1598082689-df0111308951a80f7305c35de815893b (805681), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда, учитывая еще раз' выражение (2), получаем 7 1' 2уу. Здесь, как и ранъше, у — расстояние, пройденное верхним концом шнура за время к Поскольку в началъный момент шнур касался поверхности стола, у 1 (длина той части шнура, которая лежит на столе к моменту времени Ф) и уу у( т. Заменяя векторное равенство (1) соотношениями между проекциями всех сил на ось Ог' и учитывая соотноше- . ния (б) и (6), находим Р = Зту = 3(т,/(е) у(. В любой момент движения, т.
е. при 1 < 1„сила давления шнура на стол втрое больше силы тяжести той части шнура, которая к этому моменту времени уже лежит на отоле. Если вновь выразить массу т через длину ( = у, то получим Р- Зтуу. Так как любой элемент шнура совершает свободное падекие, то у = у('/2. Тогда Р = Зфет'/2 = Зтеуе('/(2)о). Отсюда видно, что во время падения шнура, т. е.
при г < ~/2Ц /у, сила давления его на стол растет пропорционально квадрату времени падения. $ 3. Законы сохранения ившульса, момента импульса и энергии Используя законы сохранения (импульса, момента импульса и энергии), можно найти свяаь между параметрами движения тела (коордннатами, скоростями) илн системы тел в различных состояниях. В некоторых случаях, когда характер снл взаимодействия (закон изменения силы со временем, время взаимодействия) неизвестен, толъко законы сохранения позволяют найти по известным параметрам (координаты, скорости) системы в одном состоянии ее параметры в другом состоянии. Подобная ситуация, в частности, имеет место при кратковременных взаимодействиях, таких, как удар, взрыв и т.
п. Во многях случаях два метода решения — исполъзоаание законов Ньютона (такой метод можно условно назвать есиловыме) и законов сохранения — равноправны. Выбор метода и пути решения каждой конкретной задачи возможен только после детального качественного обсуждения условия задачи начиная с анализа сил, действующих на каждое из тел. Такой анализ покажет, целесообразно ли рассматривать каждое тело в отделъности либо систему тел; возможно ли к выбранной системе применить тот иной закон сохранения. Закон сохранения импульса можно применять, строго говоря, только к замкнутым системам, т. е. к системам тел, на которые не действуют внешние силы (либо векторная сумма внешних сил равна нулю).
Природа внутреннях сил не является существенной, к числу этих сил могут, например, относиться и силы трения. При составлении уравнений на основании закона сохранения импульса следует обращать внимание на то, что скорости всех рассматриваемых тел должны отсчнтываться относительно одной и той же системы отсчета, а также на векторный характер закона. Закон сохранения момента импульса выполняется в тех случаях, когда сумма моментов внешних сил равна нулю. При движении в центральном силовом поле' (при отсутствии других внешних сил) момент импульса системы точек или одного точечного тела относительно центра поля также оста. ется постоянным. Полной механической энергией системы тел принято называть сумму кинетическях энергий всех тел системы, потенциальной энергии их взаимодействия и потенциальной энергии тел системы во внешнем консервативном (потенциальном) поле.
Система тел, механическая энергия которой постоянна, называется консервативной. Условие консервативности— отсутствие перехода механической энергии в другие виды энергии и обмена энергией с телами, не принадлежащими к данной системе. Первое условие выполняется тогда, когда между телами системы действуют силы„модуль и направление которых зависят только от координат взаимодействующих тел, т. е. консервативные силы, либо когда внутренние неконсервативные силы не совершают работы (неконсервативными силами являются, например, силы трения, силы, возникающие при неупругом ударе). Второе условие выполняется в тех случаях, когда алгебраическая сумма работ всех внешних сил, действующих на систему, за исключением, конечно, сил внешнего консервативного поля, равна нулю. В неконсервативных системах изменение полной механической энергии системы равно алгебраической сумме ра- 1 Центральным вззывзвьаз анлаваа поле, в катарам снлм, действующие вз тачачваа тело, цамещаннаа з любую тачку поля, направлены ца прямой, соединяющей данную точку паля а центрам авл влн центрам поля.
30 бот всех внешних сил и внутренних некоисервативных сил. Если энергия системы включает потенциальную энергию тел во внешнем консервативном поле, то можно говорить о законе сохранения энергии одного тела, находящегося во внешнем консервативном поле, в частности в поле тяжести Земли. Подобное рассмотрение предполагает, что расчеты проводятся в системе отсчета, связанной со вторым телом, в данном случае с Землей. При определении изменения энергии следует обращать внимание на то, что изменение потенциальной энергии тела во внешнем консервативном поле равно работе сил поля, взятой с обратным знаком. Сама потенциальная энергия не может быть вычислена без предварительного выбора начала отсчета потенциальной энергии.
