1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Независимо от состояния вагона (покой или движение) на груз действуют только две силы: сила тяжести юб и сила натяженкя Т шнура. В покоящемся вагоне (или в случае его движения с постоянной скоростью) обе силы коллинеарны, н их векторная сумма равна нулю. При 'движении вагона е ускорением шнур отклонится от вертикали в сторону, противоположную направлению ускорения, и обе действующие на грув силы должны сообщать грузу относительно Земли уско. ремне, равное ускорению вагона. Правильнее было бы говорить, что ие грув отклоняется, а вагон, и, следовательно, точ.
ка подвеса шнура к вагону опережает груз. (В начале движения вагона с ускорением груз совершает колебакия. Мы рассматриваем груз в тот момент, когда колебания эатухнут, т. е, когда ускорение и скорость груза равны тж ускорению н скорости вагона. Нить „„ ~ ь 'э при этом окаэываетея отклоненной от вертикали.) Поскольку вагон движется по отношению к Земле е узко« Х рением, следует выбрать систему ко.
рве. з ординат, не связанную с движущимся вагоном, В системе координат, жестко связанной с Землей, второй закон Ньютона имеет вид где а — ускорение груза относительно Земли, а Т вЂ” искомая сила натяжения. Решение. Заменяя уравнение (1) двумя скалярными равенствами, связывающими между собой проекции снл и ускоренна на осн ОХ и ОУ, получаем: (2) ша= Тзш а, 0 Т соз а — шу.
(2) Совместно решив зтн два уравнения, найдем: а агсСя (а/я) агсСО 0,204 = 11,5'; Т- ш,~а~ +2~ 20 Н. Зааача 2.2. Груз массы ш - 200 г, привязанный к нити длиной 1 40 см, вращают в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью так, гго нить описывает коническую поверхность. Прн зтом угол отклонения нити от вертикали а = ЗT (рнс. 9). Найти угловую скорость еэ вращения груза и силу натяжения нити. Аиалаз. Тело (груз) можно принять за материальную точку, движущуюся с постоянной скоростью по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости. Это значит, что касательное ускоренне а, бо/ЙС = О, следовательно, трение и любое сопротивление движению отсутствуют и полное ускорение равно нормальному: а а„- егг.
(1) где г — радиус окружности. Тогда на тело действуют только сила тяжести шя и 'сила натяжения Т нити, расположенные в вертикальной плоскости, совпадающей с плоскостью рисунка. Запишем второй закон Ньютона: ша = шя+ Т. Это уравнение содержит искомую силу натяжения нити н угловую скорость, входян1ую в выражение (1). Решение, Для перехода к скалярным соотношениям введем осн коордянат. Одну из осей следует обязательно направить по нормали к траекторвн к центру окружности, вторую— вертикально. (Третья ось, перпендикулярная плоскости рисунка н направленная по касательной к траектории, не нужна, так как силы шя и Т цроекцнй на нее не дают, а касательное ускорение а, = 0.) Заменяя векторную запись второго закона Ньютона соотношениями между проесСциямн снл н ускорения на укааанные осн, получаем: ша„= Т з3л а, 0 = — шу + Т соз а.
На основании этих уравнений имеем Т шд/соз а = 2,4 Н; ша„= шу Фа а. (2) Радиус окружности, по которой движется тело, г 1 юп а. Подставляя выражение (1) в (2), находим: ' - и/Р ):,~ВЛГ ) 56 Задача 2.3. На тележке массы ш, = 20 кг, которая мшкет свободно перемещаться вдоль горнаонтальных рельсов, лежат брусок массы ш, б кг (рнс. 10). Козффнциент трения между бруском н тележкой я 0,2. Брусок тянут с силой У, направленной параллельно рельсам. Найти ускорение бруска и тележки, если сила изменяется по закону Р сС. где с - 4,0 Н/с.
Постронть графики зависимости найденных ускорений от времени. Акализ. В задаче рзссматрпвается поступательное движение двух соприкасающихся тел, мел1ду которыми, по условию, действует сила трения. Наличие ее поаволяет предполагать, что при некоторых значениях приложенной силы Р брусок и тележка движутся вместе с одинаковым ускорением, а прн больших значениях силы Р брусок начнет обгонять твиюкку, будет скользить по ней. Если относительная скорость о' бруска (скорость бруска относительно тележки) равна нулю, то сила трения будет силой трения покоя и может принимать любое аначение от 0 до /„„,„, ДФ, т. е. Х /„< йК, где Ф вЂ” сила нормальной ре- зне.
10 1т акции при действии одного тела ва другое. Если и' ю О, то сила трения будет силой тренин сколыкения / Йгсс. Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную относительной скорости (либо в сторону, противоположную относителъной скорости, которая появилась бы при отсутствии трения). Поэтому силы трения, действующие на тележку и брусок, направлены тзк, как показано на рис. 10, причем /' = / . Помимо силы трения на тележку действуют сила тяжести, сила нормального давления бруска и сила нормалъной реакции рельсов. (Сила трения между тележкой и рельсами, по условию, отсутствует.) Все эти три силы вертикальны и взаимно компенсируют друг друга.
