1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 2
Текст из файла (страница 2)
подставив г, в выражение для у(с), получим у(сз) 24 м. Если у О, то Ьзг+ с,1з О, с(Ь, + сзг) О. КоРни этого УРавненнЯ $, = Ф 0 1' - — Ь,/с 4 с Подставляя 1з в выражение х (г), получаем х (г,') 44 м. Координата у принимает экстремальное значение в точках, где 6х/6Ф о, = О. Дкфференцируя выражение у(Ф) и приравнивая производную нулю, получаем: Ьз + 2сзс О, Фз — Ь,/(2сз) 2 с. Тогда у(Фз) 32 м.
Подстановка числовых значений показывает, что 6у/6$ при 1 > с, будет отрицательной величиной. Следовательно, у(Ф4) - у . Подставляя г г, в выражение х(г), получаем х(г,) 46 и'. При г, - 6 с, как покааывает расчет, х(г,) - — 64 и, у(г,) — 96 м. Сядем полученные данные в таблицу по нарастающему значению времеви и построим траекторию движения: Для уточнения траектории рассчитаем х и у при Ф 1 с: х(Ф) 26 м; у(Фо) = 24 м.
Траектория движущейся точки показана на рис. 3. Х Момент $, 2 с, для которого по условию требуется найти нормальное и касательное ускорения и радиус кривизны, совпадает с моментом 1„когда у принимает максимальное значение, а и„бу/Ф О. Следовательно, в этот момент вектор скорости направлен горизонтально, и = ~ и, ~ и бх/йг Ь, + Зо(,о-" = 16 м/с. Найдем теперь проекции вектора ускорения на сон координат: а, = бох/ИР - 6И,~; а„- о(оу/о(Го 2со - сопаФ. Прн г = 2 с; а, - — 12 м/с'; а„- — 16 м/с'. Касательное и нормальное ускорейия могут быть найдены проектированием вектора полного ускорения а на оси, одна из которых направлена по вектору мгновенной скорости (ось т), другая — по нормали к вектору скорости, к центру кривизны (ось я).
В заданной точке траектории нет надобности находить модуль и направление вектора а, так как ось т совпадает с осью ОХ, ось п противоположна по 'направлению оси ОУ (см. рис. 3). Таким образом, а, - а„= — 12 м/с'; а. - — а„16 м/с'. Радиус кривизны может быть найден иа Формулы (1): г и'/а„ 14 м.
Задача 1.3. Камень, брошену ный с высоты Ь -' 2,1 м под углом а = 46' к горизонту, падает на землю на расстоянии з 42 м ь а а х (по горизонтали) от места бросания (рис. 4), Найти начальную скорость камня, время полета и гис. 4 максимальную высоту подъема 1о нзд уровнем земли. Определить также радиусы кривизны тра. ектории в верхней точке и в точке падения камня на землю. Анализ. Из условия задачи известно направление вектора начальной скорости то камня, который можно рассматривать как материальную точку. Если пренебречь сопротивлением воадуха, то а = 6, т. е. ускорение постоянно, направлено по вертикали вниз и равно 9,8 м/с'.
Векторы начальной скорости и ускорения образуют некоторый угол, не равный ни О, ни я, поэтому движение криволинейное. Поскольку а сопзС, движение плоское и для описания его достаточно двух осей координат, что дозволит сложное криволинейное движение камня рассматривать как совокупность двух прямолинейных движений.
Если ось ОХ направить по горизонтали, а ось ОУ вЂ” по вертикали, то движение вдоль оси ОХ равномерное, так как проекция ускорения а„О, а движение вдоль оси ОУ вЂ” равнопеременное (а„= — у). Для нахождения закона движения необходимо знать, как было указано ранее, начальные условия, т. е. координаты и скорость в начальный момент времени. Числовое значение начальной скорости неизвестно, однако закон двиясения, включающий неизвестную начальную скорость, может быть записан. Координаты точки падения можно найти из условия.
Подставив их в закон движения, получим систему уравнений, содержащую в качестве неизвестных начальную скорость и время полета. Максимальную высоту найдем из условия, что в верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости об. ращается в нуль. Зная законы изменения проекций и„н и„со временем, можно найти модуль и направление скорости для любого момента времени.
Вектор ускорения постоянен и известен (а = 6), следовательно, для любого момента времени можно определить нормальное ускорение (проекцию вектора а на ось л, перпендикулярную вектору скорости и направленную к центру кривизны траектории) и радиус кривизны траектории. Реюекие. Начало отсчета удобно выбрать в точке бросания (хо = у, 0). В системе координат ХОУ (см. рис. 4) а, О, и,-сопзФ иосоз а, х=иосоз а С; (1) ао- — у, ио" позш а ут у иозш а à — Ф/2 (2) Закон движения записав, хотя значение ис неизвестно. При Ф = т в конечной точке траектории х = з; у — Ь.