Зазяча 3.1. Снаряд, летевший на высоте Н = 40 м горизонтально со скоростью а 100 м/с, разрывается на две равные части. Одна часть снаряда спустя время г 1 с паданг на Землю точно под местом взрыва, Определить скорость другой части снаряда срезу после взрыва. Анализ. Скорость каждой части снаряда изменяется вследствие взрыва, т. е. под действием сил давления газов, образующихся при взрыве. Направление этих снл, закон изменения их со временем и время действия неизвестны. Однако, если обе части снаряда рассматривать как систему тел, эти силы станут силами внутренними, а поэтому не будут изменять импульс системы.
Силы, возникающие при взрыве, настолько велики, что по сравнению с ними действием всех других сил (тяжести, сопротивления воздуха) на каждую часть снаряда можно пренебречь. З этом случае систему можно считать замкнутой в течение времени взрыва. Следовательно, вектор импульса системы во время взрыва постоянен: Р1 Рз. (1) До взрыва импульс системы р, Зтт (т — масса одной части снаряда) направлен горизонтально. После взрыва импулээ системы равен векторной сумме импульсов обеих частей снаряда: рв тп, + тцз (ц, н ц, — скорости соответственно первой и второй частей снаряда сразу после взрыва).
Один из векторов — и, — направлен, как следует из условия, вертикально (либо равен нулю). Модуль н направ- мвк ление скорости и, могут быть найдены из закона движения этой части снаряда после Х взрыва. Тогда скорость и, можно найти из аакона сохранения импульса (1). у Решение. Чтобы от вектор- гис. 16 ного уравнения (1) перейти к скалярным соотношениям, введем оси координат (рис.
16). В проекции на оси ОХ и ОУ р„2то, р, ти, сое а, (2) ри О, рак - ти,„- тиз з1п а. (3) Заменим векторное равенство (1) двумя скалярными: Ри Рз Ркк = Рзк' Тогда, учитывая выражения (2) и (3), получаем: 2зш ти сое а> 0 тим — тик тп а. Эти уравнения образуют систему, решая которую находим и,-,(4о'+ и,', а - агс22 —. ии> 2с Движение первой части снаряда после варыва — падение с начальной скоростью им = и~ Поэтому, если пренебречь сопротивлением воздуха, Н = и,„г + ЗФ'/2> откуда ии = Н/2 — 32/2 = 35 м/с. Тогда [см. (4)) скорость второй части снаряда и, 203 м/с; вектор скорости и направлен к горизонту под углом а = агс(2 0,17 - 10 . формы, если снаряд застревает в з>к песке.
т Анализ. Платформа приобретает скорость и в результате взаимодействия со снарядом. Закон изменения силы этою взаямодействия Х во времени и само время взаимо- Гнс. 17 действия неизвестны. Поэтому задача не может быть решена непосредственно с помощью законов Ньютона. Если же рассмотреть систему тел платформа — снаряд, то эта неизвестная сила будет силой внутренней и ие изменит импульса системы. На систему платформа— снаряд действуэгг внешние силы: сила тяжести, сила нормальной реакции рельсов и сила трения. Вследствие негоризонтального направлении скорости снаряда сила нормальной реакции, действующая на платформу, во время взаимодействия платформы и снаряда изменяется и будет тем больше, чем больше внутренняя сила взаимодействия снаряда и платформы.
Если пренебречь действием силы трения на платформу во время удара, то, поскольку силы тяжести и нормальной реакции рельсов строго вертикальны, можно считать, что проекция вектора импульса системы на гориаоитальное направление остается постоянной. Это позволит найти скорость и, которую приобретает платформа после удара.
Сила взаимодействия снаряда с платформой — сила диссипативиая, поэтому механическая (кинетическая) энергия системы убывает. Решение. Если ввести ось Х, то Рь = Рз» где Рк = т,э соз а, Рз» (т, + т ) и — пРоекции вектоРа импульса системы на ось Х соответственно до и после взаимодействия тел. (Выражение для р, справедливо, если и, и, т. е. положительно.) Тогда уравнение (1) примет вид тзо соз а (т, + тз) и, откуда и — з — — 0 32 м/с. нк, + икз 2Н.:Гюрннк >к»к» ЗЗ 32 Зазлча 3.2. На горизонтальных рельсах стоит платформа с песком (общая масса т, = 5 ° 10' кг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