На брусок действУют также веРтикалъные силы твжести тсб и ноР- мальной реакции тележки Ис — т й и горизонтальные силы Р и 1„. Поскольку нвчалъвьсе скорости отсугствуют, то характер сил трения определяется соотношением между ускорениями обоих тел: ~ Й)1С„если ас а, о' О, ЙЙС„если а, сс а, о' а О, причем а, и а, — это ускорения тележки и бруска стносителъно Земли. Оба эти вектора сонаправлены с силой Р: ускорение тележки возникает,под действием одной силы трения Рч, направленной так же„как и сила Р, ускорение бруска не может быть направлено в другую сторону, так как сила трения не изменяет направления движения на,цротивоположное.
Ускорения зти найдем из уравнения второго закона Ньютона, записанного для каждого тела. Ревсевие. Поскольку вертикалъные силы„действуквцие на каждое из тел, скомпенсированы, то уравнения движеяня для каждого из тел сразу запишем в скалярной форме (для проекций на ось Х): т,а, -/', т,а, - Р— Д,. ' Эдесь, иэв в в дальнейшем, иы пренебрегаем ваввсвмостью силы трения сиольжеввя от скорости в счвтаеи, что сила трения скольжения равна иаксвмзльвой силе трения покоя, Найдем ив системы уравнений (1) и значения Р, при которых а, а, а: /я Вэтом случае о' 0 и / < ЙЙСс = Йис а.
Тогда Р сс ~ Йт,я (т, + т,)/т,. с* с откуда аут,, сс а, 0,5 и/с', а, = — — Йб. Ускорение а, бруска растет линейно со временем начиная от значения (3) сс* ас — ЙСС а, О,б м/с'. ГраФик зависимости ускорений от времени можно построить на основании выражений (2), (3), При с с с* график представляет собой прямую, выходящую из начала координат. При С > с* график ас(с) — прямая, параллельная оси абсцисс, график а,(С) — прямая, идущая вверх более круто (рис.
11). Зааачз 2.4. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы т, О,б кг и т, 0,6 кг (рис. 12). Найти силу давления блока на ось при движении грузов в двух случаях: лифт поднимается равномерно и с ускорением Следовательно, при с < св Йт,а и Рис. 11 (т, + тс)/(ст,) 3,1 с ускорения обоих тел одинаковы, сила трения (трения покоя) заранее не известна.
Решив систему (1) относительно а, получим. а = сс/(т, + тс). (2) Ускорения обоих тел прямо пропорциональны времени и изменяются от 0 до а ос*/(т, + т,) 0,5 м/с'. При С > Св ускорения тел различны, во сила трения имеет определенное значение: / Йтсб. Тогда [см. (1)] т,а, - Йт,сс, т,а, - сс — Йт,д, 18 зе = 1,2 м/с'. Масса блока пренебрежимо мала, Трением в оси пренебречь. Анализ. Сила давления блока на ось Ря — Х, где Х— силареакции оси, действующаянаблок инаправленная вверх. Кроме этой силы на блок действуют силы натяжения нити Т, и Т„направленные вниз. Уравнение второго закона Ньютона для блока имеет вид „~=Х+Т,+Т,+ я, где а„ вЂ” ускорение центра масс блока относительно Земли, т,„— его масса. Если т„, - О, то независимо от ускорения центра масс Н+Т,+Т, О, Ф=Т,+Т. Таким обрааом, задача сводится к нахождению сил натяжения нити.
Поскольку нить связывает заданные грузы, то силы натяжения могут быть найдены иа рассмотрения движения грузов. При равномерном движении лифта можно выбрать систему отсчета, связанную как с Землм1, так и с лифтом, При ускоренном движении лифта система отсчета, связанная с лифтом, неинерциальная, поэтому она должна быть связана с Землей. Задачу можно решить сразу для ускоренного движения лифта, а первый случай получится как частное решение при я„= О. Грузы движутся относительно блока (относительно лифта) и участвуют в движении лифта с ускорением а . Если у и нить нерастяжима, то ускорения гру- зов относительно блока одинаковы по 1у модулю, но противоположны по направлениям.
Для доказательства запишем уело- 1 ая вия нерастяжимости нити. Введем ось О'1), свяаанную с лифтом (рис. 12), кот, ордннаты обоих тел ц, и т),. Тогда условие нерастяжимости нити "а т' ц, + 1), + ), = сопз$, где 1з — длина части кити, соприкасающейся с блоком. При движении грузов относительно лифта координа- 0 ты Ч, н Ч, изменяются, но Гас. 12 ч +11 =о 1), +й =о (Ц (точка над буквой обозначает производную по времени); = а,'„— проекция ускорения первого груза относительно лифта на веРтикзльнУю ось О'тб т)я азя — пРоекциЯ УскоРения второго груза на ту же вертикальную ось, Из соотношения (1) найдем а,'„— а"„, Поскольку грузы движутся вдоль оси О'гь то я = — а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