Тогда уравнения (1) и (2) примут вид з = иссоэ а т, — Ь = исзш а т — ут/2. Данные уравнения составляют систему с двумя неизвестными и~ и т. Решение этой системы: -,%Ь+ ч Оа-3:,- Л )=20 !. Найдем максимальную высоту подъема камня над землей: Н=Ь+у . При у уя имеем и„О, Ф = гг Подставив в уравнения (2) и„О, найдем время подъема 1, = (ис/у) аш а. Тогда У = ис эш~ а/(22), Н Ь + и~э з1п' а/(2У) 12 м. В верхней точке траектории и„О, поэтому и, = и Следовательно, а.).т . Зто значит, что а„а = у. Зная нормальное ускорение и скорость, найдем радиус кривизны траектории в точке М: г„иэ./а„= (У~/(() соэ' а = 20 м.
В точке В (рис. 5) скорость иэ Я+о~ = и'соз'а+(исэ)па-ут)' Нормальное ускорение а„- и'в/гз - у з1п 6. = 20,8 м/с. (3) г = и' /(уи, соа а) = 67 и. Задача 1.4. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиуса г 10 см с постоянным касательным ускорением а, = 0,4 см/с'. Через какой промежуток времени вектор ускорения а образует с вектором скорости т угол 6, равный: а) 60", б) 80' (рис. 6)7 Какой путь пройдет за это Здесь з(п 6 и„/и и,соз а/и, где 6 — угол между векторами ускорения и скорости. Тогда радиус кривизны траектории в точке В и = а,й Подставляя это выражение в формулу (1), находим $я 6 = (а,г)'/(а,г) = а,)'/г. Тогда время и уть соответственно равны: (2)' ~ и 41 — ~ а,г бг с о (3) Угол поворота у в/г изменяется со временем также по квадратичному закову: ф а Р/(2г) (4) время движущаяся точкау На какой с - о угол повернется радиус-вектор, про- в()) веденный из центра окружности к движущейся точке, если в начальный момент времени он направлен верти- О) кально вверху Движение происходит э„ по часовой стрелке.
к Анализ. Материальная точка дви- ', э -. ъ жется по окружности заданного радиуса, Поскольку движение ускоренное, скорость и движущейся точки, а следовательно, и нормальное ускорение а„= и'/г непрерывно возрастают со временем. Касательное ускорение, по условию задачи, постоянно.
Следовательно, вектор полного ускорения а со временем изменяется как по модулю, так и по направлению. Угол () между векторами а и т зависит от соотношения между нормальным а„и касательным а, ускорениями: 12 6 = а /а = и'/(га ). (1) Постоянство касательного ускорения позволяет найти закон изменения со временем пути з,пройденного точкой,или угла поворота <р радиус-вектора (см.
рис. 6). Решение. Касательное ускорение а, = би/о( = сопз1. 1 Следовательно, мгновенная скорость движущейся точки (при иц= 0) 13 с-о чс рве 7 а) При $)« - 60' (Фб 8« - 1,73), согласно выражениям (2) — (4), С« = 6,6 с; з, = 8,7 см; «р, = 0,87 рад. б) При 6« = 80' (эб бс 6,7), согласно выражениям (2) — (4), С, = 12 с; з, = 28 см; «рс 2,8 рад. Положения движущейся точки для найденных углов «р, и «р, и векторы ч и а в зти моменты времени показаны на рис. 7. тему отсчета, связанную с Землей, можно считать инерциальной, если пренебрегать ее ускорением относительно системы неподвижных звезд. Отсюда вытекает ограничение в выбора систем отсчета: они не должны иметь ускорения относительно Земли.
При описании двкжения тел, связанных между собой, второй закон Ньютона целесообразно применять к каждому телу в отдельности, установив предварительно связь между координатами и кннематическими параметрами этвх тел. Прн этом часто приходится накладывать дополнительные условия на характер связей.
З 2. Законы Ньютона Второй закон Ньютона, в формулировках которого ничего не говорится ии о точках приложения сил, ни о размере и форме тел, строго говоря, справедлив только для материальных точек либо для твердых тел, движущихся поступательно. Поскольку при изучении законов Ньютона в общем курсе физики законы динамики твердого тела еще не известны, можно считать, что поступательное движение (если оно не оговорено в условии задачи) воаникает тогда, когда линии действия всех сил или результирующей силы проходят через центр мазе тела. При использовании законов Ньютона особое внимание надо уделять анализу снл, действующих на рассматриваемое тело, Этот анализ'должен включаты происхождение сил — в результате взаимодействия е каким телом воэникл» данная сила; природу сил — тяготение, упругость, трение; характер — от каких величин и как зависит данная сила.
Уравнения второго закона Ньютона следует записывать обязательно в векторкой форме, а аатем переходить к скалярным равенствам, связывающим проекции ускорения и действующих сил на координатные оси, выбранные в зависимости от условия задачи. Эту систему координат, применяемую для решения векторных уравнений, не следует смешивать с системой отсчета, относительно которой рассчитываются скорости н ускорения тел. Законы Ньютона справедливы только для инерциальных систем отсчета. Почти во всех рассматриваемых задачах скс- Задача 2.1. В вагоне, движущемся горизонтально с ускорением а 2 м/с', висит на шнуре груз массы ж 200 г. Найти силу натяжения шнура и угол отклонения шнура от вертикали (рис.
8). Анализ. В аадаче рассматривается движение тела, ни о. форме которого, ив о линейных размерах ничего не скааэно.. Это поаволяет предположить, что и форма в линейные размеры не влияют на характер движения, а тело можно принять за материальную точку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
