско.
рость равна пулюем Оценить погрешность, сделанную при пренебрежении силой тяжести. Анализ. Ракета переменной массы и гаэ, выбрасываемый из ракеты с заданной постоянной относительной скоростью, совершают поступательное движение. Поскольку в условии оговорено отсутствие внешних сил, импульс системы тел ракета — выбрасываемый гаэ остается по- стоянным. Импульс каждого иэ л тел изменяется непрерывно со временем, поэтому следует найти изменение импульса ракеты ар, эа некоторый промежуток времени аг и изменение импульса ар той порции газа, которая эа промежуток времени аг выбрасывается иэ ракеты. Так как система замкнута, то ар - ар, + ар, - 0.
(ц ш ш, — рг, то за интервал аг скорость ракеты эа счет реактивного действия выбрасываемой струи газа изменяется на ач, а импульс ракеты — на (2) ар, =(ш,-рг) а. ар,-раз . (3) Подставив выражения (2) и (3) в (1), получим (ше- р() ач+ рау - 0 (шо рг) ач рч'ап илн (4) Переходя к скалярным соотношениям, после интегрирования можно найти скорость ракеты к моменту времеви К Если учитывать действие силы тяжести, внешней по отношению к рассматриваемой системе, то уравнения (1) и (4) соответственно примут вид ар - ар, + ар, = Рай (ш,— рз) ач (Р— р )аР. (б) В данном случае Р (ше — рг)а. Ревээние, Если начальной скорости у ракеты не было, то движение ракеты будет прямолинейным. Введем ось Х, направленную по вектору скорости ч ракеты, тогда р,' - — и'.
Уравнение (4) может быть переписано в скалярном виде: (ш — рг) ар рр' ап (6) Рааделив обе части уравнения (8) на (ше — рг), получим ао " пра(/(~о- р(), (7) Порция газа раз, двигаясь вместе с ракетой, обладала скоростью ч. Покинув ракету за промежуток времени ау, ага же масса газа приобретает относительно Земли скорость ч + ч'. Следовательно, за зто же время импульс порции газа раг, выброшенной нэ ракеты, изменяется на Если в момент времени Г ракета обладала скоростью ч и массой ' Это выражение называется уравнением Мещерского.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
